Кварковый состав нейтрального пиона

Причина, по которой знаки перевернуты по сравнению с тем, что вы ожидаете, связана с тем фактом, что антикварк трансформируется противоположным образом при вращении изоспина. Если обычный кварковый дублет является вектор-столбцом

$$q=(u, d)^T$$ и преобразуется при вращении как $$q\rightarrow U(R) q$$ дублет антикварка - это вектор-строка $$\bar{q}=(\bar{u}, \bar{d})\rightarrow \bar{q} U(R)^\dagger.$$

Но$SU(2)$имеет специальное свойство, называемое «псевдореальностью», поэтому мы можем записать антикварки как вектор-столбец, который преобразуется нормально, как

$$(-\bar{d}, \bar{u})^T\rightarrow U(R)(-\bar{d}, \bar{u})^T$$ Это связано с матрицей Паули. $\sigma_2$быть как оператор зарядового сопряжения, если вы знакомы с этим.

Чтобы добавить изоспин обычным способом, нам нужны и кварк, и антикварк в одном и том же представлении, поэтому синглет$|\uparrow\downarrow\rangle-|\downarrow\uparrow\rangle$в этом случае

$$u\bar{u}-d(-\bar{d})$$ поэтому берем плюсик.

Давайте поймем это с точки зрения того, что пионы являются псевдоголдстоуновскими бозонами. Предположим, для случая$SU_{L}(2)\times SU_{R}(2)$у нас есть билинейная форма

$$\tag 0 L_{qq} = \bar{q}_{i}q_{i}, \quad i = u, d$$ Как известно, ниже $\Lambda_{QCD}$масштабировать спонтанно нарушающую группу симметрии до диагональной группы $SU_{V}(2)$возникает. Используя обычную технику, мы можем извлечь голдстоуновскую степень свободы из кварковых полей, $$q_{i} \equiv (U\tilde{q})_{i}, \quad U \equiv \text{exp}\left[ i\gamma_{5}\frac{\epsilon_{a}t_{a}}{f_{\pi}}\right],$$ где $t_{a}$являются матрицами Паули и $\epsilon_{a}$являются действительными параметрами, зависящими от координат, а затем заменяют билинейные формы на VEV: $$\tag 1 \bar{\tilde{q}}_{i}\tilde{q}_{j} \to V\delta_{ij}, \quad \bar{\tilde{q}}_{i}\gamma_{5}\tilde{q}_{j} \to 0$$ Обратите внимание, что $\epsilon_{a}t_{a}$можно параметризовать, используя явный вид матриц Паули, в виде $$\tag 2 \epsilon_{a}t_{a} = \begin{pmatrix} \frac{\pi^{0}}{\sqrt{2}} & \pi^{-} \\ \pi^{+} & -\frac{\pi^{0}}{\sqrt{2}}\end{pmatrix},$$ где $\pi^{\pm} \equiv \epsilon_{1} \pm i\epsilon_{2}$. Как видим, мы явно получаем одну нейтральную степень свободы, $\pi^{0}$, и два заряженных, $\pi^{\pm}$. Теперь рассчитаем амплитуду однопионного перехода из $(0)$, $$\langle 0 | \bar{q}_{i}q_{i}|\pi^{0}\rangle,$$ используя $(1)$и $(2)$. Сразу получаем, что $$\langle 0 | \bar{q}_{i}q_{i}|\pi^{0}\rangle \equiv \frac{i}{\sqrt{2}f_{\pi}}\langle 0|\bar{\tilde{q}}_{i}t_{3}^{ij}\tilde{q}_{j}\pi^{0}|\pi^{0}\rangle \simeq \frac{i}{\sqrt{2}f_{\pi}}\langle 0|\bar{\tilde{u}}\tilde{u}-\bar{\tilde{d}}d|0\rangle,$$ что сразу дает утверждение, что пион представляет собой комбинацию $uu, dd$со знаком минус, потому что это параметризация голдстоуновской степени свободы в случае обрыва $SU_{L}(2)\times SU_{R}(2)$группа, не $U_{L}(2)\times U_{R}(2)$. Комбинация со знаком «плюс» соответствует параметризации $U(1)$группа. Как вы знаете, это $\eta$мезон для $SU_{L}(2)\times SU_{R}(2)$группа и $\eta{'}$мезон для $SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)$группа. Конечно, эти сочетания возникают в природе.