Решение квантового радиального уравнения для бесконечного потенциального сферического кольца при l=0l=0l=0

Ваше радиальное уравнение неправильно сформулировано. Оно выглядит как уравнение для плоского одномерного пространства без первой производной, возникающее из якобиана сферических координат.

Вместо постулирования уравнения, как вы, кажется, сделали, давайте выведем его. Я буду использовать такие единицы, что$\frac{\hbar^2}{2m}=1$, чтобы уравнения выглядели проще, вы должны быть в состоянии воспроизвести его с вашими единицами измерения.

Итак, уравнение Шрёдингера для частицы в сферически-симметричном потенциале$V(r)$с$r=|\vec x|$является:

Поскольку ваш потенциал сферически симметричен, мы можем использовать эту симметрию и перейти к сферическим координатам. Наш лапласиан будет выглядеть так :

С таким лапласианом наше уравнение Шредингера сепарабельно, поэтому мы можем искать решение в виде$\Psi(r,\theta,\phi)=u(r)v(\theta,\phi)$.

Подставляя его в новую формулу лапласиана, имеем:

Или, обозначая радиальную часть лапласиана с$-\hat R$и угловая часть с$-\hat L^2/r^2$, у нас есть:

Теперь мы можем записать наше уравнение Шредингера в виде:

Умножьте обе части на$\frac{r^2}{u(r)v(\theta,\phi)}$и переставить члены:

Теперь мы отделили радиальные переменные от угловых, поэтому вводим константу разделения, которую запишем как$l(l+1)$. Это собственное значение$\hat L^2$оператор (а собственные функции — сферические гармоники ). Теперь умножая все на$u(r)/r^2$, у нас есть:

или, наконец, выписав выражение для$\hat R$,

Это уравнение, которое вы должны попытаться решить (с точностью до единиц). Теперь ее решение должно быть в терминах сферических функций Бесселя .

Почему мы можем сделать вывод из$\sin\left(\frac{2 \pi n a}{b-a}\right)\neq0$что ценность$k$это неверно? Наоборот, я думаю, что вывод отчасти правильный. На самом деле, мы можем переписать$A\sin(k x)+B\cos(k x)=C\sin(k x + \delta)$упростить граничное условие. Таким образом, очевидно, что$k= \frac{n \pi}{b-a}$.