Ортогональность суммированных волновых функций

Проблема. Я знаю, что две волновые функции Ψ 1 и Ψ 2 все нормализованы и ортогональны. Теперь я хочу доказать, что из этого следует, что Ψ 3 "=" Ψ 1 + Ψ 2 ортогонален Ψ 4 "=" Ψ 1 − Ψ 2 .

Мое наивное решение. Из помещения мы знаем, что

∫ − ∞ ∞ Ψ 1 * Ψ 1 г Икс "=" ∫ − ∞ ∞ Ψ 2 * Ψ 2 г Икс "=" 1
и
∫ − ∞ ∞ Ψ 1 * Ψ 2 г Икс "=" ∫ − ∞ ∞ Ψ 2 * Ψ 1 г Икс "=" 0

У нас также есть ( г 1 + г 2 ) * "=" г 1 * + г 2 *

∫ − ∞ ∞ Ψ 3 * Ψ 4 г Икс "=" ∫ − ∞ ∞ ( Ψ 1 + Ψ 2 ) * ( Ψ 1 − Ψ 2 ) г Икс "=" ∫ − ∞ ∞ ( Ψ 1 * + Ψ 2 * ) ( Ψ 1 − Ψ 2 ) г Икс "=" ∫ − ∞ ∞ ( Ψ 1 * Ψ 1 − Ψ 1 * Ψ 2 + Ψ 2 * Ψ 1 − Ψ 2 * Ψ 2 ) г Икс "=" 1 − 0 + 0 − 1 "=" 0 ,

что эквивалентно тому, что мы хотели доказать. Это законное доказательство? Есть ли более простой способ сделать это? Боюсь, я до сих пор не понял, как волновые функции ведут себя математически, поэтому я мог упустить здесь что-то очень очевидное.

Изменить : руководство по решению каким-то образом использует коэффициенты нормализации для Ψ 3 и Ψ 4 . Каковы эти факторы, когда вы на самом деле не знаете точных функций? И как это связано с понятием ортогональности?

Да, вам нужны нормировочные коэффициенты, чтобы ∫ | Ψ 3 | 2 г Икс "=" 1 , но ваше доказательство в его нынешнем виде верно. Вы напрямую вычислили их внутренний продукт и обнаружили, что он равен нулю, следовательно, ортогональные векторы.
Нотация скобки может быть проще, но ваша достаточно хороша.
Я не понимаю, зачем мне это нужно ∫ | Ψ 3 | 2 г Икс "=" 1 . И как поможет запись в скобках?
Вы, вероятно, вернетесь к нотации Дирака/бракета позже в своем курсе. Но это помогло бы избавиться от интегралов в этой задаче.
Я видел нотацию скобки пару раз, и я полагаю, что мы здесь хотим показать, что ⟨ Ψ 4 | Ψ 3 ⟩ "=" ⟨ Ψ 1 − Ψ 2 | Ψ 1 + Ψ 2 ⟩ "=" 0 , но я действительно не понимаю, как я должен продолжать без использования интеграла.
@PoetryInMotion: основное предположение состоит в том, что символы «плюс ( + )" и "минус ( − )", который вы использовали для выражения Ψ 3 и Ψ 4 в терминах состояний «ортонормированного базиса» Ψ 1 и Ψ 2 на самом деле представляют собой соответствующие арифметические операции между значениями комплексных чисел внутренних продуктов. Следовательно: ⟨ Ψ 1 − Ψ 2 | Ψ 1 + Ψ 2 ⟩ =(означает то же самое, что и)= ⟨ Ψ 1 | Ψ 1 ⟩ + ⟨ Ψ 1 | Ψ 2 ⟩ − ⟨ Ψ 2 | Ψ 1 ⟩ − ⟨ Ψ 2 | Ψ 2 ⟩ которые могут быть легко оценены в дальнейшем (будучи 0 )

Ответы (1)

Эту задачу можно было бы решить проще с помощью линейной алгебры. Вы хотите доказать, что

⟨ ψ 1 − ψ 2 | ψ 1 + ψ 2 ⟩ "=" 0

Внутренний продукт аналогичен скалярному произведению линейной алгебры и является дистрибутивным. Распределяя, мы находим, что

⟨ ψ 1 − ψ 2 | ψ 1 + ψ 2 ⟩ "=" ⟨ ψ 1 − ψ 2 | ψ 1 ⟩ + ⟨ ψ 1 − ψ 2 | ψ 2 ⟩ "=" ⟨ ψ 1 | ψ 1 ⟩ − ⟨ ψ 2 | ψ 1 ⟩ + ⟨ ψ 1 | ψ 2 ⟩ − ⟨ ψ 2 | ψ 2 ⟩

Потому что ψ 1 и ψ 2 ортогональны и нормализованы, вы знаете ⟨ ψ я | ψ Дж ⟩ "=" дельта я Дж . Подставляя, приведенное выше выражение оценивается как 1 − 0 + 0 − 1 "=" 0 , демонстрируя, что два вектора действительно ортогональны.

Ваш подход - с использованием интегралов - также был верным и здесь в основном похож на мой. Однако, отметив, что использованное вами отношение ( ⟨ ψ 1 | ψ 2 ⟩ "=" ∫ − ∞ ∞ ψ 1 * ψ 2 г Икс ) удовлетворяет определению скалярного произведения, интегралы можно опустить.

А, это имеет смысл! Однако я до сих пор не понимаю, какое отношение коэффициенты нормализации имеют к вопросу. Оба Ψ 3 и Ψ 4 бывает нормировочный коэффициент 1 / 2 , но не может иметь ничего общего с их ортогональностью, не так ли?
Да, я не уверен, зачем вам нужны коэффициенты нормализации здесь. Понятно, что если ⟨ ψ 1 | ψ 2 ⟩ "=" 0 , затем ⟨ к ψ 1 | ψ 2 ⟩ "=" к ⟨ ψ 1 | ψ 2 ⟩ "=" 0 .
@PoetryInMotion Можете ли вы объяснить контекст, в котором в руководстве по решению использовались коэффициенты нормализации?
О, извините, я пропустил, что я должен был исследовать ортогональность Ψ 3 и Ψ 4 и нормализовать Ψ 3 и Ψ 4 . Это объясняет, почему в руководстве по решению не используются константы нормализации.
Все в порядке. Поскольку вы правильно нашли коэффициент нормализации выше, я полагаю, вам не нужна помощь с этой частью.
Ортогональность суммированных волновых функций
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v