Преобразования Фурье положения и импульсного пространства в квантовой механике

Question

Преобразования Фурье положения и импульсного пространства в квантовой механике

Физика
импульс
собственное значение
условности
преобразование Фурье
квантовая механика

Квантовый Человек

Преобразования Фурье:

ф (\vec{к}) "=" {(\frac{1}{\sqrt{2 π}})}^{3} \int_{р космос} ψ (\vec{р}) е^{- я к \cdot р} г^{3} р

$\phi(\vec{k}) = \left( \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \right)^3 \int_{r\text{ space}} \psi(\vec{r}) e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} d^3r$

для импульсного пространства и

ψ (\vec{р}) "=" {(\frac{1}{\sqrt{2 π}})}^{3} \int_{к космос} ф (\vec{к}) е^{я к \cdot р} г^{3} к

$\psi(\vec{r}) = \left( \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \right)^3 \int_{k\text{ space}} \phi(\vec{k}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} d^3k$

для позиционного пространства.

Откуда мы это знаем $\psi$ не является преобразованием Фурье $\phi$ а мы полагаем, что все наоборот( $\psi$ было бы пропорционально $\exp[-ikr]$ и $\phi$ было бы пропорционально $\exp[ikr]$ )? Если бы не было разницы в знаках, не было бы проблемы в интегрировании от минус инф. к плюс инф. если вероятность асимметрична относительно нуля?
По какой физической причине в интеграле по импульсному пространству имеем $\exp[-ikr]$ ? Я согласен с показателем степени для пространства положений, который можно объяснить следующим образом: это сумма всех определенных импульсных состояний системы, но как насчет Фурье импульсного пространства? Как мы можем объяснить интеграл (не математически)?

Квантовый Человек

Если у кого-то есть лучшее название, пожалуйста, не стесняйтесь предлагать его.

По симметрии

В какую сторону вы поставите знак минус, не имеет значения и является чисто условным. Все, что имеет значение, это то, что вы последовательны в том, где вы это делаете.

Квантовый Человек

Но когда вы интегрируете, не будет ли разницы, если пределы интегрирования не будут от минус бесконечности до плюс бесконечности?

По симметрии

Если у вас есть асимметричный домен, это может иметь значение, но в этом случае у вас обычно будут разные собственные состояния импульса, чтобы удовлетворить ваши граничные условия. Даже тогда это больше зависит от того, как вы помечаете состояния, чем от чего-либо еще.

Квантовый Человек

Но разве нет правильного способа сделать это, а не просто сказать, что вы выбираете то, что вам нравится?

По симметрии

Нет. При условии, что вы выберете один и будете придерживаться его, нет правильного или неправильного пути. Все, что вы в конечном итоге делаете, это перебираете кучу минусов, которые будут выпадать всякий раз, когда вы вычисляете наблюдаемую величину.

Квантовый Человек

хорошо, спасибо большое. если вы хотите написать это как ответ, я отмечу его как принятый ответ.

маршировать

Я не уверен в ваших обозначениях, так что может быть, вы просто говорите о произвольной волновой функции, но я хочу указать, что собственная функция оператора импульса не является преобразованием Фурье собственной функции оператора положения .

Квантовый Человек

@march Я скажу по-другому: почему в соотношениях преобразования Фурье у нас есть epx[ikr] в интеграле для Ψ и почему у нас есть exp[-ikr] в интеграле для Φ?

Квантовый Человек

Я отредактировал вопрос.

Джахан Клас

Еще один комментарий: если мы говорим об одной функции, общепринятым соглашением является использование

Ψ (r)

$\Psi(r)$ для функции в реальном пространстве, и

\tilde{Ψ} (k)

$\tilde{\Psi}(k)$ или даже просто

Ψ (k)

$\Psi(k)$ для функции в k-пространстве. Этим подчеркивается тот факт, что это связанные функции, а не просто две случайные функции

Φ

$\Phi$ и

Ψ

$\Psi$ .

Квантовый Человек

Я включил то, что Φ и Ψ в вопросе

Джахан Клас

@LandosAdam Я хорошо понял вопрос и использовал ваши обозначения в своем ответе. Я просто хотел, чтобы вы знали правильное обозначение в будущем.

Ответы (3)

Преобразования Фурье положения и импульсного пространства в квантовой механике

Если у кого-то есть лучшее название, пожалуйста, не стесняйтесь предлагать его.
В какую сторону вы поставите знак минус, не имеет значения и является чисто условным. Все, что имеет значение, это то, что вы последовательны в том, где вы это делаете.
Но когда вы интегрируете, не будет ли разницы, если пределы интегрирования не будут от минус бесконечности до плюс бесконечности?
Если у вас есть асимметричный домен, это может иметь значение, но в этом случае у вас обычно будут разные собственные состояния импульса, чтобы удовлетворить ваши граничные условия. Даже тогда это больше зависит от того, как вы помечаете состояния, чем от чего-либо еще.
Но разве нет правильного способа сделать это, а не просто сказать, что вы выбираете то, что вам нравится?
Нет. При условии, что вы выберете один и будете придерживаться его, нет правильного или неправильного пути. Все, что вы в конечном итоге делаете, это перебираете кучу минусов, которые будут выпадать всякий раз, когда вы вычисляете наблюдаемую величину.
хорошо, спасибо большое. если вы хотите написать это как ответ, я отмечу его как принятый ответ.
Я не уверен в ваших обозначениях, так что может быть, вы просто говорите о произвольной волновой функции, но я хочу указать, что собственная функция оператора импульса не является преобразованием Фурье собственной функции оператора положения .
@march Я скажу по-другому: почему в соотношениях преобразования Фурье у нас есть epx[ikr] в интеграле для Ψ и почему у нас есть exp[-ikr] в интеграле для Φ?
Еще один комментарий: если мы говорим об одной функции, общепринятым соглашением является использование $\Psi(r)$ для функции в реальном пространстве, и $\tilde{\Psi}(k)$ или даже просто $\Psi(k)$ для функции в k-пространстве. Этим подчеркивается тот факт, что это связанные функции, а не просто две случайные функции $\Phi$ и $\Psi$ .
@LandosAdam Я хорошо понял вопрос и использовал ваши обозначения в своем ответе. Я просто хотел, чтобы вы знали правильное обозначение в будущем.

Джахан Клас · Answer 1

Джахан Клас

скажем $\Phi$ дельта-функция, $\Phi(k)=\delta(k-k_0)$ . Предположительно, вы хотите, чтобы это было собственное состояние оператора импульса с импульсом $\hbar k_0$ . С выбранным вами соглашением мы можем преобразовать это в волновую функцию реального пространства (для удобства я игнорирую нормализацию):

Ψ (р) "=" \int г к дельта (к - к_{0}) е^{я к р} "=" е^{я к_{0} р}

$\Psi(r)= \int dk \delta(k-k_0)e^{ikr}=e^{ik_0 r}$

Затем мы можем найти импульс состояния, применив оператор импульса $-i\hbar \frac{\partial}{\partial r}$ и найти собственное значение. Мы видим, что это состояние имеет импульс $\hbar k_0$ , по желанию.

Если бы вы определили преобразование Фурье с переключением знаков, вы бы обнаружили, что состояние, определяемое $\Phi(k)=\delta(k-k_0)$ будет иметь импульс $-\hbar k_0$ , что было бы неудобно. Вот почему мы определяем преобразование Фурье, как указано выше. Без каких-либо особых предпочтений относительно того, что мы хотим $\Phi(k)$ для представления мы могли бы выбрать любой из них, если бы были последовательны.

Квантовый Человек

Если бы область интегрирования была асимметричной, не возникла бы проблема с интегралом?

Квантовый Человек

Кроме того, как насчет физической интерпретации интеграла от Φ? Почему это сумма exp [-ikr]?

Кнчжоу

Состояние с импульсом

k

$k$ в позиционном пространстве

e^{i k \cdot r}

$e^{ik\cdot r}$ . Когда мы вычисляем

Φ (k)

$\Phi(k)$ , мы хотим узнать количество этого состояния в пределах

ψ (r)

$\psi(r)$ . Это делается путем взятия скалярного произведения с этим состоянием, которое добавляет комплексное сопряжение.

Джахан Клас

@LandosAdam Если ваш домен r-интеграции асимметричен, это не повлияет на ваш домен k-интеграции. А область k-интеграции всегда можно сделать симметричной. Можете ли вы привести пример, когда диапазон k был асимметричным?

Джахан Клас

@ЛандосАдам

Φ

$\Phi$ просто нужно определить с помощью интеграла по

e^{- i k r}

$e^{-ikr}$ чтобы обратное преобразование Фурье было интегралом по

e^{i k r}

$e^{ikr}$ , почему я объяснил, что мы хотели в моем ответе выше. Обратите внимание, что мы не могли интегрировать ОБА

e^{i k r}

$e^{ikr}$ или ОБЕ интегрированы

e^{- i k r}

$e^{-ikr}$ , потому что преобразования Фурье так не работают. Таким образом, выбор знака в определении

Φ

$\Phi$ полностью определяется.

Квантовый Человек

@JahanClaes Я не знаю такого примера. Но ЕСЛИ бы у нас был один такой пример, разве в интеграле не имело бы значения, стоит ли показатель степени со знаком минус или плюс?

Квантовый Человек

@JahanClaes, вы используете математическое объяснение, используя определение преобразования Фурье, хотя мне нужно физическое объяснение, такое как объяснение интеграла Ψ, которое выглядит следующим образом: «это сумма всех состояний определенного импульса системы». Итак, каково аналогичное объяснение интеграла от Φ (с минусом в показателе степени)?

Джахан Клас

@LandosAdam Я хочу сказать, что такого примера НЕ СУЩЕСТВУЕТ. Преобразование Фурье должно интегрироваться по всем возможным модам Фурье. Теперь может оказаться правдой, что некоторые моды не имеют значения (они все могут быть нулевыми для определенной волновой функции), поэтому мы интегрируем только в конечном диапазоне

k

$k$ с. В этом случае диапазон ks, по которым мы интегрируем, изменится соответствующим образом, если мы переключим

e^{- i k r}

$e^{-ikr}$ с

e^{i k r}

$e^{ikr}$ . Так что в этом смысле это может иметь значение. Но опять же, это просто вопрос правильного перетасовки знаков минус

Джахан Клас

@LandosAdam Я думаю, у тебя это немного задом наперед.

Ψ (r) = \int d k Φ (k) e^{i k r}

$\Psi(r) = \int dk \Phi(k) e^{ikr}$ представляет собой сумму по всем импульсным состояниям системы.

Φ (k)

$\Phi(k)$ , интеграл по

Ψ

$\Psi$ , представляет собой амплитуду одного импульсного состояния. Если вы квадрат

Φ (k)

$\Phi(k)$ , вы получаете вероятность оказаться в этом импульсном состоянии. Это хорошая физическая интуиция?

Джахан Клас

@LandosAdams Чтобы немного лучше сформулировать мой первый ответ: если вы интегрируете более

k

$k$ между

a

$a$ и

b

$b$ когда вы используете одно соглашение о знаках, вы просто интегрируете

k

$k$ между

- b

$-b$ и

- a

$-a$ в другом соглашении о знаках. Просто перетасовка минусов. Но в целом лучше всего думать о преобразовании Фурье как об интегрировании по всем модам Фурье, просто некоторые моды равны нулю.

Квантовый Человек

@JahanClaes, вы сказали, что интеграл от Ψ «представляет собой сумму по всем импульсным состояниям системы». Я понимаю это как exp[ikr] — состояние с определенным импульсом. Как насчет интеграла Φ до exp[-ikr]? Как мы можем объяснить его, не используя объяснение преобразования Фурье, а объяснение, использующее суммирование состояний (интеграл) в качестве объяснения интеграла для Ψ?

Джахан Клас

@LandosAdam Ты переключился

Φ

$\Phi$ и

Ψ

$\Psi$ снова! Интеграл от

Φ

$\Phi$ представляет собой сумму по всем импульсным состояниям. Интеграл от

Ψ

$\Psi$ как вы получаете

Φ

$\Phi$ .

Джахан Клас

@LandosAdam Возможно, это лучший способ подумать об этом. Мы знаем любое государство

| Ψ >

$|\Psi>$ можно разложить по импульсному состоянию как

| Ψ >= \sum_{k} Φ (k) | k >

$|\Psi>=\sum_k \Phi(k)|k>$ . Чтобы найти конкретное

Φ (k_{0})

$\Phi(k_0)$ , мы просто берем внутренний продукт

< k_{0} | Ψ >= \sum_{k} Φ (k) < k_{0} | k >= Φ (k_{0})

$<k_0|\Psi>=\sum_k \Phi(k)<k_0|k>=\Phi(k_0)$ . Этот внутренний продукт

< k_{0} | Ψ >

$<k_0|\Psi>$ это именно тот интеграл, который вы дали выше для

Φ (k)

$\Phi(k)$ . Таким образом, интеграл — это всего лишь способ проецировать векторы на определенные компоненты. Я не знаю, есть ли интуиция лучше этой.

Джахан Клас

@LandosAdam Я не думаю, что есть такая «чистая» физическая интерпретация, на которую вы надеетесь. Пространство Фурье чуть более неинтуитивно, чем реальное пространство.

Даниэль · Answer 2

Идентификация одного преобразования как преобразования Фурье, а другого как обратного преобразования является вопросом определения. Преобразование Фурье предшествует квантовой механике, поэтому причина назначения не имеет ничего общего с квантовой механикой, а связана с историей математики.

В 1807 году Фурье представил в Институт Франции рукопись, содержащую, среди прочего, то, что мы теперь называем косинусным преобразованием Фурье и его обратным преобразованием. Это его преобразования:

Ф_{с} (ты) "=" \frac{2}{π} \int_{0}^{\infty} ф (Икс) потому что (ты Икс) г Икс

$F_c(u)=\frac{2}{\pi}\int_0^\infty f(x)\cos(ux)dx$

ф (Икс) "=" \int_{0}^{\infty} Ф_{с} (ты) потому что (ты Икс) г ты .

$f(x)=\int_0^\infty F_c(u)\cos(ux)du.$

Обобщение Коши 1827 г. соотношений Фурье повлекло за собой комплекснозначные функции и неизбежную асимметрию знаков в форме преобразований. Попытка сохранить симметрию не помогает. Как отмечается в приведенной ниже статье, можно показать, что если взять один и тот же знак как для прямой, так и для обратной формулы, «одна формула не является в точности обратной другой».

Это длинное и полезное упражнение, чтобы убедиться, что $\hat{f}$ и $f$ населяют дуальные пространства с высокой степенью симметрии. Например, функция содержит ту же «энергию», что и ее ПФ (Планшерель). Спорный вопрос, будет ли физика столь же хорошо служить, если будет выбрано другое соглашение, даже если мы найдем конкретные примеры, которые, кажется, указывают на неизбранный путь.

Большую часть этого материала можно найти в статье журнала IEEE Pulse за январь/февраль 2016 г., которая, в свою очередь, основана на ряде заметок Дикина, перечисленных в списке литературы.

доэто · Answer 3

Гипотеза де Бройля по существу утверждает, что состояния с определенным импульсом $p$ имеют форму $\psi(r) = e^{ipr}$ . Они ортогональны относительно внутреннего продукта

⟨ ф | г ⟩ "=" \int ф (р) \bar{г} (р) г р

$\langle f|g\rangle := \int f(r)\overline g(r)dr$

(при любом масштабировании они, очевидно, все равно будут ортогональны). Согласно постулатам квантовой механики, они порождают полное пространство состояний.

Состояния определенного положения $r_0$ имеют форму $\phi(r) = \delta(r_0 - r)$ .

В конечномерном векторном пространстве $V$ со внутренним произведением и базисом $\psi_p$ , каждый элемент $v\in V$ имеет форму

в "=" \sum_{п} а_{п} ψ_{п} .

$v = \sum_pa_p\psi_p.$

Если $\psi_p$ ортонормированы, сразу видно, что

\begin{matrix} (1) & а_{п} "=" ⟨ в | ψ_{п} ⟩ . \end{matrix}

$a_p = \langle v|\psi_p\rangle.\tag1$

Мы могли бы просмотреть $a$ как функция $p$ : $a(p) := a_p$ , что дает коэффициент $v$ в основе $\psi_p$ .

Если у нас есть другой ортонормированный базис $\phi_r$ , в котором индекс условно обозначен другим символом, мы также имеем

в "=" \sum_{р} б_{р} ф_{р},

$v = \sum_rb_r\phi_r,$

и

б (р) "=" б_{р} "=" ⟨ в | ф_{р} ⟩ .

$b(r) := b_r = \langle v|\phi_r\rangle.$

Для оснований, описанных ранее $a$ (коэффициентная функция) будет импульсным представлением $v$ и $b$ как представление позиции . У нас есть $\langle\psi_p|\phi_r\rangle = e^{ipr}$ , и ваше первое выражение является бесконечномерным аналогом (1), тогда как ваше второе выражение является аналогом

б (р) \equiv ⟨ в | ф_{р} ⟩ "=" \sum а_{п} ⟨ ψ_{п} | ф_{р} ⟩

$b(r) \equiv \langle v|\phi_r\rangle = \sum a_p\langle\psi_p|\phi_r\rangle$

Преобразования Фурье положения и импульсного пространства в квантовой механике

Квантовый Человек

Квантовый Человек

По симметрии

Квантовый Человек

По симметрии

Квантовый Человек

По симметрии

Квантовый Человек

маршировать

Квантовый Человек

Квантовый Человек

Джахан Клас

Квантовый Человек

Джахан Клас

Ответы (3)

Джахан Клас

Квантовый Человек

Квантовый Человек

Кнчжоу

Джахан Клас

Джахан Клас

Квантовый Человек

Квантовый Человек

Джахан Клас

Джахан Клас

Джахан Клас

Квантовый Человек

Джахан Клас

Джахан Клас

Джахан Клас

Даниэль

доэто