Переходя от уравнения Дирака в качестве старшекурсника

Question

Переходя от уравнения Дирака в качестве старшекурсника

Аюму Касугано

На моем курсе по КМ мы изучаем основы попытки примирить КМ со специальной теорией относительности. Насколько я понимаю, Дирак взял определение $E=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}$ и использовал его для уравнения Шредингера. Получается форма, которую мы хотим:

Е "=" с \vec{α} \cdot \vec{п} + β м с^{2}

$E=c\vec{\alpha}\cdot\vec{p}+\beta mc^2$ где

α

$\alpha$ и

β

$\beta$ являются матрицами 4x4. Это гамильтониан? Значит ли это, что я просто пишу:

я ℏ \frac{\partial}{\partial т} | ψ ⟩ "=" Е | ψ ⟩

$i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle = E|\psi\rangle$ Это кажется неправильным, так как я не вижу никаких потенциальных терминов.

Я попытался осмотреться, и, видимо, это результат для частиц со спином 1/2? Как здесь сыграло роль вращение и почему 1/2? Я знаю, что матрицы содержат спиновые матрицы Паули, но я не понимаю, как появился спин. По сути, я действительно не знаю, что теперь делать с этим результатом и как интерпретировать его значение. Могу ли я получить объяснение на уровне бакалавриата (желательно без QFT) о том, что подразумевает уравнение Дирака и как оно это делает? Википедия говорит, что это подразумевает существование античастиц, и это звучит так интересно.

Райан Торнгрен

Вы можете сделать это без вращения, используя, например, матрицы Паули 2x2. Две степени свободы можно рассматривать как частицу и античастицу. Вы даже можете покончить с этим, выбрав реальный базис для матриц и ограничив компоненты реальными, что приведет к уравнению Майорана.

Ответы (1)

Переходя от уравнения Дирака в качестве старшекурсника

Вы можете сделать это без вращения, используя, например, матрицы Паули 2x2. Две степени свободы можно рассматривать как частицу и античастицу. Вы даже можете покончить с этим, выбрав реальный базис для матриц и ограничив компоненты реальными, что приведет к уравнению Майорана.

пользователь192234 · Answer 1

Вот что я знаю:

Мотивацией Дирака было квантово-механическое уравнение для электронов, которое дало бы гораздо более точную обработку атомных спектров.

Не вдаваясь в математические тонкости:

Мы знаем, что нам нужно по крайней мере 2 волновые функции компонентов, чтобы иметь дело с $\frac{1}{2}$ спин электрона.
Основная цель — полностью включить SR. Одним из требований является преобразование четности. Оказывается, $(\frac{1}{2},0)$ представление переходит в другое, $(0,\frac{1}{2})$ при паритетном преобразовании. Так что даже если вы не хотите $4$ сложные компоненты волновых функций, у вас нет выбора.

Это, однако, делает уравнение способным выражать множество представлений с помощью одного уравнения.

Возьмем уравнение Клейна-Гордона для скалярной функции частицы массы $m$ : $(\partial^2 + m^2)\psi=0$ .

Дирак хотел линейное уравнение. Существует ли «квадратный корень» из $(\partial^2 + m^2)$ ?

Квадрат анзаца дает $( \frac{1}{2}\{\gamma ^ \mu , \gamma^{\nu} \} \partial_{\mu} \partial_{\nu} + m^2)\psi=0$

Чтобы восстановить исходное уравнение, определенное Дираком $\{\gamma ^ \mu , \gamma^{\nu} \} = 2 \eta^{\mu \nu}$

Результатами являются гамма-матрицы, а линейное уравнение имеет вид
$(я γ^{мю} \partial_{мю} - м) ψ "=" 0$ $(i\gamma ^ \mu \partial_\mu - m)\psi=0$ или $(я \partial / - м) ψ "=" 0$ $(i \partial\!\!\!/ - m)\psi=0$ используя удобную фейнмановскую косую черту.

Можно еще многое сказать и найти другие способы получить уравнение, но вы спросили об основах.

Переходя от уравнения Дирака в качестве старшекурсника

Аюму Касугано

Райан Торнгрен

Ответы (1)

пользователь192234

От релятивистского уравнения к нахождению матриц Дирака

Почему тривиальное аналогичное выражение для подхода Фейнмана в виде шахматной доски к уравнению Дирака в 3 + 1 измерениях (как описано ниже) неверно?

Уравнение Дирака против релятивистского гамильтониана

Почему уравнение Дирака не используется для расчетов?

Уравнение Дирака в RQM (в отличие от QFT) записывается в каком представлении?

Оператор Гамильтона против нулевой компоненты четырехвектора импульса

Объяснение уравнения, показывающее неудачный подход к релятивизации уравнения Шредингера

Релятивистская квантовая механика

Матричная операция в матрицах Дирака

Спиновые матрицы в уравнении Дирака