Как из свойства матриц Паули следуют простые двухкомпонентные тождества Фирца?

Question

Как из свойства матриц Паули следуют простые двухкомпонентные тождества Фирца?

Физика
спиноры
теория групп
уравнение Дирака
специальная теория относительности
теория представлений

Возраст

На стр. 51 Пескин и Шредер начинают выводить базовые соотношения обмена Фирца, используя двухкомпонентные правые спиноры. Они начинают с утверждения тривиального (но утомительного) сигма-тождества Паули.

\begin{matrix} (3,77) & (о^{мю})_{α β} (о_{мю})_{γ дельта} "=" 2 ϵ_{α γ} ϵ_{β дельта} . \end{matrix}

$(\sigma^\mu)_{\alpha\beta}(\sigma_{\mu})_{\gamma\delta}=2\epsilon_{\alpha\gamma}\epsilon_{\beta\delta}.\tag{3.77}$ Затем они заявляют, что «поместили» это тождество между правой частью четырех спиноров Дирака.

u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}

$u_1,u_2,u_3,u_4$ :

({\bar{ты}}_{1 р} о^{мю} {ты}_{2 р}) ({\bar{ты}}_{3 р} о_{мю} {ты}_{4 р}) "=" 2 ϵ_{α γ} {\bar{ты}}_{1 р α} {\bar{ты}}_{3 р γ} ϵ_{β дельта} {ты}_{2 р β} {ты}_{4 р дельта} .

$(\bar u_{1R}\sigma^\mu u_{2R})(\bar u_{3R}\sigma_{\mu}u_{4R})=2\epsilon_{\alpha\gamma}\bar u_{1R\alpha}\bar u_{3R\gamma}\epsilon_{\beta\delta}u_{2R\beta}u_{4R\delta}.$ Я прекрасно понимаю первое тождество с элементами сокращения вектора Паули, но это меня совершенно сбивает с толку. Следующий шаг в их вычислении меняет местами индексы в символах Леви-Ситивы и использует по существу то же уравнение в другом направлении, чтобы получить ожидаемое тождество Фирца, поэтому, если я понял первое равенство, я также знал бы и второе. Однако я просто не понимаю, как это легко следует из матричного уравнения Паули. Таким образом, у меня есть два вопроса.

а) Существует ли элегантный способ «сэндвича» идентичности с четырьмя правыми спинорами Вейля, или мне придется вручную расширять билинейки?

б) Играет ли здесь роль праворукость? То есть мне кажется, что этот вывод будет работать так же хорошо с любыми левыми спинорами, но так ли это?

Космас Захос

Рассмотрено отношение полноты WP ?

Ответы (1)

Как из свойства матриц Паули следуют простые двухкомпонентные тождества Фирца?

Рассмотрено отношение полноты WP ?

Ханс де Врис · Answer 1

Это просто на самом деле, если вы напишете это,

Обратите внимание, что и первое тождество, и второе тождество дают вам 16 скалярных результатов.

16 результатов второго тождества совпадают с 16 результатами первого тождества, но умножены на значения спиноров. Эти дополнительные коэффициенты умножения одинаковы для любого из суммируемых $\sigma^\mu$ .

Первое тождество использует наборы матриц 2x2. $(\sigma^\mu)$ дает 2x2x2x2=16 результатов.

Для второго тождества вы можете предварительно умножить матрицы 2x2, как показано на изображении ниже. Умножьте любой из подблоков 2x2 первой матрицы на любой из подблоков 2x2 второй матрицы, и вы получите 16 отдельных результатов «сэндвичевого» выражения.

В самом деле, совершенно не имеет значения, определяются ли спиноры как левые или правые.

Как из свойства матриц Паули следуют простые двухкомпонентные тождества Фирца?

Возраст

Космас Захос

Ответы (1)

Ханс де Врис

Спиновые представления группы Лоренца

Являются ли спиноры представлениями группы Лоренца или связанной с ней алгебры?

Какая связь между SL (2, C) SL (2, C) SL (2, \ mathbb {C}), SU (2) × SU (2) SU (2) × SU (2) SU (2) \ раз SU (2) и SO (1,3) SO (1,3) SO (1,3)?

Спиноры и спиновая группа

Почему (12,12)(12,12)(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) представление группы Лоренца реализуется как векторное пространство эрмитова 2×22×22\ умножить на 2 матрицы?

Спинор Дирака в киральном базисе

Чем спинорные индексы отличаются от пространственно-временных или индексов Лоренца?

Как доказать спинорное преобразование Вейля как представление группы Лоренца?

Хиральность (2+1)D уравнения Дирака

Калибровочная инвариантность и форма действия Рариты-Швингера