Основное состояние квантово-механической системы

Оглядываясь назад на свои курсы квантовой механики, я заметил, что предположения об основном состоянии квантово-механической системы были довольно расплывчатыми и неточными. Всегда предполагается, что основное состояние существует и что оно имеет конечную энергию. Итак, мои вопросы следующие:

  1. Должна ли каждая квантовомеханическая система иметь основное состояние? И как мы можем быть в этом уверены?

  2. Должно ли это основное состояние иметь конечную энергию?

  3. Или это энергия − ∞ тоже разрешено?

Точное доказательство основного состояния дано во «Введении в квантовую механику» Д.Дж. Гриффитса для простейшей системы (задача 2.2). Там показано, что если у вас есть собственное энергетическое состояние ψ ( Икс ) ( для простоты работа в позиционном пространстве ) с энергией Е , так:

ЧАС ^ ψ ( Икс ) "=" Е ψ ( Икс ) ,
где мы рассматриваем простую нерелятивистскую точечную частицу, поэтому
ЧАС ^ "=" Т ^ + В ^ .
Применяя это к этому к уравнению для собственного состояния ψ ( Икс ) это дает:
[ − ℏ 2 2 м ∂ 2 ∂ Икс 2 + В ( Икс ) ] ψ ( Икс ) "=" Е ψ ( Икс ) ,
или (после некоторой простой перезаписи) как:
∂ 2 ψ ( Икс ) ∂ Икс 2 "=" 2 м ℏ 2 [ В ( Икс ) − Е ] ψ ( Икс ) .
В случае, если бы мы имели энергию, которая ниже минимума В ( Икс ) (при условии, что потенциал имеет минимум), волновая функция была бы ненормируемой, поскольку ψ ( Икс ) и ∂ Икс Икс ψ ( Икс ) которые имеют тот же знак. Это из-за того, что ψ ( Икс ) может иметь только минимум, если он положительный, и максимум, если он отрицательный, что дает ненормализуемый характер.

  1. Так что это все еще оставляет меня с вопросом о том, как они знают это наверняка для потенциалов кулоновского типа?

  2. и как они делают это в квантовой теории поля (и, соответственно, в классической физике)?

Я знаю, что этот вопрос находится в той же логике рассуждений, что и вопрос ( Почему система пытается минимизировать потенциальную энергию? ). Но то, что я ищу, это не «Почему все стремится к минимальной энергии». Но больше «Почему мы предполагаем, что такое минимальное энергетическое состояние существует?».

Ответы (3)

Гамильтониан хороших физических систем всегда предполагается ограниченным снизу, т. е. существует состояние с наименьшей энергией — основное состояние. Поскольку вы всегда можете сдвинуть все энергии (в нерелятивистской КМ), вы можете сдвинуть все энергии на − ∞ в принципе, хотя расстояние между основным состоянием и возбужденными состояниями останется прежним.

Отсутствие основного состояния означало бы некую нестабильность в системе. Например, невзаимодействующие бозоны в большом каноническом ансамбле при нулевой температуре не образуют хорошей системы при положительном химическом потенциале: вы можете поместить бесконечное число бозонов в состояние с нулевым импульсом, что подразумевает бесконечную плотность и бесконечная (отрицательная) энергия. Это не звуковое состояние материи.

Итак, больше из рассуждений статистической физики, где, например, если T → 0, система должна перейти в какое-то устойчивое состояние? Потому что если я думаю о кулоновской системе, потенциал может достигать − ∞ , разве это не означает, что энергия может продолжать уменьшаться, так что основное состояние будет неопределенным?
Будьте осторожны, квантово-механически, это не потому, что потенциал идет (наивно) к − ∞ что энергия основного состояния уходит в − ∞ . Именно так квантовая механика решает проблему стабильности атома. Ограниченность гамильтониана не такая, как у потенциала.
так классически мы не должны всегда иметь основное состояние? Да, действительно, я должен был решить атом водорода на втором курсе, и там электрон не врезался в протон из-за квантовой механики. Но мне было интересно, как мы можем быть уверены в этом основном состоянии? Я добавил доказательство в свой вопрос для простых систем. Но я все еще не уверен, как мы можем сказать, что это правда в целом. Конечно, система без основного состояния может быть глупой с физической точки зрения. Возможно, я больше интересовался математикой. Почему вы не можете перенаправить свою энергию в релятивистскую квантовую механику?
В специальной теории относительности энергия не является независимой, вы должны думать о ней как о части 4-вектора с импульсом. Таким образом, вы не можете просто сместить энергию без изменения импульса.
глупый я, должен был знать это! Да, мне кажется в некотором роде разумным, что должно существовать основное состояние, поскольку согласно второму закону термодинамики система перешла бы в это состояние с минимальной энергией. Итак, если бы у нас была система с основным состоянием с бесконечно малой энергией, мы могли бы извлекать энергию вечно. Такой системы пока не наблюдается. А что касается системы бозонов, то не приводит ли конденсация Бозе-Эйнштейна к макроскопическому занятию основного состояния?
@Nick: Для BEC: да, если вы работаете в каноническом ансамбле, вы действительно найдете макроскопическое занятие самого низкого энергетического состояния, с этим нет проблем. В большом каноническом ансамбле есть термин − мю Н ^ в гамильтониане, что делает систему нестабильной (для идеального бозе-газа), поскольку в основное состояние можно поместить бесконечное количество частиц и получить бесконечную отрицательную энергию.
но не нужно ли всегда работать в гранд-каноническом ансамбле и "выбирать" свой химический потенциал мю таким образом, чтобы получить нужное количество частиц?
@Ник: Ну, нет. I зависит от (физической) системы. Имея Н атомы в закрытом ящике — это не то же самое, что иметь колеблющееся число бозонов из-за резервуара частиц. В термодинамическом пределе (если он хорошо определен! А здесь, в GCE, это не так), оба дадут один и тот же ответ для стандартной задачи, но это не обязательно верно. Например, дальнодействующее взаимодействие заставляет разные ансамбли давать разные ответы (например, гравитационные системы).

Я знаю, что это было задано 2 года назад, но я хочу ответить, чтобы помочь всем, кто найдет это.

Насколько я понимаю:

Предположим Е "=" − ∞ состояния не разрешены, потому что тогда все частицы, вероятно, захотят оказаться в этой системе, если они вступят с ней в контакт, поскольку это глобальный и локальный минимум энергии во всем мире . Вы также можете получить из него бесконечную энергию, а мы знаем, что это не нормально с точки зрения термодинамики. Таким образом, это было бы нестабильным и нефизическим.

Итак, мы предполагаем, что минимальная энергия, которую может иметь частица, равна Е > − ∞ , и поэтому должен быть нижний предел энергии. Если частица связана в этой системе, она имеет квантованные состояния. Но если существует нижний предел энергии, которую мы можем иметь, и энергии квантуются, это означает, что должно быть одно или несколько состояний (или движение к континууму) с наименьшей энергией. Е "=" Е 0 > − ∞ . Итак, вот ваш минимум энергии.

Кроме того, эта проблема решается уравнением Дирака, которое не допускает отрицательных энергий (если вы получаете отрицательные энергии, то у вас фактически есть античастица с положительной энергией).

  • Замечено, что квантово-механический осциллятор всегда имеет энергию основного состояния *

h пересечь омегу на 2

* и необходимо, чтобы у нас было понятие

энергия нулевой точки

в осцилляторе (квантовом), и если квантовые системы становятся большими, то это рассматривается как классическое приближение осциллятора.

вы даже можете найти примеры в теории рассеяния, показывающие существование энергии основного состояния.

Концепция отрицательной энергии фактически решена Дираком для интерпретации состояний с отрицательной энергией.

Если вы знакомы с угловым моментом qm, мы обнаружим, что спин не включен, и в уравнениях Дирака спин легко появляется при выводе спина частицы.

в этом преимущество уравнения Дирака, которое является линейным уравнением, а представление Шредингера является одним из самых простых способов понять физическое состояние состояния.

уравнение Дирака полностью решает проблему, и именно в релятивистской qm объясняются спин и физический смысл состояний с отрицательной энергией. Пожалуйста, внимательно изучите релятивистскую квантовую механику . на самом деле Дирак успешно решил, чтобы линейное уравнение завершило полную форму квантовой механики.

Я знаю о проблеме Дирака и так далее. Мне в основном интересно, почему мы можем предположить, что у нас есть основное состояние. Для случая гармонического осциллятора доказательство приведено выше. А вот например для других систем мне это не так понятно :(.
Так что это скорее своего рода аргументация существования/доказательство, которое я ищу.
Основное состояние квантово-механической системы
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v