Уравнение Дирака в RQM (в отличие от QFT) записывается в каком представлении?

Во вводных трактовках квантовой механики обычно уравнение Шредингера записывается просто так:

− ℏ 2 2 м ∇ 2 Ψ ( р , т ) + В ( р ) Ψ ( р , т ) "=" я ℏ ∂ Ψ ∂ т ( р , т ) .

Когда я впервые столкнулся с этим, у меня сложилось неправильное впечатление, что Ψ была функцией, определенной в пространстве-времени.

Позже, изучая квантовую механику на несколько более высоком уровне, чем этот, я выучил постулаты. То, что мы имеем, на самом деле является одним абстрактным пространством состояний (пространством кетов). Е , у нас есть наблюдаемая позиция р "=" ( Икс , Д , Z ) и эта наблюдаемая дает основание | р ⟩ собственных состояний.

В этом смысле уравнение эволюции на самом деле просто:

ЧАС | ψ ( т ) ⟩ "=" я ℏ д | ψ ( т ) ⟩ д т ,

и уравнение Шредингера, которое появляется во вводных трактовках, является просто проекцией этого уравнения на базис | р ⟩ пока мы пишем Ψ ( р , т ) "=" ⟨ р | ψ ( т ) ⟩ .

Почти во всех трактовках уравнения Дирака, которые мне до сих пор встречались, уравнение напрямую записывается как:

( я γ мю ∂ мю − м ) ψ "=" 0.

Затем говорится, что γ мю должны быть матрицами, а это означает, что ψ должен быть вектор-столбцом с четырьмя линиями. Действительно, у нас есть ψ : М → С 4 , где М это пространство-время.

Теперь зададимся вопросом: почему имеет смысл в уравнении Шрёдингера записывать его через функцию Ψ ( р , т ) ? И ответ таков: потому что у нас есть позиционная основа, а время является параметром эволюции.

Теперь, как я выяснил, время не является наблюдаемым ! Следовательно, нет базы собственных векторов, связанных со временем. В таком случае нет смысла говорить об одном "пространственно-временном базисе" | р ⟩ ⊗ | т ⟩ . Этого, опять же, не существует, потому что время и пространство трактуются в КМ по-разному: время — это параметр, положение — это наблюдаемая величина.

В каком представлении в таком случае записывается уравнение Дирака? Я имею в виду, что уравнение Дирака — это уравнение в абстрактном пространстве состояний. Е и в какое представление мы его проецируем, чтобы получить уравнение «пространство-время»?

Как уравнение Дирака вписывается в формализм квантовой механики абстрактного пространства состояний, если нет «базиса пространства-времени»?

это еще одна из причин, по которой мало кто заботится о RQM. Настоящая теория, та, что полезна, — это КТП.
Абсолютно ничто не мешает вам сделать время наблюдаемым, но это будет не более полезно, чем сделать наблюдаемыми пространственные координаты. Квантовая теория, по крайней мере на этом уровне, не описывает само пространство-время. Он описывает движение материи на классическом фоне пространства-времени.

Ответы (1)

Основа по-прежнему { | р ⟩ } . Абстрактное уравнение Шрёдингера имеет вид

я д д т | ψ ⟩ "=" ЧАС | ψ ⟩
где | ψ ⟩ представляет собой набор из четырех кетов (с небольшим злоупотреблением обозначениями)
| ψ ⟩ "=" ( | ψ 1 ⟩ | ψ 2 ⟩ | ψ 3 ⟩ | ψ 4 ⟩ )

Время все-таки параметр, | ψ ⟩ "=" | ψ ⟩ ( т ) ; чтобы получить уравнение движения в позиционном базисе, надо просто спроецировать его в "кет" ⟨ р | :

я ⟨ р | д д т | ψ ⟩ "=" ⟨ р | ЧАС | ψ ⟩
что является просто уравнением Дирака, если вы идентифицируете ⟨ р | ψ ⟩ "=" ψ ( р , т ) и
⟨ р | ЧАС "=" − я α я ∂ я + м β

Как видите, время и положение обрабатываются по-разному. RQM лучше понять без обращения к абстрактным пространствам. В абстрактном виде ковариантность теории не является явной. Но последнее уравнение, уравнение Дирака, ковариантно, так что все работает отлично. В любом случае, я хотел бы подчеркнуть, что RQM не очень полезен. Уравнение Дирака не имеет смысла как релятивистское волновое уравнение. Это полезно только потому, что оно также используется в QFT. Вам могут понравиться первые несколько глав книги Средненицкого по КТП (есть копия в открытом доступе на его веб-странице), где он обсуждает тонкости построения релятивистских квантовых теорий.

На самом деле, ОП, я действительно рекомендую вам прочитать первые несколько глав книги Средненицкого. Я думаю, что он содержит именно то, что вы ищете. Как обычно, если у вас есть какие-либо вопросы, не стесняйтесь спрашивать.
Уравнение Дирака в RQM (в отличие от QFT) записывается в каком представлении?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v