Какова наименьшая энергия системы из 2 электронов со спином 1/2?

Этот вопрос взят непосредственно из книги Кана и Андерсона «Победа над физикой GRE».

Два электрона со спином 1/2 помещены в одномерный гармонический потенциал осциллятора с угловой частотой ю . Если измерение С г системы возвращается ℏ , что из следующего является наименьшей возможной энергией системы?

(Ответ 2 ℏ ю .)

В книге есть решение, но я не могу ему следовать. Надеюсь, кто-нибудь найдет время, чтобы провести меня через это?

Изменить: книжное решение

Вот решение книги:

Общий С г "=" ℏ означает, что электроны должны находиться в триплетном состоянии, которое является симметричным. Для полностью антисимметричной волновой функции пространственная волновая функция должна быть антисимметричной. Это выбивает основное состояние, где оба электрона находятся в н "=" 0 состояние гармонического осциллятора, так как после антисимметризации оно тождественно обращается в нуль. Таким образом, следующее доступное состояние — это антисимметризованная версия, имеющая н "=" 0 и н "=" 1 :

ψ с п а т я а л "=" 1 2 ( | 0 ⟩ 1 | 1 ⟩ 2 − | 1 ⟩ 1 | 0 ⟩ 2 ) .
Это энергетическое собственное состояние с энергией ℏ ю / 2 + 3 ℏ ю / 2 .

Мои обновленные вопросы:

  1. Почему состояния должны быть антисимметричными?
  2. Как уравнение для ψ с п а т я а л дать энергию ℏ ю / 2 + 3 ℏ ю / 2 ?

Я надеюсь, что это проясняет мой вопрос.

Поместите изображение страницы решения в свой пост. Нет гарантии, что вы получите ответ, но вы можете указать строку, которая вызывает у вас проблемы.
Я не думаю, что этот вопрос актуален в его нынешнем виде. Прямо сейчас это вопрос «покажи мне, как ответить на этот вопрос» или «проверь мою работу». Я думаю, что это может быть сфокусировано на чем-то по теме (а упомянутая проблема — это симпатичное упражнение, которое исследует две идеи одновременно), но оно должно быть направлено на физику, которую Джон не понимает.

Ответы (2)

Тот факт, что спин системы равен единице, означает, что система находится в «триплетном состоянии». Точно так же чистый спин системы равен 1. Следуя стандартному рецепту «сложения углового момента» для частиц с двумя половинными спинами, вы можете видеть, что существуют три возможных спиновых состояния, все из которых симметричны относительно взаимообмена фермионы.

ψ 1 "=" | + ⟩ | + ⟩ ψ 2 "=" | − ⟩ | − ⟩ ψ 3 "=" | + ⟩ | − ⟩ + | − ⟩ | + ⟩

Фермионная статистика требует, чтобы чистое состояние Н фермионная система будет антисимметричной относительно перестановки любых двух фермионов. Напомним, что энергетические уровни гармонического осциллятора следуют

Е н "=" ℏ ю ( н + 1 2 )

для н 'я гармоника. Конкретная форма волновой функции не важна, но вы можете посмотреть их в википедии здесь . Важно то, что любое состояние системы можно записать в виде

ψ "=" ∑ я с я ψ я ( 1 ) ψ я ( 2 )
где с я является амплитудой для состояния и ψ я ( 1 , 2 ) - одночастичные волновые функции для частиц 1 и 2 соответственно (записанные в «собственном базисе» некоторого оператора с собственными значениями я , в этом случае мы берем гамильтониан так, чтобы иметь состояния с определенной энергией).

Мы знаем, что можем написать ψ как произведение спиновой части и пространственной части. Из вышесказанного можно сделать вывод, что спиновая часть состояния симметрична, следовательно, пространственная часть должна быть антисимметричной . Тогда наименьшая возможная пространственная волновая функция энергии (без учета нормализации)

ψ пространственный "=" ψ 0 ( 1 ) ψ 1 ( 2 ) − ψ 1 ( 1 ) ψ 0 ( 2 )

Здесь мы установили с я до 0 для всех я кроме этой комбинации, так как любая другая комбинация должна иметь большие значения для н или не быть антисимметричным. Это единственный способ получить антисимметричную комбинацию н "=" 0 и н "=" 1 , и это самый низкий энергетический уровень с момента попытки записать антисимметричное состояние с обоими н "=" 0 вызовет отмену и приведет к ψ "=" 0 .

Тогда полная энергия такого состояния есть сумма энергий отдельных состояний, а именно: Е сеть "=" Е 0 + Е 1 , что дает вам ответ Е "=" 2 ℏ ю .

Фермионы не могут находиться в одном и том же состоянии согласно принципу запрета Паули. Поэтому два электрона с одинаковыми спинами должны занимать два разных энергетических уровня. Наименьшая комбинация - E0+E1.

Какова наименьшая энергия системы из 2 электронов со спином 1/2?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v