Путаница с обратным преобразованием Лоренца

Question

Путаница с обратным преобразованием Лоренца

Алекс Ван

Меня очень долго мучил этот вопрос. Я надеюсь, что кто-то может объяснить это для меня раз и навсегда. Мой вопрос в том, что когда используется преобразование Лоренца и когда используется обратное преобразование Лоренца? Может ли кто-нибудь привести пример того, когда правильно использовать один и когда правильно использовать другой?

Ответы (3)

Путаница с обратным преобразованием Лоренца

Квантовая спагеттификация · Answer 1

Допустим, у вас есть две системы отсчета; рамка $F$ и рамка $F'$ такой, что $F'$ движется со скоростью $v$ в положительном $x$ Направление $F$ . Учитывая пространственно-временное событие, которое происходит в $(ct,x,y,z)$ в кадре $F$ преобразование Лоренца помогает нам найти пространственно-временные координаты $(ct',x',y',z')$ этого события в кадре $F'$ . Если, однако, вы знаете, что событие происходит в $(ct',x',y',z')$ обратное преобразование Лоренца помогает нам найти координаты пространства-времени $(ct,x,y,z)$ этого события в кадре $F$ .

Преобразование Лоренца для $x$ координата задается:

{Икс}^{'} "=" γ (Икс - в т)

$x'=\gamma (x-vt)$ Все в правой части этого уравнения измеряется в системе отсчета

F

$F$ а на LHS все измеряется в кадре

F^{'}

$F'$ . Из первого постулата специальной теории относительности вытекают законы физики.

F^{'}

$F'$ должны быть такими же, как в кадре

F

$F$ так что найти

x

$x$ мы можем использовать:

Икс "=" γ ({Икс}^{'} - в^{'} т^{'})

$x=\gamma(x'-v't')$ Где

v^{'}

$v'$ это скорость кадра

F

$F$ в рамке

F^{'}

$F'$ который

- v

$-v$ , таким образом:

Икс "=" γ ({Икс}^{'} + в т^{'})

$x=\gamma(x'+vt')$ Это обратное преобразование Лоренца, и снова обратите внимание, что все на левой стороне измеряется в кадре.

F

$F$ и справа в кадре

F^{'}

$F'$ .

Таким образом, преобразование Лоренца и обратное преобразование Лоренца — это одно и то же, только между разными кадрами. Преобразование Лоренца используется при переходе от кадра $F$ к $F'$ и обратное преобразование используется при переходе от кадра $F'$ к кадру $F$ .

Как вы сказали, это одно и то же. Я не могу понять, почему даже такой термин был придуман в первую очередь. Есть идеи?

Ричард · Answer 2

1.0 Введение.Преобразование Лоренца относится к двум инерциальным наблюдателям. Первичная форма преобразования обычно используется для преобразования пространственно-временных координат события первого наблюдателя в пространственно-временные координаты того же события второго наблюдателя. Обратная форма преобразования обычно используется противоположным образом, чтобы преобразовать пространственно-временные координаты события второго наблюдателя в пространственно-временные координаты первого наблюдателя для того же события. Однако читатель должен понимать, что первичная и обратная формы преобразования математически неразличимы. Чтобы было ясно, они математически идентичны. Они просто выражают отношение пространственно-временного представления первого и второго наблюдателя одного и того же события двумя разными способами. Прошло более ста лет с тех пор, как трансформация была поставлена в центр внимания, и все же даже сегодня многие люди все еще верят, что существует фундаментальная разница между первичной и инверсной формой трансформации. Я думаю, что понимаю, почему, поскольку я был одним из тех людей. Я заинтересовался физикой два года назад, и одним из первых, что я сделал, был вывод первичной и обратной формы преобразования, которые представлены ниже в разделах 1 и 2. Два набора уравнений преобразования выглядели для меня существенно разными, и Я ошибочно сделал вывод, что они разные. Но это не так! Вы можете использовать любой набор, который хотите использовать; вы получите тот же ответ с любым набором. Однако объем задействованной математики может отличаться при использовании одного набора по сравнению с другим набором. Я' Я почти уверен, что есть некоторые гуру математики, которые могут интуитивно уловить эквивалентность двух форм преобразования, но для остальных нам нужно шаг за шагом доказать, чтобы поверить в это. Я привожу это доказательство в разделе 4. Я вывожуОБРАТНАЯ форма преобразования из ПЕРВИЧНОЙ формы, тем самым доказывая, что две формы идентичны. Во всех последующих выводах я применяю $(x,\,y,\,z,\,t)$ координаты пространства-времени к первому наблюдателю, которого я называю Джейн, и $(x',\,y',\,z',\,t')$ систему координат пространства-времени второму наблюдателю, которого я называю Диком. Для получения дополнительной информации о Дике и Джейн обратитесь к моей книге |1| по теории относительности, которая доступна на Amazon.

2.0 Первичная трансформация. Основная форма преобразования Лоренца показана ниже. Уравнения были получены в предположении, что Джейн покоится в пространстве, а Дик движется относительно Джейн со скоростью v в положительном направлении xx' .

\begin{aligned} 2.1 {Икс}^{'} & "=" γ (Икс - в т) \\ 2.2 у^{'} & "=" у \\ 2.3 г^{'} & "=" г \\ 2,4 т^{'} & "=" γ (т - Икс в / с^{2}) \\ 2,5 γ & "=" \frac{1}{\sqrt{1 - в^{2} / с^{2}}} \end{aligned}

$\begin{align} 2.1\qquad x' \quad&=\quad \gamma\,(x - vt)\\ 2.2\qquad y' \quad&=\quad y\\ 2.3\qquad z' \quad&=\quad z\\ 2.4\qquad\, t' \quad&=\quad \gamma ( t - x v/c^{2})\\ 2.5\qquad\, \gamma\quad&=\quad \dfrac{1}{\sqrt{1- v^{2}/c^{2}}} \end{align}$

3.0 Обратное преобразование. Обратная форма преобразования Лоренца показана ниже. Уравнения были получены в предположении, что Дик покоится в пространстве, а Джейн движется относительно Дика со скоростью v в отрицательном направлении xx' .

\begin{aligned} 3.1 Икс & "=" γ ({Икс}^{'} + в т^{'}) \\ 3.2 у & "=" у^{'} \\ 3.3 г & "=" г^{'} \\ 3.4 т & "=" γ (т^{'} + {Икс}^{'} в / с^{2}) \\ 3,5 γ & "=" \frac{1}{\sqrt{1 - в^{2} / с^{2}}} \end{aligned}

$\begin{align} 3.1\qquad x \quad&=\quad \gamma\,(x' + vt')\\ 3.2\qquad y \quad&=\quad y'\\ 3.3\qquad z \quad&=\quad z'\\ 3.4\qquad\, t \quad&=\quad \gamma (t'+ x' v/c^{2})\\ 3.5\qquad \gamma\quad&=\quad \dfrac{1}{\sqrt{1- v^{2}/c^{2}}} \end{align}$ 4.0 Получение обратного из первичного. Первичная форма преобразования, показанная в разделе 2, выражает каждую из четырех пространственно-временных координат Дика (переменные со штрихом) в терминах комбинаций четырех координат пространства-времени Джейн (переменные без штриха). Обратная форма преобразования, показанная в разделе 3, форматируется противоположным образом. Каждая из четырех пространственно-временных координат Джейн (нештрихованные переменные) выражается в терминах комбинаций четырех пространственно-временных координат Дика (штрихованные переменные). Следующие шаги показывают, что обратная форма может быть получена из первичной формы с помощью простой алгебры. Пошаговый вывод для демонстрации этой эквивалентности начинается с первого уравнения в разделе 2, как показано ниже.

Разверните правую часть уравнения (2.1), затем переставьте и решите для x , как показано ниже.

\begin{aligned} 4.1 {Икс}^{'} & "=" γ Икс - γ в т \\ 4.2 γ Икс & "=" {Икс}^{'} + γ в т \\ 4.3 Икс & "=" {Икс}^{'} / γ + в т \end{aligned}

$\begin{align} 4.1\qquad x'\quad&=\quad \gamma\,x - \gamma\,v\,t\\ 4.2\quad\,\,\,\, \gamma x \quad&=\quad x' + \gamma v t\\ 4.3\qquad\, x \quad&=\quad x'/ \gamma + vt \end{align}$

Разверните правую часть уравнения (2.4) и найдите t , как показано ниже.

\begin{aligned} 4.4 т^{'} & "=" γ т - γ Икс в / с^{2} \\ 4,5 т & "=" т^{'} / γ + Икс в / с^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \,\,\,\,\,4.4\qquad t'\quad&=\quad \gamma t- \gamma x v/c^{2}\\ 4.5\qquad t\quad\,&=\quad t'/\gamma + x v /c^{2} \end{align}$

Подставьте t из уравнения (4.5) в уравнение (4.3), как показано ниже.

\begin{aligned} 4.6 Икс & "=" {Икс}^{'} / γ + в (т^{'} / γ + Икс в / с^{2}) \\ "=" {Икс}^{'} / γ + в т^{'} / γ + Икс в^{2} / с^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \qquad\qquad\quad\,4.6\qquad x \quad&=\quad x'/ \gamma + v(t'/\gamma + x v / c^{2})\\ \quad&=\quad x'/ \gamma + v\,t'/\gamma + x v\,^{2} / c^{2} \end{align}$

Переформулируйте уравнение (4.6) так, чтобы штрихи оказались справа.

\begin{aligned} 4.7 Икс (1 - в^{2} / с^{2}) "=" {Икс}^{'} / γ + в т^{'} / γ \end{aligned}

$\begin{align} \qquad\qquad4.7\qquad x(1-v\,^{2} / c^{2})\,=\,x'/ \gamma + v\,t'/\gamma \end{align}$

Применить личность $(1-v\,^{2}/ c^{2})\,=\, 1/\gamma^{2}$ к уравнению (4.7), затем найдите x .

\begin{aligned} 4,8 Икс / γ^{2} & "=" {Икс}^{'} / γ + в т^{'} / γ \\ 4.9 Икс & "=" γ ({Икс}^{'} + в т^{'}) \end{aligned}

$\begin{align} \,\,4.8\qquad x/\gamma^{2}\,&=\,x'/ \gamma + v\,t'/\gamma\\ 4.9\qquad\quad\,\,\, x\,&=\quad \gamma (x' + v\,t') \end{align}$

Обратные уравнения (2.2 и 2.3) представляют собой простое обращение влево-вправо, как показано ниже.

\begin{aligned} 4.10 у & "=" у^{'} . \\ 4.11 г & "=" г^{'} . \end{aligned}

$\begin{align} 4.10\qquad y \quad&=\quad y'\qquad\qquad.\\ 4.11\qquad z \quad&=\quad z'\qquad\qquad. \end{align}$

Подставьте x из уравнения (4.9) в уравнение (4.5) и затем решите выражение для t . Личность $1/ \gamma^{2}=1-v^{2}/c^{2}$ применяется в середине вывода, как показано ниже.

\begin{aligned} 4.12 т & "=" т^{'} / γ + Икс в / с^{2} \\ "=" т^{'} / γ + γ ({Икс}^{'} + в т^{'}) в / с^{2} \\ "=" т^{'} / γ + γ {Икс}^{'} в / с^{2} + γ т^{'} в^{2} / с^{2} \\ "=" γ т^{'} (1 / γ^{2} + в^{2} / с^{2}) + γ {Икс}^{'} в / с^{2} \\ "=" γ т^{'} (1 - в^{2} / с^{2} + в^{2} / с^{2}) + γ {Икс}^{'} в / с^{2} \\ "=" γ т^{'} + γ {Икс}^{'} в / с^{2} \\ "=" γ (т^{'} + {Икс}^{'} в / с^{2}) \end{aligned}

$\begin{align} \quad\qquad\qquad\qquad\qquad 4.12\qquad t \quad&=\quad t'/\gamma + x v /c^{2}\\ &=\quad t'/\gamma + \gamma (x' + v\,t') v/c^{2}\\ &=\quad t'/\gamma + \gamma x'v/c^{2} + \gamma \,t'v^{2}/c^{2}\\ &=\quad \gamma t'( 1/\gamma^{2}+ v^{2}/c^{2}) + \gamma \,x'v/c^{2}\\ &=\quad \gamma t'( 1-v^{2}/c^{2}+v^{2}/c^{2}) + \gamma \,x'v/c^{2}\\ &=\quad \gamma t'+ \gamma \,x'v/c^{2}\\ &=\quad \gamma (t'+ x'v/c^{2}) \end{align}$

The $\gamma$ множитель в уравнении (2.5) не является функцией пространственно-временных координат Дика и Джейн и одинаков в обеих формах преобразования.

\begin{aligned} 4.13 γ & "=" \frac{1}{\sqrt{1 - в^{2} / с^{2}}} \end{aligned}

$\begin{align} 4.13\qquad \gamma\quad&=\quad \dfrac{1}{\sqrt{1- v^{2}/c^{2}}} \end{align}$

5.0 Резюме. Ниже показано соответствие вывода из раздела 4 обратной форме преобразования из раздела 3.

\begin{aligned} Е д ты а т я о н (3.1) "=" Е д ты а т я о н (4.9) \\ Е д ты а т я о н (3.2) "=" Е д ты а т я о н (4.10) \\ Е д ты а т я о н (3.3) "=" Е д ты а т я о н (4.11) \\ Е д ты а т я о н (3.4) "=" Е д ты а т я о н (4.12) \\ Е д ты а т я о н (3,5) "=" Е д ты а т я о н (4.13) \end{aligned}

$\begin{align} Equation (3.1)\quad = \quad Equation (4.9\,\,)\,\\ Equation (3.2)\quad = \quad Equation (4.10)\\ Equation (3.3)\quad = \quad Equation (4.11)\\ Equation (3.4)\quad = \quad Equation (4.12)\\ Equation (3.5)\quad = \quad Equation (4.13) \end{align}$

Приведенное выше соответствие доказывает, что две формы превращения идентичны, и все же я ошибочно заключил, что эти две формы были различными, когда я впервые их вывел. Моя ошибка в логике возникла из-за допущений, которые я сделал при выводе двух форм преобразования. Я пытался подражать тому, как, как я себе представлял, Лоренц вывел бы свои уравнения. Тот факт, что я предположил, что Джейн покоится, а Дик движется для первого вывода, и противоположное предположение для второго вывода, заставил меня подсознательно сделать вывод, что это различие в различных предположениях придаст соответствующее различие в двух формах вывода. трансформация. Это, конечно, нелогичный вывод. Правильный вывод состоит в том, что преобразования должны быть совместимы с условиями в допущениях, использованных для их вывода. не то, чтобы они должны диктовать условия в предположениях. Я почти уверен, что я не единственный, кто допустил подобную логическую ошибку. Для тех из вас, кто интересуется логикой, ведущей кПреобразование Лоренца ознакомьтесь с моей книгой |1| о пристрастии Эйнштейна к теории относительности.

Библиография

|1| Ричард Алан, Все, что вы хотели знать о Дике, Джейн и Мэри . «Вывод специальной теории относительности Эйнштейна в тошнотворных деталях». Доступно на Амазонке .

Ричард · Answer 3

Прошло более ста лет с тех пор, как в центре внимания оказались Преобразование Лоренца и так называемое Обратное Преобразование Лоренца . Вы могли бы подумать, что к настоящему времени все уже поняли, что эти два преобразования абсолютно идентичны, что означает, что обратное преобразование на самом деле не существует. Это отдельное преобразование только по названию; псевдоним Преобразования Лоренца, замаскированный другим форматом, который делает его похожим на другое преобразование. Вы можете использовать любое преобразование, которое хотите. Вы получите один и тот же ответ независимо от того, какой из них вы выберете.

Я удалил ссылку, которая вызывала предупреждение системы безопасности браузера. Обратите внимание, что наше сообщество в основном не одобряет пользователей, которые используют большую часть своего вклада для привлечения трафика на свои собственные веб-сайты; ссылка в вашем профиле - лучший способ сделать это.

Путаница с обратным преобразованием Лоренца

Алекс Ван

Ответы (3)

Квантовая спагеттификация

юпилат13

человек дождя

Ричард

Ричард

грабить

Почему необходимо, чтобы разные наблюдатели согласились со значением пространственно-временного интервала ds2ds2ds^2?

Вывод преобразования Лоренца из принципа относительности

Вывод преобразований Лоренца

Доказательство единственности преобразования между релятивистскими системами отсчета

Приемлемо ли определение инерциальной системы отсчета, данное Бландфордом и Торном?

Что неверно в этом рассуждении относительно специальной теории относительности?

Что такое событие в специальной теории относительности?

Является ли относительность одновременности просто условностью?

Почему условие сокращения длины формулируется таким образом при выводе преобразований Лоренца?

Определение векторного перекрестного произведения