Пешеходное объяснение конформных блоков

Теперь, когда у нас есть точка зрения физика, я не чувствую себя слишком плохо, описывая конформные блоки с точки зрения математика. Предположительно существует словарь, соединяющий два мира, но я недостаточно хорошо понимаю физику, чтобы говорить о ней связные предложения. Заранее извиняюсь за некоторую путаницу - это не очень проходимая тема.

Я подойду к конформным блокам с точки зрения конформных алгебр вершин, которые обычно появляются в математике как алгебраические структуры, которые можно использовать для доказательства теорем теории представлений. Вершинные алгебры - это векторные пространства$V$оснащен «умножением с особенностями»$V \otimes V \to V((z))$который кодирует лучшие усилия по умножению квантовых полей (которые иногда называют «распределениями с операторными значениями»). Левое умножение на элемент$u$дает формальный степенной ряд$\sum_{n \in \mathbb{Z}} u_n z^{-n-1}$коэффициенты которого являются операторами. Чтобы сделать вершинную алгебру конформной, нужно выбрать выделенный вектор$\omega$соответствующие операторы которой порождают действие алгебры Вирасоро, являющейся центральным расширением комплексифицированной алгебры Ли полиномиальных векторных полей на окружности. Вы не много концептуально теряете, думая о Вирасоро как о касательном пространстве группы.$Diff(S^1)$в идентичности, но в игре есть аномалия «ненулевой центральный заряд», которая может сделать центральное расширение необходимым. Круг появляется здесь, потому что это граница прокола, куда мы вставим поле.

Мое понимание физической интерпретации представляет собой следующую неполную и, возможно, неправильную картину: внутри двумерной конформной теории поля существует алгебра (скажем, левых) киральных симметрий, и это как раз та информация, которую собирает конформная вершинная алгебра. Пространство состояний в теории разлагается на множество «секторов», являющихся модулями вершинной алгебры. Если мы выберем риманову поверхность (которая в большинстве учебников является сферой) и привяжем состояния из различных секторов к набору различных точек, мы должны получить набор амплитуд, которые являются значениями киральных корреляционных функций, привязанных к этим входным данным. Я слышал, что есть какой-то способ перейти от кирального материала к собственно конформной теории поля, где неоднозначность в корреляторах исчезает и получаются честные корреляционные функции, но я не видел его в математической литературе. В любом случае, внутри этой машины живут конформные блоки: для заданных секторов, прикрепленных к точкам на римановой поверхности, конформный блок — это гаджет, который поглощает варианты состояний в этих секторах и выводит значения корреляционных функций способом, согласующимся с киральными симметриями. .

Вот набросок математической конструкции, созданный Эдвардом Френкелем (более подробно описанный в его книге « Вершинные алгебры и алгебраические кривые » с Дэвидом Бен-Цви): существует «положительная половина» алгебры Вирасоро, натянутая на образующие.$-z^n\frac{d}{dz}$за$n \geq 0$, и он порождает алгебру Ли дифференцирований на инфинитезимальном комплексном круге, а также действует на конформную вершинную алгебру$V$. Мы можем использовать это действие для построения векторного расслоения$\mathscr{V}$с плоской связностью на выбранной нами римановой поверхности методом «формальной геометрии» Гельфанда-Каждана (описывать который я не буду). Учитывая проколы$p_1, \dots, p_n$строится из комплекса де Рама$\mathscr{V}$, алгебра Ли$L$который естественным образом действует на$n$-кортежи$V$-модули. Данный$V$-модули$M_i$прикреплены в точках$p_i$, конформный блок – это$L$-карта модуля из$\bigotimes M_i$к тривиальному модулю.

В общем, довольно сложно выполнять какие-либо явные вычисления с конформными блоками из-за большого количества задействованной геометрии. Если ваша риманова поверхность имеет ручки, вам придется иметь дело с выбором сложной структуры, а если она имеет много проколов, вам придется иметь дело со сложным конфигурационным пространством точек. Обычно вы видите древовидные диаграммы с 4 входными данными, потому что:

1. Вот тут-то и появляется абсолютный минимум геометрии — поскольку группа автоморфизмов комплексной проективной прямой трижды транзитивна, конфигурационное пространство четырех точек представляет собой линию с тремя проколами (под которой я подразумеваю сферу).
2. В зависимости от уровня детализации, который вы ищете, часто это все, что вам нужно — пространства блоков могут быть собраны путем склеивания поверхностей из штанов и подсчета сумм по секторам, где происходит сшивание. В сложной алгебро-геометрической картине это сшивание означает склеивание сфер поперечно в точках, чтобы получить узловую кривую. Затем деформируется, чтобы получить гладкую комплексную кривую, и выполняется параллельный перенос по соответствующему пути в пространстве модулей отмеченных кривых. Четырехточечная конфигурация — это ситуация, когда у вас ровно одна операция шитья (а другая такая ситуация — проколотый тор, что важно для получения символов).

На самом деле, когда конформная теория поля ведет себя надлежащим образом (читай: рационально), можно получить размерности пространств всех конформных блоков только из размеров трехточечных нулевых блоков рода, также известных как структурные константы алгебры слияния. Это видно, например, в формуле Верлинде.

Я думаю, что примеры конформных блоков имеют определенную необходимую сложность, но здесь представлен обзор достаточно простого случая, мотивированного моделью WZW. Выберите простую группу Ли, например$SU(2)$, и уровень$\ell$(которое мы можем рассматривать как положительное целое число). Один строит вершинную алгебру и ее модули как уровень$\ell$интегрируемые представления аффинной алгебры Ли Каца-Муди$\hat{\mathfrak{sl}_2}$, которая является центральным расширением алгебры петель комплексификации алгебры Ли$\mathfrak{su}_2$. Если мы выберем риманову поверхность (такую ​​как сфера) и украсим точки только вакуумным модулем, мы получим пространство конформных блоков, которое является пространством глобальных сечений некоторого линейного расслоения$L_G^{\otimes \ell}$на пространстве модулей$SU(2)$пучки на поверхности. Здесь$L_G$является обильной образующей группы Пикара пространства модулей.

Я немного почитал об этом, и оказалось, что конформные блоки на самом деле очень важны для моего исследования! Поэтому я решил, что стоит потратить время на более подробное расследование. Я никогда формально не изучал конформную теорию поля, но надеюсь, что не пишу здесь ничего прямо неправильного. (Я потерял свой первый черновик, и мне пришлось его реконструировать, поэтому это заняло так много времени)

---

В конформной теории поля принято представлять координаты в двумерном пространстве с помощью комплексных чисел, поэтому$\vec{r} = (x,y)$становится$\rho = x + iy$. В этих обозначениях теория инвариантна относительно действия преобразования Мёбиуса (также известного как конформное преобразование),

$$\rho \to \frac{a\rho + b}{c\rho + d}$$

в котором$a$,$b$,$c$, а также$d$комплексные константы, которые удовлетворяют$ad - bc \neq 0$. Преобразование имеет три комплексные степени свободы — другими словами, если вы укажете три начальные точки и три конечные точки на комплексной плоскости, будет уникальное преобразование Мёбиуса, которое сопоставляет эти три начальные точки с тремя конечными точками.

Итак, любая функция четырех координат на плоскости, например четырехточечная корреляционная функция квантовых полей,

$$G_4 = \langle \phi_1(\rho_1,\rho_1^*) \phi_2(\rho_2,\rho_2^*) \phi_3(\rho_3,\rho_3^*) \phi_4(\rho_4,\rho_4^*) \rangle$$

имеет только одну реальную степень свободы после вынесения за скобки калибровочных свобод, соответствующих преобразованию Мёбиуса. Другими словами, вы можете сопоставить любые три из этих координат с тремя фиксированными опорными точками (например,$0$,$1$, а также$\infty$), и у вас остается функция только одной переменной, что-то вроде

$$x = \frac{(\rho_4 - \rho_2)(\rho_3 - \rho_1)}{(\rho_4 - \rho_1)(\rho_3 - \rho_2)}$$

Это открывает дверь для написания$G_4$как простая функция этого одного отношения (по крайней мере, более простая, чем функция четырех независимых координат).

Конкретная часть КТП, в которой применяются конформные блоки (насколько я могу судить; здесь я начинаю немного уходить вглубь), связана с алгебрами Вирасоро. В частности, как отдельные поля$\phi_i$преобразование при конформном преобразовании описывается группой, определяемой алгеброй Вирасоро. Четырехточечная функция$G_4$можно записать в виде суммы вкладов от разных представлений группы,

$$G_4(\rho_1,\rho_2,\rho_3,\rho_4) = \sum_l G_l f(D_l, d_i, C, x) f(D_l, d_i, C, x^*)$$

Здесь$l$индексирует различные представления;$C$есть константа («центральный заряд» алгебры Вирасоро); а также$d_i$а также$D_l$— аномальные размеры внешнего поля и внутреннего поля соответственно. Функция$f$называется конформным блоком.

$f$полезен тем, что его можно вычислить (в принципе или на практике, я не уверен), используя только информацию об одном представлении группы Вирасоро. Его можно представить в виде ряда в$x$известного вида, коэффициенты которого зависят от структуры группы.

Дальнейшее чтение

1. Белавин А. Бесконечная конформная симметрия в двумерной квантовой теории поля. Ядерная физика Б . 1984;241(2):333-380. Доступно по ссылке: https://doi.org/10.1016/0550-3213(84)90052-X .
2. Замолодчиков АБ. Конформная симметрия в двух измерениях: явная рекуррентная формула для конформной парциальной амплитуды волны. Сообщения по математической физике (1965-1997) . 1984;96(3):419-422. Доступно по адресу: https://doi.org/10.1007/BF01214585 .
3. Замолодчиков АБ. Конформная симметрия в двумерном пространстве: рекурсивное представление конформного блока . Теоретическая и математическая физика . 1987;73(1):1088-1093. Доступно по ссылке: https://doi.org/10.1007/BF01022967 .

и, конечно же, книга ДиФранческо и др.

Уже есть хорошие ответы как с физической, так и с математической точек зрения, объясняющие основную идею: учитывая алгебру голоморфных операторов (или, что то же самое, алгебру симметрии) КТП, мы можем записать набор уравнений (тождеств Уорда), которые статистическая сумма теории должна удовлетворять на любой римановой поверхности. Пространство решений этих уравнений есть пространство конформных блоков. Если у нас действительно есть полная КТП, то статистическая сумма будет конкретным конформным блоком. Но при любом конформном блоке мы все еще можем понять корреляционные функции на римановой поверхности, поэтому можем реализовать большую часть теории поля.

Существует довольно много математических работ по расширению киральной алгебры до полной КТП, особенно в рациональном случае (как указал Скотт, это центральное место в расширенном творчестве Фукса, Швейгерта, Рункеля и их сотрудников). Это включает в себя нахождение модульно-инвариантной комбинации модулей для киральной алгебры и может быть сведено к нахождению специальных модулей (объектов алгебры Фробениуса в плетеной тензорной категории модулей с некоторыми условиями). В иррациональном случае эта теория действительно находится в зачаточном состоянии — есть представление о том, какими должны быть браны, но полной теории структуры нет.

Я думаю, что очень поучительная точка зрения на конформные блоки проистекает из идеи, что киральная КТП больше похожа на трехмерную [топологическую] квантовую теорию поля, чем на честную КТП (и это можно уточнить в рациональном случае, см. например, книга Бакалова-Кириллова). С этой точки зрения у нас есть трехмерная КТП, которая имеет смысл на искривленных фонах (фактически топологически инвариантная), поэтому мы можем сопоставить гильбертово пространство состояний из квантования теории на римановой поверхности, умноженной на R. Это пространство состояний является пространство конформных блоков. В более общем смысле мы можем рассматривать линейные операторы в этой трехмерной теории, что означает, что мы можем вставлять операторы в точки римановой поверхности, умноженные на R. Эти операторы соответствуют модулям киральной алгебры, и полученное гильбертово пространство есть пространство конформных блоков с модульными вставками. Если у нас есть нерациональная КТП, мы не получим полную трехмерную топологическую КТП, но мы все же можем сопоставить гильбертовы пространства римановым поверхностям или поверхностям с вставками модулей, следовательно, конформным блокам. (В полноценной теории эти векторные пространства должны быть конечномерными из-за правильного определения следа гамильтониана, который равен нулю в топологической теории).

Конформная теория поля — это квантовая теория поля, инвариантная относительно конформных преобразований. Из-за этой инвариантности корреляционные функции должны подчиняться линейным уравнениям, называемым конформными тождествами Уорда. Конформные блоки являются не просто решениями конформных тождеств Уорда, а фактически элементами определенного базиса решений. Остановимся на двумерной КТП. В двух измерениях конформные преобразования описываются двумя алгебрами Вирасоро, называемыми левой (или голоморфной) и правой (или антиголоморфной).

Вопрос был сформулирован в терминах$n$-точечные конформные блоки на комплексной плоскости, но технически проще сначала рассмотреть нулевые конформные блоки на торе . Это просто характеры представлений алгебры Вирасоро. Действительно, предположим, что вы хотите вычислить функцию нулевой точки тора (статистическую сумму),

$$Z = \mathrm{Tr}_S q^{E} \bar{q}^{\bar{E}}$$ куда $q$- (возведенный в степень) модуль тора, $E$а также $\bar{E}$- операторы энергии, соответственно связанные с лево- и праводвижущимися алгебрами Вирасоро, и $S$пространство состояний вашей КТП. Пространство состояний можно разложить на представления алгебр Вирасоро, $$S = \bigoplus_{R, \bar{R}} m_{R,\bar{R}} R\otimes \bar{R}$$ куда $R, \bar{R}$являются представлениями наших двух алгебр Вирасоро, а целые числа $m_{R,\bar{R}}$являются их кратностями. Затем вычисление трассировки по $S$сводится к суммированию состояний в каждом представлении $R$или же $\bar{R}$, и такая сумма по определению является характером $$\chi_R(q) = \mathrm{Tr}_R q^{E} = \sum_L q^{E(L)}$$ куда $L$обозначает ортонормированный базис $R$, составленный из собственных векторов $E$. Итак, мы получаем $$Z = \sum_{R,\bar{R}} m_{R,\bar{R}} \chi_R(q) \chi_{\bar{R}}(\bar{q})$$ Это конформное блочное разложение $Z$: конформные блоки $\chi_R(q)$, $\chi_{\bar{R}}(\bar{q})$являются локально голоморфными функциями $q$а также $\bar{q}$, они полностью определяются конформной симметрией и параметризуются представлениями алгебры симметрии. С другой стороны, кратности $m_{R,\bar{R}}$остаются неопределенными симметрией.

Те же идеи применимы к четырехточечной функции сферы . Четырехточечную функцию можно разложить на произведения трехточечных функций, вставив тождественный оператор, и мы схематически получим

$$\left< \prod_{i=1}^4 V_i(z_i,\bar{z}_i) \right> = \sum_{R,\bar{R}} m_{R,\bar{R}} \sum_{L,\bar{L}} \left< V_1V_2 \middle| (R,L),(\bar{R},\bar{L}) \right> \left< (R,L),(\bar{R},\bar{L}) \middle| V_3V_4\right>$$ Теперь оказывается, что трехточечная функция $\left< V_1 V_2 \middle| (R,L),(\bar{R},\bar{L}) \right>$, определяется конформной симметрией с точностью до множителя $C_{1,2,(R,\bar{R})}$, который не зависит ни от $z_i,\bar{z}_i$ни на $L,\bar{L}$, и у нас есть $$\left< \prod_{i=1}^4 V_i(z_i,\bar{z}_i) \right> = \sum_{R,\bar{R}} m_{R,\bar{R}} C_{1,2,(R,\bar{R})} C_{(R, \bar{R}), 3,4} F_R(z_i) F_{\bar{R}}(\bar{z}_i)$$ Четырехточечный конформный блок $F_R(z_i)= \sum_L \cdots$полностью определяется конформной симметрией. Это зависит от всех параметров левого движения: позиции $z_i$, $s$-канальное представление $R$, и левые представления, которые соответствуют полям $V_i$. С точностью до тривиальных факторов четырехточечный конформный блок на самом деле является функцией взаимного отношения $z=\frac{(z_1-z_2)(z_3-z_4)}{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}$: это простое следствие тождеств Уорда, которое сохраняется независимо от того, имеете ли вы локальную или глобальную конформную симметрию. Конформный блок вообще не подчиняется никакому дифференциальному уравнению в $z$. Оно подчиняется уравнению Белавина-Полякова-Замолодчикова, только если хотя бы одно из полей $V_i$является так называемым вырожденным полем.

Конформные блоки полезны, потому что они являются универсальными величинами в том смысле, что они определяются конформной симметрией. Чтобы определить корреляционные функции в конкретной модели, все, что осталось сделать, это вычислить зависящие от модели величины, такие как кратности$m_{R,\bar{R}}$и факторы$C_{1,2,(R,\bar{R})}$. Эти зависящие от модели величины проще, чем корреляционные функции: в частности, они обычно зависят от меньшего количества параметров.

Подробнее об этом читайте в моей обзорной статье .

Конформная теория поля — это теория масштабной инвариантности (или поведения большого порядка) в двух измерениях. Масштабирование означает зависимость только от углов. В 2d группа сохраняющих угол (конформных) преобразований бесконечномерна, и на самом деле после конформных преобразований и диффеоморфизмов в 2d-метрике имеется только конечное число степеней свободы. (Степени свободы - это пространство модулей римановых поверхностей.)

Поля в теории с конформной симметрией должны давать представления этой алгебры симметрии, и такие представления помечаются квантовым числом, называемым конформной размерностью или весом. Сами преобразования представляют собой голоморфные замены координат ($z \rightarrow f(z)$и они порождены алгеброй Ли голоморфных векторных полей$L_n := -z^{n+1}\partial_z$и их комплексные сопряжения. Вы можете вычислить эту алгебру:$[L_n,L_m] = (n-m)L_{m+n}$которая называется алгеброй Вирасоро. (Их два, один с z и один с z-перемычкой.) С точки зрения квантовой механики эту алгебру можно исправить с помощью конформной аномалии , параметризованной центральным зарядом («центральным», потому что дополнительный член коммутирует со всеми остальными).

Теперь, как и в инвариантной к вращению теории, если вы хотите знать, как выглядит решение после поворота, вам нужно только знать, в каком представлении находится состояние, в конформной теории, если вы хотите бесконечно мало изменить координаты, вам нужно только знать конформные веса полей. Но такие преобразования представляют собой бесконечно малые изменения координат, поэтому это дает дифференциальное уравнение, которому должен подчиняться коррелятор. Все в теории может быть записано в терминах решений этих дифференциальных уравнений — они называются конформными блоками . (Есть решения в$\bar{z}$, слишком.)

Этот метод подробно описан в классической работе Белавина, Полякова и Замолодчикова (НПБ 241 (1988) с. 333) (еще один пионер - Книжник).

PS Теория струн полностью посвящена двумерным теориям поля и их зависимости от модулей римановых поверхностей. Условие отсутствия аномалий в конформной теории является наиболее распространенным способом вывода формул размерности в теории струн.