Опасная зона для самолетов

ОБНОВЛЕНО Сэмми Гербил правильно указал, что мой ответ был неправильным, и я приношу свои извинения. Так вот "настоящий" ответ...

Начнем со следующей схемы:

Это схема возможных траекторий пушечного ядра, выпущенного под разными углами. Зеленым цветом обозначен «критический» угол — тот, который как раз позволит достичь высоты 250 м. Но, как видите, это НЕ тот угол, при котором струя попадет в самую дальнюю точку! Можно целиться немного выше и продвинуться немного дальше (спасибо Сэмми Гербилу за указание на это).

Вопрос показал уравнение траектории, с которым не все могут быть знакомы. Я не был... Поэтому я решил убедить себя, выведя его из известного мне параметрического уравнения. Для снаряда, выпущенного со скоростью$v$под углом$\theta$по горизонтали горизонтальная и вертикальная составляющие скорости равны:

Мы можем интегрировать их по времени, чтобы получить позицию:

Преобразование выражения для$x$дает нам$t$:

Подставляя это в выражение для$y$мы получаем

Это знакомо вам - это было ново для меня. Но это был следующий бит, где у вас возникли проблемы. Вы рассчитали диапазон времени, за которое пуля может достичь высоты$h$, и предположил, что максимальное время будет соответствовать самому дальнему возможному выстрелу (что на самом деле неверно: время будет самым большим, если пуля выпущена прямо вверх). Вы также предположили, что пуля пересекла струю, прошедшую над головой, когда она выстрелила. Поскольку реактивный самолет летит быстрее пули, это никогда не может быть правдой. Тот факт, что ваше решение даже приблизилось к правильному числовому значению, является чем-то вроде чуда. [ но см. ниже... Я думаю, что после вашего последнего редактирования я понимаю это "чудо" ]

Итак, продолжим рассуждения. Нам нужно найти максимально возможное расстояние$x$до которого можно добраться на высоте$h$. Единственная переменная$\theta$. Это означает, что если взять производную от$x$в отношении$\theta$, стационарная точка (нулевой наклон) соответствует самому дальнему расстоянию (конечно, вы должны убедиться, что это не самое близкое расстояние). Вот что сделал ответ в книге. Но (и это умно), признавая, что$\tan\theta$является монотонной функцией в диапазоне интересующих значений$<-\pi/2,\pi/2]>$, можно также решить взять производную по$\tan\theta$. Обычно это делается формально путем замены переменных; решение книги занимает короткий путь.

Если мы положим$q = \tan\theta$, мы можем переписать уравнение траектории в виде

и значение$q$где стационарная точка (самая дальняя досягаемость) происходит, когда

Примечание. Используя этот подход, мы разрешаем$y$варьироваться с$\theta$- находим максимально возможное значение$y$в данный$x$. Это математически проще сделать, потому что выражение линейно по$y$. Однако это приводит нас к выражению для красной пунктирной линии на моей диаграмме, как если бы я взял производную от$x$в отношении$\theta$- но это было бы труднее.

Это означает

Подставив это выражение вместо$q$обратно на траекторию (1), получаем

Это описывает параболу, которая представляет собой огибающую всех возможных точек, до которых можно добраться (поскольку при каждом значении$y$это дает нам самый большой и самый маленький$x$что можно бить). Я добавил эту кривую в виде красной пунктирной линии на рисунке. А теперь решение простое.

Нам просто нужно найти диапазон значений$x$которые находятся внутри красной пунктирной линии - другими словами, мы решаем

Это дает нам два значения для$x$- положительный и отрицательный. Если вы установите$g=10 ~\rm{m/s}$, интервал$[-500\sqrt{2}, 500\sqrt{2}]$а поскольку струя летит со скоростью 500 м/с, она уязвима в общей сложности$\sqrt{8}$секунды - время, необходимое, чтобы пролететь зону, в которой пушка могла до него долететь.

Обратите внимание, что из пушки всегда нужно стрелять задолго до того, как самолет войдет в «защищенное воздушное пространство» - даже если выстрелить прямо вверх, потребуется более 2,5 секунд, чтобы достичь высоты самолета.

Для справки, вот код Python, используемый для создания графика:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import pi,sqrt,acos,asin

vgun = 100.0
h    = 250.0
g    = 9.81

t = np.linspace(0,20,200)

# the curve that just touches the path of the jet:
vy_critical = sqrt(2*g*h)
th_critical = acos(vy_critical / vgun)
ax=plt.figure()
vx = vgun*np.sin(th_critical)
vy = vgun*np.cos(th_critical)
x = t*vx
y = vy*t-0.5*g*t*t
plt.plot(x,y,'g')
x = -x;
plt.plot(x,y,'g')

# add a number of trajectories at different angles:
for theta in np.linspace(-90,90,19)*pi/180:
    vx = vgun*np.sin(theta)
    vy = vgun*np.cos(theta)
    x = t*vx
    y = vy*t-0.5*g*t*t
    plt.plot(x,y,'b')


# limiting angle - largest range
th_crit = asin(sqrt((-2*g*h+vgun*vgun)/(-2*g*h+2*vgun*vgun)))
vxc = vgun*np.sin(th_crit)
vyc = vgun*np.cos(th_crit)
xc = t*vxc
yc = t*vyc -0.5*g*t*t
plt.plot(xc,yc,'m')
plt.plot(-xc,yc,'m')

# add the path of the jet:
plt.plot([-800,800],[h,h],'r')

# limit the range of the axes:
ax=plt.gca()
ax.set_ylim((0,2*h))
ax.set_xlim((-800,800))
plt.xlabel('horizontal position (m)')
plt.ylabel('vertical position (m)')
plt.title('possible trajectories')

# add the envelope of trajectories
x = np.linspace(-800,800,1000)
y = vgun*vgun/(2*g) - g*x*x/(2*vgun*vgun)
plt.plot(x,y,'r',ls='--') # red dashed line
plt.show()

ОБНОВЛЯТЬ

Итак, что не так с последней версией вашего решения (которая, в конце концов, дает правильный ответ)? Мне пришлось долго думать об этом, но, кажется, я понял, что происходит. Моему замешательству не помог тот факт, что вы использовали$x$означать две разные вещи - как начальное положение струи при выстреле из пушки, так и положение, в котором она перехватывается пушкой.

Но именно поэтому ваше решение работает. Вы решаете все возможные траектории, которые пересекаются и для которых$\tan\theta$действует. Это приводит к неравенству в вашем сроке$p^2$, и это дает вам минимальное и максимальное значение$p$. Наконец, поскольку$p = 500 t + x_0$, и у вас есть оба$p_{max}$и$p_{min}$, вы можете найти разницу во времени, не зная, что$x_0$был.

Циклично, но правильно.

Обычный подход состоит в том, чтобы найти максимальное значение$x$, взяв производную. Это то, что сделали и книга, и мое решение. Но на самом деле вы нашли другой действенный способ получить решение. Так хорошо сделано.

Траектория снаряда представляет собой параболу, вершина которой (точка максимальной высоты) зависит от$\theta$. Для конкретных значений$\theta$, вершина даже не доходит до высоты, на которой летит вражеский самолет. Таким образом, для всех тех случаев, когда вершина равна или больше высоты вражеского самолета, существует$\textit{possibility}$попадания во вражеский самолет (наводчик должен правильно рассчитать время выстрела). Это опасная зона для вражеского самолета, начинающаяся и заканчивающаяся при этих значениях$x$, где вершина параболы как раз равна высоте струи.

Другими словами, всякий раз, когда высота вершины параболы$y_{max}\geq y_{jet}$(высота струи) струя находится в опасной зоне. Это правильное решение из учебника.

В своем решении подумайте, что происходит, когда$t=0$.
Снаряд находится на позиции$(0,0)$и струя находится на позиции$(0,250)$т.е. на высоте 250 м непосредственно над снарядом.
Если бы это было исходным условием, то снаряд никогда бы не попал в струю.

Я изменил аннотацию графика, что, надеюсь, поможет вам понять, как было получено решение.

Это решение находит максимальную высоту$y_{\text{max}}$при заданном горизонтальном смещении снаряда$x$.

Все, что теперь нужно сделать, это убедиться, что максимальная высота полета снаряда$y_{\text{max}}$равна или превышает высоту струи, которая составляет 250 м.
Предельные значения$x$происходить, когда$250 = 500 - \dfrac{x^2}{2000} \Rightarrow x = \pm 500 \sqrt 2$м и далее следует ответ.