Откуда выражение 1}{(2\pi\hbar)^{n/2}}e^{iq\cdot p/\hbar}? [дубликат]

Вы можете увидеть это из понятия преобразования Фурье. Например, вы можете выразить произвольное квантовое состояние вашего гильбертова пространства в импульсном представлении, применив преобразование Фурье к вашему позиционному представлению. Точнее, для$\left|\psi\right>\in\mathcal{H}$, вы можете определить

$$\left< \mathbf{q} |\psi\right> = \mathcal{F}^{-1} \left[\left< \mathbf{p} |\psi\right>\right] = \frac{1}{\mathcal{N}_F} \int_{\mathbb{R}^n}\left< \mathbf{p} |\psi\right> e^{i \mathbf{p}\cdot\mathbf{q}/\hbar} \text{d}p^n \hspace{2cm}(1)$$

Теперь мы почти у цели. Вы можете использовать тот факт, что положение и импульс выполняют отношения полноты. Например, у вас может быть

$$\int_{\mathbb{R}^n} \left|\mathbf{p} \right> \left< \mathbf{p}\right| \text{d}p^n = \mathcal{N}_p$$

Вставка этого в левую часть уравнения (1) дает

$$\left< \mathbf{q} |\psi\right> = \frac{1}{ \mathcal{N}_p} \int_{\mathbb{R}^n} \left< \mathbf{q} |\mathbf{p} \right> \left< \mathbf{p}|\psi\right> \text{d}p^n$$

Отождествление этого с правой частью уравнения (1) приводит к желаемому соотношению

$$\left< \mathbf{q} |\mathbf{p} \right> = \frac{\mathcal{N}_p} {\mathcal{N}_F} e^{i \mathbf{p}\cdot\mathbf{q}/\hbar}$$

Нормализации$\mathcal{N}_i$зависят от соглашений без общего согласия. И, кстати, вы также можете восстановить свое представление дельта-функции (которая присуща понятию преобразования Фурье).

РЕДАКТИРОВАТЬ: Чтобы немного уточнить связь с дельта-функцией. Вы можете интерпретировать$\delta$как функционал, действующий в вашем гильбертовом пространстве. Другими словами, вы определяете, что

$$\left< \mathbf{q} |\psi\right> = \int_{\mathbb{R}^n} \delta^{(n)}(\mathbf{x}-\mathbf{q})\psi(x) \text{d}x^n$$

где$\psi$может быть элементом$\mathcal{L}(\mathbb{R}^n)$, например. Тогда для$\psi,\phi\in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n)$вы используете стандартное определение скалярного произведения в этом пространстве

$$\left< \phi |\psi\right> = \int_{\mathbb{R}^n} \phi^\ast(\mathbf{x}) \psi(\mathbf{x}) \text{d}x^n = \int_{\mathbb{R}^n} \left< \phi|\mathbf{x}\right>\left< \mathbf{x} |\psi\right>$$ и вы видите, что мы получаем отношение полноты

$$\int_{\mathbb{R}^n} \left|\mathbf{x} \right> \left< \mathbf{x}\right| \text{d}x^n = 1$$

А чтобы замкнуть круг сейчас, можно расширить (в позиционной основе)

$$\left< \mathbf{x} |\psi\right> = \int_{\mathbb{R}^n} \left< \mathbf{x}|\mathbf{y} \right> \left< \mathbf{y}| \psi\right> \text{d}y^n$$

Таким образом, вы определяете

$$\left< \mathbf{x}|\mathbf{y} \right> = \delta^{(n)} (\mathbf{x}-\mathbf{y})$$

Я надеюсь, что это немного иллюстрирует, насколько фундаментальным является появление этой дельта-функции. Не случайно :)