Почему буст Лоренца является неунитарным оператором в теории одного электрона?

Моя основная ссылка на эту тему — «Расширенная квантовая механика» Сакураи.

Рассмотрим один электрон, описываемый биспинором, который подчиняется уравнению Дирака. Оператор, соответствующий лоренцеву бусту быстроты х в направлении к ось

С л о р "=" чушь ⁡ х 2 − α к грех ⁡ х 2
который не является унитарным ( С л о р † ≠ С л о р − 1 ).

Поправьте меня, если я ошибаюсь, но это означает, что два наблюдателя, связанные усилением Лоренца, будут вычислять разные значения ожидания для одних и тех же наблюдаемых. Как это не проблема в теории, которая, как предполагается, согласуется со специальной теорией относительности?

Единственное заявление Сакурая по этому поводу:

С л о р не должно быть унитарным, если ψ ¯ ψ состоит в том, чтобы преобразовываться подобно четвертой компоненте четырехвектора при преобразованиях Лоренца.

Я не понимаю, что он имеет в виду под этим. Может ли кто-нибудь уточнить заявление Сакураи и объяснить мне, почему для бустинга Лоренца нормально быть неунитарным оператором?

Изменить: полное правило преобразования для преобразования Лоренца Λ (такой, что Икс ′ "=" Λ Икс ) является

ψ ′ ( Икс ′ ) "=" С л о р ψ ( Λ − 1 Икс ′ )
то есть: кроме матрицы С л о р , который смешивает компоненты спинора Дирака, также необходимо преобразовать координаты.

В одном из комментариев упоминается, что оператор гильбертова пространства, который говорит, как векторы состояния преобразуются при повышении, должен быть унитарным. Кто этот оператор, как его построить? Конечно, это должно быть связано с приведенным выше уравнением, поскольку я считаю, что это «полное правило» того, как спинор Дирака (волновая функция электрона) трансформируется при ускорении.

Почему вы ожидаете, что наблюдаемые будут одинаковыми при повышении Лоренца? Например, энергия не является лоренц-инвариантной величиной.
Но разве распределение вероятностей не является чем-то, с чем должны согласиться все наблюдатели? Например: собственное состояние спина может быть переведено в состояние, которое больше не является собственным состоянием. В эксперименте по измерению этой составляющей спина первый наблюдатель будет получать +1/2 в 100% случаев. Повышенный наблюдатель иногда будет измерять -1/2. Не нарушает ли это как-то относительность?
Я удалил один из своих комментариев, который я не считаю правильным. Я думаю, что объяснение @ChiralAnomaly правильное.

Ответы (1)

Разрешение парадокса

Важно различать две вещи:

  1. Матрица , показывающая, как компоненты спинора смешиваются при усилении Лоренца. Для повышения в к -направление с быстротой θ , эта матрица может быть построена из матриц Дирака как

    М ≡ опыт ⁡ ( γ 0 γ к θ 2 ) "=" чушь ⁡ ( θ 2 ) + γ 0 γ к грех ⁡ ( θ 2 ) .
    Эта матрица не является унитарной, и автор, вероятно, имеет в виду именно это.

  2. Оператор в гильбертовом пространстве , который говорит, как векторы состояния преобразуются под действием Лоренца. Этот оператор унитарный.

Построение гильбертова пространства

Спинорное поле Дирака ψ ( Икс ) является оператором в гильбертовом пространстве, а не волновой функцией. До того, как у нас появилась квантовая теория поля, люди якобы пытались интерпретировать ψ ( Икс ) как волновая функция. Это не работает. Что лечит работа ψ ( Икс ) как оператор в гильбертовом пространстве, например:

Возьмите полевых операторов ψ ( Икс ) для удовлетворения канонических антикоммутационных соотношений . Напишите оператор поля ψ ( Икс ) (общее решение уравнения Дирака) как сумма его положительной и отрицательной частотных частей ψ ± ( Икс ) . Если | 0 ⟩ есть состояние, аннулируемое частями с положительной частотой ψ + ( Икс ) и ( ψ − ( Икс ) ) † , то любое другое состояние можно получить из | 0 ⟩ путем применения различных комбинаций частей отрицательной частоты ψ − ( Икс ) и ( ψ + ( Икс ) ) † . В частности, ψ − ( Икс ) | 0 ⟩ и ( ψ + ( Икс ) ) † | 0 ⟩ являются одночастичными состояниями. Одну из них мы обычно называем античастицей.

Построение унитарного оператора буста

Для любого данного буста Лоренца существует унитарный оператор U на этом гильбертовом пространстве, реализующем это преобразование. Унитарное преобразование

ψ ( Икс ) → U − 1 ψ ( Икс ) U
смешивает спинорные компоненты ψ ( Икс ) так же, как матрица М делает. Однако унитарное преобразование не просто смешивает спинорные компоненты ψ ( Икс ) . Он также трансформирует Икс в ψ ( Икс ) , как показано в вопросе.

Построение унитарного оператора U явно слишком сложно для этого краткого сообщения, поэтому я просто обрисую в общих чертах идею: начните с тензора энергии-импульса Т а б , которую можно получить либо из теоремы Нётер, либо путем варьирования по отношению к метрике фонового пространства-времени. (Первое проще, но второе часто мощнее.) Тогда генератор вращений в Дж - к самолет

Дж Дж к ≡ ∫ д 3 Икс   ( Т 0 Дж Икс к − Т 0 к Икс Дж ) ,
и генератор бустов в 0 - Дж самолет
К Дж ≡ ∫ д 3 Икс   ( Т 00 Икс Дж − Т 0 Дж Икс 0 )
где Икс 0 является координатой времени. Унитарный оператор, реализующий буст в Дж -направление с быстротой θ является U "=" опыт ⁡ ( я К Дж θ ) .

Почему буст Лоренца является неунитарным оператором в теории одного электрона?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v