Перестановочная симметрия — непрерывная симметрия?

Из квантовой механики известно, что перестановка между одинаковыми частицами не меняет гамильтониан. Предполагая, что квантовая система состоит из очень большого числа частиц, действие группы перестановок можно считать непрерывным (аналогично другим известным группам симметрии).

Можно ли определить оператор группы симметрии п ( Икс ) (это оператор в бесконечномножественной симметрической группе С ∞ ) действующий на состояние в пространственно-временной точке Икс как может быть определена калибровочная связь, подобная фотонному полю?

Более того, теорема Кэли утверждает, что каждая общая группа изоморфна набору перестановок.

Может ли такое понятие быть определено при вышеуказанных условиях?

Ответы (1)

[Я несколько случайно собрал этот ответ, поэтому я не совсем уверен, что вывод правильный.]

  1. Теорема Кэли здесь бесполезна, потому что производимый ею изоморфизм групп не требует сохранения какой-либо топологии на группах, в частности, понятий непрерывности или дифференцируемости.

  2. О бесконечной симметрической группе С ∞ на счетном множестве, согласно этому ответу МО , существует единственная недискретная топология поточечной сходимости, и польские группы гомеоморфны ее замкнутым подгруппам тогда и только тогда, когда они допускают совместимую левоинвариантную ультраметрику .

  3. Группы Ли, представляющие собой разновидность гладких симметрий, необходимых для понятия калибровочного поля, являются польскими группами, но они являются многообразиями над р , которое не является ультраметрическим полем. В частности, они локально диффеоморфны р н , который не является ультраметрическим в своей стандартной топологии.

Следовательно, бесконечная симметрическая группа, которая является замкнутой подгруппой самой себя, ультраметрична и, следовательно, не является группой Ли. Он несет в себе понятие непрерывности , но не является группой Ли, поэтому ему не хватает дифференцируемой структуры, которая необходима нам для определения с его помощью калибровочной теории.

Другой способ увидеть это С ∞ не является группой Ли в том, что она вполне несвязна , т. е. не имеет нетривиальных связных подмножеств, поэтому ее алгебра Ли, возводящая в степень компоненту связности единицы, будет нульмерной.

Таким образом, мы вынуждены заключить, что для бесконечной симметрической группы не существует калибровочной теории в обычном смысле, поскольку она, по-видимому, не является группой Ли и, следовательно, не имеет дифференцируемой структуры.

(Слабым подтверждающим доказательством является то, что я нашел различные статьи о непрерывных функциях на С ∞ , но ничего о дифференцируемых структурах)

Спасибо за ответ! Даже если С ∞ не является группой Ли, можно ли предположить, что существует ковариантная производная ∂ мю + Σ мю где оператор Σ мю обеспечивает инвариантность действия относительно действия п ( Икс ) на фермионных или бозонных полях? Возможно ли это также для общих непрерывных групп симметрии?
@kryomaxim: Калибровочное поле, которое добавляется к ковариантной производной, имеет значение алгебры Ли , поэтому вы не можете добавить такое Σ . Что еще более тревожно, вы даже не можете определить, что ∂ мю ( п ( Икс ) ф ( Икс ) ) потому что группа не имеет дифференцируемой структуры, поэтому ( ∂ мю п ( Икс ) ) ф ( Икс ) , один из двух терминов правила произведения, не определен. Нам действительно нужна группа Ли для построения калибровочной теории в смысле калибровочно-ковариантной производной.
Я понимаю, что недифференцируемые группы не имеют калибровочной связи. Но существует ли альтернативная концепция введения функций для сохранения локальной симметрии? Может какие-то инструменты нестандартного анализа? Нестандартный анализ имеет дело с неконечными числами (также называемыми гиперкомплексными числами).
@kryomaxim: я никогда не видел ничего подобного (это не значит, что этого не существует, но, по крайней мере, это не стандартное знание).
Перестановочная симметрия — непрерывная симметрия?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v