Оператор Гамильтона против нулевой компоненты четырехвектора импульса

Question

Оператор Гамильтона против нулевой компоненты четырехвектора импульса

Николас Энгельберт

Нулевой компонент 4-импульса частицы — это энергия, деленная на скорость света. Для свободной частицы массы $m$ , то есть

п_{0} "=" \frac{Е_{п}}{с} "=" \sqrt{{\vec{п}}^{2} + м^{2} с^{2}} .

$p_0 = \frac{E_{p}}{c} = \sqrt{\vec{\bf p}^2 + m^2c^2}.$

Теперь уравнение Дирака для свободного электрона можно представить в гамильтоновой форме

\hat{ЧАС} ψ "=" я ℏ \frac{\partial ψ}{\partial т}

$\hat{H} \psi = i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}$

с

\hat{ЧАС} "=" - я с ℏ α \cdot \nabla + β м с^{2} .

$\hat{H} = -ic\hbar \mathbf{\alpha}\cdot\mathbf{\nabla} + \beta m c^2 .$

Мой вопрос таков: если гамильтониан все же следует интерпретировать как энергию, не должно ли быть соответствие (равенство, я ожидаю) между указанным гамильтонианом и энергией частицы, определяемой релятивистским дисперсионным соотношением?

Более конкретно, если я продвину импульсы в релятивистской дисперсионной связи с операторами, не должен ли результирующий оператор $\hat{p}_0$ быть равным $\hat{H}/c$ ?

Изменить: я считаю, что они разные, это статья: https://journals.aps.org/pra/abstract/10.1103/PhysRevA.89.052101 , в которой они определяют $\hat{p_0}$ точно так же, как я (ур. 5 в статье), и они называют $\hat{H}_0$ гамильтониан свободной частицы Дирака, а позже оба этих оператора появляются в одном и том же уравнении, как если бы они были разными вещами. Например, в уравнении 8 они дают проекторы энергетического подпространства как:

{\hat{Λ}}^{\pm} "=" \frac{1}{2} (1 \pm \frac{{\hat{ЧАС}}_{0}}{с {\hat{п}}_{0}})

$\hat{\Lambda}^{\pm} = \frac{1}{2}\left(1 \pm \frac{\hat{H}_0}{c \hat{p}_0}\right)$

Редактировать 2: версия указанной статьи в формате arvix: https://arxiv.org/abs/1403.0550

Прахар

p^{0}

$p^0$ является гамильтонианом.

Ричард Майерс

Прахар прав, но в целом см. том 1 квантовой теории поля Вайнберга для систематического развития.

Николас Энгельберт

@RichardMyers Спасибо за ответы, но... в этой статье они, кажется, используют

{\hat{p}}_{0}

$\hat{p}_0$ и

{\hat{H}}_{0}

$\hat{H}_0$ с разным смыслом. Я отредактирую вопрос и включу эту дополнительную информацию.

Хавьер

Статья платная, рассмотрите возможность ссылки на версию arxiv.

Николас Энгельберт

Отредактировал вопрос, включив ссылку на arxiv.

Ответы (1)

Оператор Гамильтона против нулевой компоненты четырехвектора импульса

Прахар прав, но в целом см. том 1 квантовой теории поля Вайнберга для систематического развития.
@RichardMyers Спасибо за ответы, но... в этой статье они, кажется, используют $\hat{p}_0$ и $\hat{H}_0$ с разным смыслом. Я отредактирую вопрос и включу эту дополнительную информацию.
Статья платная, рассмотрите возможность ссылки на версию arxiv.
Отредактировал вопрос, включив ссылку на arxiv.

Нуаралеф · Answer 1

То, как я понимаю обозначение * в связанной статье, выглядит следующим образом: $\hat p_0$ это оператор, который действует как $\sqrt{\hat p^2 + m^2c^2}$ на каждой компоненте спинора и может быть записано как $\hat p_0 = \sqrt{\hat p^2 + m^2c^2}\, \mathbb 1_4$ . $\hat H_0$ является стандартным гамильтонианом Дирака (для $\vec A = 0$ и $\Phi = 0$ ), что, конечно, смешивает спинорные компоненты. Два оператора $\hat H_0$ и $c\hat p_0$ таким образом, действительно разные.

Однако обратите внимание, что квадрат обоих операторов одинаков:

(с {\hat{п}}_{0})^{2} "=" {\hat{ЧАС}}_{0}^{2} "=" {\hat{п}}^{2} с^{2} + м^{2} с^{4} .

$(c\hat p_0)^2 = \hat H_0^2 = \hat p^2 c^2 + m^2 c^4 .$ Когда классическое выражение

E = \sqrt{p^{2} c^{2} + m^{2} c^{4}}

$E = \sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4}$ является «квантованным», априори не ясно, должно ли результирующее уравнение быть

я ℏ \partial_{т} | ψ ⟩ "=" с {\hat{п}}_{0} | ψ ⟩, я ℏ \partial_{т} | ψ ⟩ "=" {\hat{ЧАС}}_{0} | ψ ⟩, - ℏ^{2} \partial_{т}^{2} | ψ ⟩ "=" ({\hat{п}}^{2} с^{2} + м^{2} с^{4}) | ψ ⟩

$\mathrm i\hbar \partial_t |\psi\rangle = c\hat p_0 |\psi\rangle , \quad \mathrm i\hbar \partial_t |\psi\rangle = \hat H_0 |\psi\rangle , \quad -\hbar^2 \partial_t^2 |\psi\rangle = (\hat p^2 c^2 + m^2 c^4) |\psi\rangle$ или, возможно, что-то совсем другое. (Обратите внимание, что второе — это уравнение Дирака, а третье — уравнение Клейна-Гордона.) Уравнения Дирака и КГ хорошо известны; Я отношусь к этому вопросу для обсуждения недостатков первой версии.

*Я не знаю, является ли это обозначение стандартным.

Оператор Гамильтона против нулевой компоненты четырехвектора импульса

Николас Энгельберт

Прахар

Ричард Майерс

Николас Энгельберт

Хавьер

Николас Энгельберт

Ответы (1)

Нуаралеф

Почему общие волновые функции выражаются через собственные функции энергии?

От релятивистского уравнения к нахождению матриц Дирака

Почему тривиальное аналогичное выражение для подхода Фейнмана в виде шахматной доски к уравнению Дирака в 3 + 1 измерениях (как описано ниже) неверно?

Уравнение Дирака против релятивистского гамильтониана

Описание энергий с помощью странного гамильтониана

Почему уравнение Дирака не используется для расчетов?

Частица со спином в однородном магнитном поле

Два выражения для ожидаемого значения энергии

Вывод 000-компоненты 4-импульса с использованием релятивистского лагранжиана

Увеличение потенциала вызывает повышение уровня энергии