Почему алгебра Ли унитарной группы порождена матричными единицами?

Question

Почему алгебра Ли унитарной группы порождена матричными единицами?

космическая шутка

Я читал об этом специально в главе 2.10 книги Франческо Ячелло «Алгебры Ли и их приложения», но я также видел подобные определения в нескольких статьях физиков: Алгебра Ли $\mathrm{U}(d)$ генерируется матричными единицами $E_{ij}:=|j\rangle\langle i|$ , где $\{|i\rangle\}_{i=1}^N$ является ортонормированным базисом на $\mathbb{C}^d$ . Следовательно, мы можем получить набор образующих алгебры Ли SU(d), если сделаем эти матрицы бесследовыми, т. е. положим $\overline{E}_{i,j}:=|j\rangle\langle i|-\frac{1}{d}\delta_{i,j}\mathrm{Id}$ . (Только $d^2-1$ из этих генераторов независимы.)

Насколько я понимаю, алгебра Ли $\mathrm{U}(d)$ должны содержать только косоэрмитовы матрицы, а эти генераторы явно таковыми не являются. Например, $\exp(E_{1d})$ не является унитарным, когда он должен быть, если $E_{1d}$ действительно был элементом алгебры Ли. На самом деле я считаю, что алгебра Ли, порожденная множеством $\{E_{i,j}\}_{i,j=1}^d$ на самом деле является общей линейной группой. Что я здесь неправильно понимаю?

ZeroTheHero

E_{i j}

$E_{ij}$ не является эрмитовым (или антиэрмитовым), поэтому его экспонента не находится в

U (n)

$U(n)$ . Вам нужно возводить в степень отшельнические комбинации

E

$E$ , чтобы получить элемент в

U (n)

$U(n)$ .

E

$E$ это основа для алгебры..

Ответы (3)

Почему алгебра Ли унитарной группы порождена матричными единицами?

$E_{ij}$ не является эрмитовым (или антиэрмитовым), поэтому его экспонента не находится в $U(n)$ . Вам нужно возводить в степень отшельнические комбинации $E$ , чтобы получить элемент в $U(n)$ . $E$ это основа для алгебры..

оневал · Answer 1

Как это часто бывает, проблема кроется в условностях. Для математиков генераторы алгебры Ли — это любой базис, который может охватывать алгебру как векторное пространство, для физиков мы обычно требуем, чтобы сами генераторы были эрмитовыми (например, подумайте о матрицах Паули) из-за их интерпретации как наблюдаемых.

Давайте также проясним разницу между алгеброй и группой. Алгебра Ли - это векторное пространство и алгебра благодаря скобке Ли (коммутатору), она обозначается маленькими заглавными буквами fraktur. Итак, для этого случая: $\mathfrak{u}(N)$ является алгеброй Ли группы унитарных матриц размерности $N\times N$ . Группа обозначается $U(N)$ и представляет собой группу при обычном умножении матриц, элементы которой действительно являются унитарными (а значит, комплексными элементами) матрицами.

Условие алгебры на элементах алгебры получается дифференцированием условия унитарности,

А А^{†} "=" 1,

$A A^\dagger = 1,$ который дает

А + А^{†} "=" 0

$A + A^\dagger = 0$ что есть не что иное, как антиэрмитовское условие. Это означает, что алгебра Ли является векторным пространством всех антиэрмитовых матриц размерности

N \times N

$N\times N$ . Итак, для матрицы

A \in u (N)

$A\in \mathfrak{u}(N)$ возведение в степень дает вам элемент

U (N)

$U(N)$ , и можно показать, что все элементы в окрестности единицы

U (N)

$U(N)$ можно описать возведением в степень некоторого элемента

u (N)

$\mathfrak{u}(N)$ . Теперь мы можем описать матрицу

A

$A$ как мы хотим. Как физик, мы хотим выбрать основу из эрмитовых элементов (обратите внимание, что если

A

$A$ тогда антиэрмитов

- i A

$-iA$ эрмитов, или наоборот, если

σ

$\sigma$ тогда эрмитов

i σ

$i\sigma$ является антиэрмитовым), так что давайте иметь основу для

u (N)

$\mathfrak{u}(N)$ эрмитовых элементов, умноженных на

i

$i$ и вуаля

А "=" \sum_{н} с_{н} я о_{н} е ты (Н)

$A = \sum_n c_n i \sigma_n \in \mathfrak{u}(N)$ и возведение в степень

опыт (А) "=" опыт (\sum_{н} с_{н} я о_{н}) е U (Н)

$\exp(A) = \exp\left(\sum_n c_n i \sigma_n \right) \in U(N)$

В случае $SU(N)$ это $\det = 1$ условие, что при дифференцировании матрицы его алгебры становятся бесследовыми.

До сих пор мы неявно говорили об алгебрах Ли как о вещественных векторных пространствах, т. $c_n$ выше действительны и не меняют эрмитовых свойств $A$ . Однако можно также усложнить алгебру (построить новую алгебру), чтобы получить векторное пространство над комплексными числами, что позволяет использовать антиэрмитовы и эрмитовы матрицы. Итак, у нас есть

\begin{aligned} ты (Н) & "=" антиэрмитовы матрицы \\ {ты}_{С} (Н) & "=" г л (Н, С) "=" размер сложных матриц Н \times Н \end{aligned}

$\begin{align} \mathfrak{u}(N) &= \text{anti-hermitian matrices}\\[7pt] \mathfrak{u}_\mathbb{C}(N) &= gl(N,\mathbb{C}) = \text{complex matrices size} N\times N \end{align}$

Вы должны писать в нижнем регистре $gl(N, \mathbb{C})$ когда вы имеете в виду алгебру всех комплексных матриц. Верхний регистр зарезервирован для группы обратимых матриц.
Действительно, спасибо за поправку.

Педро · Answer 2

Вы, безусловно, правы в том, что алгебра Ли $U(d)$ состоит из косоэрмитовых $d \times d$ матрицы. Однако физики часто неявно усложняют алгебры Ли, даже не удосужившись упомянуть об этом. Комплексификация $u(d)$ действительно $gl(d, \mathbb{C})$ . Это потому, что умножение на $i$ мы получаем эрмитову матрицу, а вообще любую матрицу можно представить в виде суммы эрмитовой и косоэрмитовой матриц. Вы можете найти больше дискуссий о группах Ли и алгебрах в математике и физике в книге Питера Войта «Квантовая теория, группы и представления».

Спасибо, это объясняет мое непонимание, но также вызывает новый вопрос: когда уместно рассматривать комплексификацию алгебры Ли вместо исходной? Контекст, который я читал о матричных единицах как генераторах, был построением операторов Казимира. Если я использую матричные единицы в качестве образующих для построения операторов Казимира, то я фактически получаю операторы Казимира $gl(d,\mathbb{C})$ . Как работают операторы Казимира $gl(d,\mathbb{C})$ относятся к тем из $u(d)$ ? Я не думаю, что они обязательно живут в (реальной) универсальной обертывающей алгебре $u(d)$ .
Я не уверен; подумайте о том, чтобы задать это как новый вопрос (с большим контекстом), желательно на math stackexchange или mathoverflow.

Оливер · Answer 3

Насколько я помню, речь идет только об определении термина «генератор». Если $H$ отшельник

{ЧАС}^{+} "=" ЧАС

$H^+=H$ затем

G = i H

$G=iH$ является косоэрмитовым:

{ЧАС}^{+} "=" (я г)^{+} "=" - я г "=" - ЧАС

$H^+=(iG)^+=-iG=-H$ Итак, в конце концов, параметр внутри экспоненты отличается только на мнимую единицу, которая не сильно меняется, по крайней мере, с точки зрения обозначений. Вместо создания подгруппы с одним параметром с помощью

опыт (λ г)

$\exp(\lambda G)$ где

G

$G$ является косоэрмитовым, вы генерируете его

опыт (я λ ЧАС)

$\exp(i\lambda H)$ где

H

$H$ является эрмитовым.

Да, я понимаю, что являются ли элементы алгебры Ли эрмитовыми или косоэрмитовыми, зависит от того, определяем ли мы умножение на i в экспоненциальной карте. Физики склонны использовать i, а математики — нет. Однако на самом деле это не отвечает на вопросы, потому что матричные единицы не являются эрмитовыми, когда они недиагональны, и $\exp(iE_{ij})$ не является унитарным для $i\neq j$ .
@cosmicjoke: да, я пропустил эту деталь. Действительно, кажется, вы правы, базис алгебры, упомянутый в учебнике, порождает общую линейную группу на $C^d$ . Конечно, поскольку $U(d)$ является подгруппой общей линейной группы, общий базис также является базисом алгебры $U(d)$ (при правильном линейном объединении...). Впрочем, как-то странно так выражаться. Но в вашем вопросе отсутствует контекст, поэтому, возможно, в книге он объяснен немного лучше.

Почему алгебра Ли унитарной группы порождена матричными единицами?

космическая шутка

ZeroTheHero

Ответы (3)

оневал

Педро

оневал

Педро

космическая шутка

Педро

Оливер

космическая шутка

Оливер

Правила ветвления для SU(3)SU(3)SU(3)

Зачем нам нужны сложные представления в Теориях Великого Объединения?

Существует ли общая теорема о том, почему экспоненциальное отображение ограниченной группы Лоренца сюръективно?

Симметрия E7(7)E7(7)E_{7(7)} в (N=8,d=4)(N=8,d=4)(\mathcal{N}=8, d=4) Супергравитация

Как получить матрицы Гелл-Манна?

Алгебра Ли простыми словами [закрыто]

Разница между группой Лоренца и группой Пуанкаре

Группы лжи и расширения групп?

Можем ли мы записать массу МММ, инвариант Казимира группы Галилея, как функцию ее образующих?

Генераторы группы Лоренца и ее размерность