Откуда берется изоспиновая симметрия SU(2)SU(2)SU(2)?

Ответ DomDoe является историческим ответом, но я подозреваю, что mithusengupta123 действительно может спрашивать что-то вроде:

Учитывая наше понимание Стандартной модели физики элементарных частиц, как получается, что физика адронов низких энергий имеет приблизительную изоспиновую симметрию?

1. Изоспин, действующий на кварки

Исторически изоспин исторически предлагался как симметрия между протонами и нейтронами. нуклон это поле$N = (p, n)^T$это дублет относительно изоспина SU (2). Эквивалентно, мы можем определить изоспин легких кварков, поместив верх и низ в дублет изоспина,$q = (u, d)^T$.

При добавлении спина состояние с двумя верхними кварками и нижним кварком имеет чистый изоспин.$I^3 = +1/2$, и, таким образом, это согласуется с тем, что протон является$+1/2$состояние. Аналогично нейтрону, имеющему изоспин$-1/2$.

2. Изоспин не точен

Изоспин не является точной симметрией. Это приблизительная симметрия. Его нарушают:

1. Массы кварков. Масса верхнего кварка отличается от массы нижнего кварка. Точно так же протон имеет другую массу, чем нейтрон.

2. Это также сломало мой электромагнетизм. Верхние и нижние кварки имеют разный электрический заряд. Точно так же протон заряжен, тогда как нейтрон нейтрален.

В этом смысле изоспин не является симметрией. Это почти симметрия. Что мы подразумеваем под почти ? Мы имеем в виду, что существует небольшой безразмерный параметр, который мы можем расширить. Когда мы говорим о физике адронов низких энергий, этот параметр имеет вид$(m_u - m_d)/\Lambda_\text{QCD}$, где$\Lambda_\text{QCD}$— это шкала удержания (в качестве альтернативы вы можете указать массу протона, которая примерно того же порядка). Другой параметр расширения$\alpha = 1/137$. Оба этих параметра расширения находятся на процентном уровне.

Это означает, что если мы имеем результат, истинный в точном пределе изоспиновой симметрии, то действительный результат в природе будет таким же, с точностью до процентных поправок. Кроме того, мы можем использовать такие методы, как теория возмущений, для решения этих поправок по порядку.

3. Изоспин на практике

Как мы используем изоспин? Одним из простых примеров являются пионы. Мы знаем, что пионы — это связанные состояния двух легких кварков. То есть они находятся в представлении изоспина, которое происходит от произведения двух дублетов. (Здесь есть тонкость, потому что на самом деле это пара кварк-антикварк, см., например, этот вопрос .) Мы знаем, что комбинация двух дублетов SU(2) дает триплет и синглет.

Экспериментально мы можем идентифицировать триплет и синглет как три пиона и$\eta$, соответственно. Три пиона связаны друг с другом изоспиновой симметрией, тогда как$\eta$является собственным объектом. Действительно,$\eta$примерно в четыре раза тяжелее пионов примерно такой же массы.

С другой стороны, пионы не имеют одинаковой точной массы. Заряженные пионы имеют энергию 140 МэВ, а нейтральные пионы — 135 МэВ. Эта поправка на несколько процентов к точному пределу изоспина как раз и есть результат массового расщепления кварков и электромагнитного различия между заряженными и нейтральными состояниями.

4. Откуда взялся изоспин?

Теперь к сути вопроса: если мы знаем Стандартную модель, как мы понимаем, что при низких энергиях существует приблизительная изоспиновая симметрия? Как это связано с любой другой симметрией Стандартной модели?

Ответ заключается в том, что изоспиновая симметрия является результатом нарушения киральной симметрии.

Представьте, что вы записываете все частицы Стандартной модели без каких-либо взаимодействий. Между кварками существует симметрия.$U(6)_L\times U(6)_R$, который вращает шесть левых кварков отдельно от шести правых кварков. (Напомним из теории представлений, что левокиральное и правокиральное поля — это априори совершенно разные вещи, которые могут иметь разные заряды.) На самом деле это

Эта симметрия нарушается:

1. Электрослабая сила, которая различает левые и правые киральные кварки. Кроме того, он помещает левые кварки в дублеты и различает правые кварки с зарядами вверх и вниз.

2. Взаимодействие Юкавы с взаимодействием Хиггса, которое (при нарушении электрослабой симметрии) придает различные массы вектороподобным комбинациям левых и правых киральных кварков. Это объединяет фермионы Вейля в фермионы Дирака.

Давайте проигнорируем электрослабое взаимодействие — эти эффекты связаны с электрослабыми взаимодействиями, которые, как мы знаем, относительно малы. Конечно, при низких энергиях, когда они либо опосредованы фотоном ($\alpha = 1/137$) или$W/Z$бозон (подавлены вклады при низких энергиях, потому что они тяжелые).

Тогда массовые члены соединяют левые и правые киральные фермионы. Эти массовые члены выглядят как$m_q \bar q_L q_R+\text{h.c.}$. Во-первых, давайте представим, что все кварки имеют одинаковую массу. То есть,$m_q$является универсальным. Тогда это означает, что наш оригинал$U(6)_L\times U(6)_R$симметрия нарушена до$U(6)_D$, где$D$значит диагональ. Если вы вращаетесь между шестью левыми кварками, вы должны сделать компенсирующее вращение среди шести правых кварков, чтобы массовый член оставался неизменным.

Как только вы включите разные массы каждого кварка, тогда это$U(6)_D$разбивается далее на$U(1)^6$, что в основном представляет собой перефазировку каждого типа кварков.

Мы знаем, что в массах кварков существует большая иерархия, поэтому по большей части это разложение на$U(1)^6$симметрия довольно строгая. Каждая U(1) представляет собой сохранение положительности, низости, странности, привлекательности и т. д. (Мы знаем, что взаимодействия$W$бозоны нарушают их, но пока мы игнорируем электрослабые взаимодействия.) Однако расщепление масс между верхним и нижним кварком относительно невелико... так что на самом деле верхний и нижний имеют приблизительное$SU(2)$симметрия осталась. (Я небрежно отношусь к факторам U(1), вы можете переупаковать их в общий закон сохранения барионного числа и другие законы сохранения.) Это$SU(2)$симметрия — это именно изоспин.

5. Что это нам дает?

Почему это полезно с фундаментальной точки зрения?

Мы знаем, как бороться со спонтанным нарушением симметрии. В частности, мы знаем, что нарушение$SU(2)_L\times SU(2)_R$подгруппа$U(6)_L\times U(6)_R$является спонтанным нарушением приближенной симметрии. Таким образом, мы можем описать взаимодействия голдстоуновских бозонов этого нарушения с помощью нелинейной сигма-модели с точностью до поправок.

Сила этой точки зрения состоит в том, что пионы отождествляются с бозонами Голдстоуна$SU(2)_L\times SU(2)_R \to SU(2)_D$. Их взаимодействия друг с другом предсказываются нелинейной сигма-моделью, если определить масштаб, на котором эта симметрия нарушается. (Это константа распада пиона, которая связана с масштабом нарушения киральной симметрии киральным конденсатом КХД.)

Можно расширить это и сказать, что странный кварк также достаточно близок по массе к верхнему и нижнему. Тогда можно говорить о приблизительном$SU(3)_L\times SU(3)_R \to SU(3)_D$ломать. В пределе, когда массы всех трех легких кварков вырождены, голдстоуновские бозоны можно описать как октет пионов и каонов. Все взаимодействия между этими частицами предсказываются нелинейной сигма-моделью, вплоть до поправок, которые теперь немного больше, чем в чистом случае изоспина SU(2).

Изоспин был введен до того, как была разработана кварковая модель. Поскольку ап- и нижние кварки имеют примерно одинаковую массу и одинаковую связь с сильным взаимодействием, эта симметрия довольно хорошо работает для нуклонов (протонов).$uud$, нейтрон$udd$).$SU(2)$был предложен как аналогия обычному вращению. Он рассматривает протон и нейтрон как два разных состояния (спин вверх, спин вниз) одной и той же частицы (отсюда$SU(2)$).

После введения кварковой модели (где уже было замечено, что существуют гораздо более тяжелые кварки, чем вверх/вниз), все остальные кварки получили изоспины.$0$-заряд, чтобы сделать его исключительно симметрией верхних/нижних кварков ($I_{3_{u/d}}=\pm \frac{1}{2}$).