Почему знак минус в операторе позиции?

Question

Почему знак минус в операторе позиции?

Физика
операторы
условности
волновая функция
преобразование Фурье
квантовая механика

Меркурий79

Начну с того, что покажу, как я пытался получить оператор положения аналогично получению оператора импульса:

Если мы продифференцируем волновую функцию в одном измерении $\Psi(x,t) = e^{i(px-Et)/\hbar}$ , по х:

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial}{\partial Икс} Ψ (Икс, т) "=" \frac{я п}{ℏ} Ψ (Икс, т) \end{matrix}

$\frac{\partial}{\partial x}\Psi(x,t) = \frac{ip}{\hbar}~\Psi(x,t) \tag1$

откуда получаем оператор импульса: $\hat{p}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$

Но предположим, что я различаю $\Psi$ по импульсу:

\begin{matrix} (2) & \frac{\partial}{\partial п} Ψ (Икс, т) "=" \frac{я}{ℏ} (Икс - \frac{п}{м} т) Ψ (Икс, т) \end{matrix}

$\frac{\partial}{\partial p}\Psi(x,t) = \frac{i}{\hbar}(x-\frac{p}{m}t)~\Psi(x,t) \tag2$

который дает $x-\frac{p}{m}t = -i\hbar\frac{\partial}{\partial p}$

Теперь, установка $t=0$ , я полагаю, мы получили бы оператор

{\hat{Икс}}_{0} "=" - я ℏ \frac{\partial}{\partial п}

$\hat x_0 = -i\hbar\frac{\partial}{\partial p}$ Что было бы чем-то вроде оператора для начальной позиции. Но это выглядит неправильно, потому что я знаю, что оператор положения не имеет знака минус. И есть ли вообще такое понятие, как "оператор начального положения"?

Итак, что же в этом плохого? Причина, по которой я спрашиваю, заключается в том, что я хочу показать, что математическое ожидание позиции удовлетворяет следующему соотношению (в соответствии с принципом соответствия):

⟨ Икс ⟩ "=" {⟨ Икс ⟩}_{т "=" т_{0}} + \frac{⟨ п ⟩}{м} (т - т_{0})

$\left<x\right> = \left<x\right>_{t=t_0}+\frac{\left<p\right>}{m}(t-t_0)$

и это было дано как подсказка, чтобы начать, как в $(2)$ и бери оттуда. Я как бы знаю, что делать, но знак минус в операторе позиции меня смущает.

Подсказка также предполагает $(2)$ должно привести к $x = i\hbar\frac{\partial}{\partial p} + \frac{p}{m}t$ , но почему-то знака минус нет.

ДЖЭБ

вы подаете заявку

d / d p

$d/dp$ к волновой функции пространственного положения, которая не является собственным значением

\hat{x}

$\hat x$ .

Андрей

если вы хотите выразить

\hat{x}

$\hat{x}$ с точки зрения

\frac{d}{d p}

$\frac{d}{dp}$ тогда вам нужно конвертировать

Ψ (x)

$\Psi (x)$ к

Ψ (p)

$\Psi (p)$ первый

Ответы (3)

Почему знак минус в операторе позиции?

вы подаете заявку $d/dp$ к волновой функции пространственного положения, которая не является собственным значением $\hat x$ .
если вы хотите выразить $\hat{x}$ с точки зрения $\frac{d}{dp}$ тогда вам нужно конвертировать $\Psi (x)$ к $\Psi (p)$ первый

Роджер Вадим · Answer 1

Он немного тоньше, и эта тонкость здесь важна.

Определение оператора состоит в том, что , воздействуя на волновую функцию, оператор определяет среднее значение соответствующей физической величины :

⟨ \hat{О} ⟩ "=" \int д Икс Ψ (Икс)^{*} \hat{О} Ψ (Икс) .

$\langle \hat{O}\rangle =\int dx \Psi(x)^*\hat{O}\Psi(x).$ Поэтому, как и волновая функция, оператор имеет разный вид в разных представлениях.

Начнем с ожидания позиции в представлении позиции :

⟨ Икс ⟩ "=" \int д Икс Икс | Ψ (Икс) |^{2} "=" \int д Икс Ψ (Икс)^{*} Икс Ψ (Икс) .

$\langle x\rangle = \int dx x|\Psi(x)|^2 = \int dx \Psi(x)^*x\Psi(x).$ Мы легко читаем оператор положения из этого выражения как

\hat{Икс} "=" Икс .

$\hat{x}=x.$ Оператор импульса в этом представлении имеет вид

\hat{p} = - i ℏ \partial_{x}

$\hat{p}=-i\hbar\partial_x$ , в чем можно убедиться, рассмотрев его действие на состояние с определенным импульсом:

ψ_{п} (Икс) "=" \frac{1}{\sqrt{2 π}} е^{я \frac{п Икс}{ℏ}} .

$\psi_p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i\frac{px}{\hbar}}.$ Обратите внимание, что знак минус в этом операторе является условным: если мы определили плоские волны как

ψ_{p} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- i \frac{p x}{ℏ}}

$\psi_p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-i\frac{px}{\hbar}}$ , мы должны были бы выбрать

\hat{p} = i ℏ \partial_{x}

$\hat{p}=i\hbar\partial_x$ .

Давайте теперь посмотрим на представление импульса . Волновая функция в импульсном представлении, заданном формулой

Φ (п) "=" \int д Икс ψ_{п} (Икс)^{*} Ψ (Икс) .

$\Phi(p)= \int dx \psi_p(x)^*\Psi(x).$ Сейчас

| Φ (p) |^{2}

$|\Phi(p)|^2$ - плотность вероятности для состояний импульса, а оператор импульса просто

\hat{p} = p

$\hat{p}=p$ , как следует из

⟨ п ⟩ "=" \int д п п | Φ (п) |^{2} "=" \int д п Φ (п)^{*} п Φ (п) .

$\langle p\rangle = \int dp p|\Phi(p)|^2 = \int dp \Phi(p)^*p\Phi(p).$ Для позиционного оператора имеем

⟨ Икс ⟩ "=" \int д п Φ (п)^{*} \hat{Икс} Φ (п) "=" \int д п \int д Икс Ψ (Икс)^{*} ψ_{п} (Икс) \hat{Икс} \int д {Икс}^{'} ψ_{п} ({Икс}^{'})^{*} Ψ (Икс) "=" \int д Икс Ψ (Икс)^{*} Икс Ψ (Икс),

$\langle x\rangle = \int dp \Phi(p)^*\hat{x}\Phi(p)= \int dp \int dx \Psi(x)^*\psi_p(x)\hat{x}\int dx'\psi_p(x')^*\Psi(x) = \int dx \Psi(x)^*x\Psi(x),$ где оператор положения должен быть определен таким образом, что

\int д п ψ_{п} (Икс) \hat{Икс} ψ_{п} ({Икс}^{'})^{*} "=" \frac{1}{2 π} \int д п е^{я \frac{п Икс}{ℏ}} \hat{Икс} е^{- я \frac{п Икс}{ℏ}} Икс дельта (Икс - {Икс}^{'}) .

$\int dp \psi_p(x)\hat{x}\psi_p(x')^* = \frac{1}{2\pi}\int dp e^{i\frac{px}{\hbar}}\hat{x}e^{-i\frac{px}{\hbar}} x\delta(x-x').$ Выбор

\hat{x} = i ℏ \partial_{p}

$\hat{x} = i\hbar\partial_p$ мы удовлетворяем этому условию. Знак оператора положения отличается от знака оператора импульса. Если, как я упоминал в начале, мы определили плоскую волну с импульсом

p

$p$ как

e^{- i \frac{p x}{ℏ}}

$e^{-i\frac{px}{\hbar}}$ , знаки обоих операторов будут разными.

Обобщить:

В представлении позиции: $\hat{x}=x, \hat{p}=-i\hbar\partial_x$ .
В импульсном представлении: $\hat{x}=i\hbar\partial_p, \hat{p}=p$
Знаки перед производными в приведенных выше выражениях всегда противоположны, но зависят от того, как мы определяем плоскую волну с определенным импульсом.

Халкстер · Answer 2

Распределения положения и импульса связаны преобразованием Фурье: $\frac{1}{(2\pi)^{1/2}}\exp(ixp /\hbar)$ - базовый вектор в пространстве положений и $\frac{1}{(2\pi)^{1/2}}\exp(-ixp /\hbar)$ — базовый вектор в импульсном пространстве.

Обратите внимание на следующие соотношения из анализа Фурье и квантовой механики:

- я \frac{д}{д Икс} ф (Икс) "=" \frac{1}{(2 π)^{1 / 2}} \int_{р^{3}} к г (к) опыт (я Икс к) д к

$-i\frac{d}{d x}f(x)=\frac{1}{(2\pi)^{1/2}}\int_{\mathbb{R^3}}kg(k)\exp(ixk)dk$ и

п "=" ℏ к .

$p=\hbar k.$

Теперь вы можете выполнить обычный интеграл среднего значения для импульса в импульсном пространстве и перевести его в позиционное пространство.

Чарльз Фрэнсис · Answer 3

Вероятно, самый простой способ проверить результат — явно записать оператор в кет-нотации в терминах импульсного базиса (с $\hbar=1)$

Икс "=" \int д^{3} п | п ⟩ я \frac{\partial}{\partial п} ⟨ п |

$X = \int d^3p |p\rangle i\frac \partial{\partial p} \langle p|$ и примените это к состоянию позиции

\begin{aligned} Икс | Икс ⟩ & "=" \int д^{3} п | п ⟩ я \frac{\partial}{\partial п} ⟨ п | Икс ⟩ \\ "=" \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} \int д^{3} п | п ⟩ я \frac{\partial}{\partial п} е^{- я п \cdot Икс} \\ "=" \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} \int д^{3} п | п ⟩ Икс е^{- я п \cdot Икс} \\ "=" Икс \int д^{3} п | п ⟩ ⟨ п | Икс ⟩ \\ "=" Икс | Икс ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} X|x\rangle &= \int d^3p |p\rangle i\frac \partial{\partial p} \langle p|x\rangle \\ & = \frac 1{(2\pi)^{3/2}}\int d^3p |p\rangle i\frac \partial{\partial p} e^{-ip\cdot x}\\ & = \frac 1{(2\pi)^{3/2}}\int d^3p |p\rangle x e^{-ip\cdot x}\\ & = x \int d^3p |p\rangle \langle p|x\rangle\\ & = x |x\rangle\\ \end{align}$ где разрешение единицы

1 "=" \int д^{3} п | п ⟩ ⟨ п |

$1 = \int d^3 p|p\rangle \langle p|$ был использован. Видно, что знак минус исходит от сопряжения,

⟨ p | x ⟩

$\langle p|x\rangle$ скорее, чем

⟨ x | p ⟩

$\langle x|p\rangle$ , как и для оператора импульса. В более общем виде оператор положения можно записать

Икс "=" \int д^{3} Икс | Икс ⟩ Икс ⟨ Икс |

$X = \int d^3x |x\rangle x \langle x|$ Затем

\begin{aligned} Икс & "=" \int д^{3} п \int д^{3} д \int д^{3} Икс | п ⟩ ⟨ п | Икс ⟩ Икс ⟨ Икс | д ⟩ ⟨ д | \\ "=" \frac{1}{(2 π)^{3}} \int д^{3} п \int д^{3} д \int д^{3} Икс | п ⟩ е^{- я п \cdot Икс} Икс е^{я д \cdot Икс} ⟨ д | \\ "=" \frac{1}{(2 π)^{3}} \int д^{3} п \int д^{3} д \int д^{3} Икс | п ⟩ я \frac{\partial}{\partial п} е^{я (д - п) \cdot Икс} ⟨ д | \\ "=" \int д^{3} п \int д^{3} д | п ⟩ я \frac{\partial}{\partial п} дельта (д - п) ⟨ д | \\ "=" \int д^{3} п | п ⟩ я \frac{\partial}{\partial п} ⟨ п | \end{aligned}

$\begin{align} X &= \int d^3 p \int d^3 q \int d^3x |p\rangle \langle p|x\rangle x \langle x |q\rangle \langle q|\\ &= \frac 1{(2\pi)^{3}}\int d^3 p \int d^3 q\int d^3x |p\rangle e^{-ip\cdot x}x e^{iq\cdot x} \langle q|\\ &= \frac 1{(2\pi)^{3}}\int d^3 p \int d^3 q\int d^3x |p\rangle i \frac\partial{\partial p} e^{i(q-p)\cdot x} \langle q|\\ &= \int d^3 p \int d^3 q |p\rangle i \frac\partial{\partial p} \delta (q-p) \langle q|\\ &= \int d^3 p |p\rangle i \frac\partial{\partial p} \langle p|\\ \end{align}$

Почему знак минус в операторе позиции?

Меркурий79

ДЖЭБ

Андрей

Ответы (3)

Роджер Вадим

Халкстер

Чарльз Фрэнсис

Действие оператора импульса на волновую функцию в импульсном пространстве

Вывод оператора импульса в квантовой механике

Попытка сначала понять основы положения и импульса в квантовой механике.

Расчет ⟨p⟩⟨p⟩\langle p\rangle и ⟨p2⟩⟨p2⟩\langle p^2\rangle для волновой функции [закрыто]

Преобразование Фурье реальной начальной волновой функции

Был ли принцип неопределенности выведен анализом Фурье?

Коллапс волновой функции к ее собственной функции при измерении

Выражение волнового пакета и преобразования Фурье

Нахождение T†T†T^\dagger, где Tφ(x)=φ(x+a)Tφ(x)=φ(x+a)T\varphi(x)=\varphi(x+a)

Почему мы представляем векторы состояний с помощью кет-векторов?