Переменные в семантически эквивалентных предложениях (проп. логика)

Я только начинаю изучать пропозициональную логику перед курсом, который собираюсь изучать, и меня немного смущает понятие семантической эквивалентности (двойной турникет). Что именно представляют, например, «A» и «B» в утверждении A ⊨ B? Это просто свободные переменные или что-то еще? Я не уверен, как свободные переменные могут иметь семантические свойства. Кроме того, является ли семантическая эквивалентность отношением тождества или следствием? Я видел, как это называют «семантической следствием», но следствие и эквивалентность кажутся мне довольно разными. Заранее спасибо!

Это формулы; см. Логическое следствие .
Извините, что побил эту дохлую лошадь, но я не думаю, что это могут быть формулы, это названия формул, я на самом деле совершенно уверен, что это так, я предполагаю, что это общеизвестно. Возьмем реальный пример: P, P ⊃ Q ⊨ Q. Это сокращение для выражения: «P», «P ⊃ Q» ⊨ «Q». Просто в большинстве книг об этом никогда не упоминается, им просто лень пользоваться приспособлениями для цитирования.

Ответы (1)

Некоторые замечания:

  • «А» и «В» обычно представляют собой формулы. Следовательно, сама по себе схема «A ⊨ B» справедлива. Вы можете заполнить определенные формулы, чтобы получить оцениваемое утверждение, например, «P, P ⊃ Q ⊨ Q», что является истинным (modus ponens), или «P ⊨ (P ∧ Q)», что является ложным.
  • По крайней мере, учитывая стандартную терминологию, «A» и «B» не являются свободными переменными. Свободные переменные относятся к логике предикатов . Однако в логике высказываний вообще нет свободных переменных.
  • Двойной турникет (⊨) означает не семантическую эквивалентность, а просто семантическое следствие . Таким образом, утверждение формы «A ⊨ B» означает, что всякий раз, когда A истинно, B также истинно (в логике высказываний любое присвоение, которое делает A истинным, также делает B истинным).
  • Семантическая эквивалентность означает, что (для двух формул A и B) обе A ⊨ B и B ⊨ A . Другими словами, семантическая эквивалентность означает, что А и В влекут друг друга, или в пропозициональной логике, что А и В истинны при одних и тех же назначениях.
Здесь следует быть осторожным: «P, P ⊃ Q ⊨ Q» на самом деле не имеет смысла, если формулы, граничащие с «⊨», не являются именами, а являются предложениями объектного языка.
@Johannes Извините, я не понимаю, что вы имеете в виду, не могли бы вы объяснить?
«P, P ⊃ Q ⊨ Q» — это предложение в метаязыке, обычно интерпретируемое как выражение того, что предложение объектного языка «Q» является следствием предложений «P» и «P ⊃ Q», поэтому оно должно говорить о формул, следовательно, он должен использовать имена этих формул. Обратите внимание, что поэтому в схеме «A ⊨ B» (при условии, что это схема) схематические буквы «A» и «B» принимают имена метаязыка в качестве экземпляров. Точно так же, как в Т-схеме: «X истинно тогда и только тогда, когда p», эта схема выражается в мета-мета-языке, поэтому «X» в этой схеме принимает в качестве экземпляра метаязыковые имена предложений объектного языка... .
@Johannes Хорошо, значит, вы интерпретируете «P» как имя предложения на другом языке (возможно, на естественном языке)? Я думаю, что это как минимум не стандартно; в пропозициональной логике «P» уже используется в объектном языке. Однако, даже если вы принимаете «P» за метаязык, почему «P, P ⊃ Q ⊨ Q» на самом деле не имеет смысла? Конечно, вам придется определить «⊨» для тогдашнего объектного языка, но это можно (например) сделать в терминах возможных миров.
@Johannes Кстати, я не думаю, что в приведенной вами T-схеме «X» находится на мета-мета-языке, но я вижу это скорее как сокращение для имени предложения p . Это потому, что здесь мы указываем истину, поэтому в позиции подлежащего вы хотите иметь имя предложения, а не имя имени предложения.
Нет, вы просто ошибаетесь, не имеет значения, является ли «P» на самом деле предложением объектного языка, в контексте «P, P ⊃ Q ⊨ Q» оно является частью метаязыка, используемого в качестве имени, спросите любого компетентного логик, это не часто упоминается в текстах по логике, что является плохой практикой. Точно так же не имеет смысла следующее предложение: «дождь влечет за собой облачность», это тарабарщина, вы должны сказать «идет дождь» влечет за собой «облачно». Что касается T-схемы, то ее экземпляры находятся в метаязыке, но сама схема — нет, потому что «X» является заполнителем для имен метаязыка.
Просто для большей ясности отметим, что «P, P ⊃ Q ⊨ Q» — это аббревиатура, означающая, по существу, что: «всякий раз, когда «P» и «P ⊃ Q» верны, тогда «Q» истинен». Таким образом, «⊨» выражает абстрактное отношение между формулами объектного языка, особенно обратите внимание на использование предиката истинности. Точно так же «любит» выражает отношение между людьми, поэтому оно должно принимать имена людей в качестве аргументов, «Аристотель любит Пифия» правильно построено, потому что оно использует имена этих людей в качестве аргументов, а попытка представить реальных людей в качестве аргументов не имеет смысла. не имеет смысла, разве что в качестве странной современной арт-инсталляции.
@Johannes Йоханнес Понятно, спасибо за ваши усилия. Мне кажется, что вы интерпретируете "Р" как обозначающее ""Р"" (тогда это действительно металингвистическое имя). С другой стороны, я склонен трактовать «P, P ⊃ Q ⊨ Q» просто как удобное сокращение для ««P», «P ⊃ Q» ⊨ «Q»». Значит, в последнем случае «P» вовсе не метаязык, не так ли?
Высказывание «P», «P ⊃ Q» ⊨ «Q» (без внешних кавычек, когда используется предложение) совершенно правильно, на мой взгляд, здесь «P» является частью метаязыка математика. Таким образом, в этом предложении «P» обозначает объектный язык wff «P», точно так же, как имя «Аристотель» обозначает человека Аристотеля в «Аристотель любит Пифия». Таким образом, «P» используется в «P», «P ⊃ Q» ⊨ «Q» так же, как «Аристотель» используется в предложении «Аристотель любит Пифию», оба используются как имена определенных объектов, если я хочу упомянуть имена, как я только что сделал, тогда я, конечно, напишу ""P"" и аналогично "Аристотель"
Переменные в семантически эквивалентных предложениях (проп. логика)
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v