Почему четность пространственной волновой функции равна (−1)ℓ(−1)ℓ(-1)^{\ell}?

Question

Почему четность пространственной волновой функции равна (−1)ℓ(−1)ℓ(-1)^{\ell}?

тостер

Рассмотрим составное состояние частицы $|\psi\rangle$ (подобно адрону или мезону), который является собственным состоянием некоторого гамильтониана (например, гамильтониана КХД). Поскольку гамильтониан инвариантен относительно вращений и четности, это состояние частицы также является собственным состоянием оператора углового момента и четности:

л^{2} | ψ ⟩ "=" л (л + 1) | ψ ⟩

$L^2 |\psi\rangle = l(l+1)|\psi\rangle$

п | ψ ⟩ "=" (- 1)^{а} | ψ ⟩

$P |\psi\rangle = (-1)^{a}|\psi\rangle$

где $a$ является целым числом. Почему $a = l$ ?

Для двух частиц можно использовать «трюк» для преобразования в относительные координаты, а затем найти, что в относительных координатах собственная функция равна $\sim Y_{lm}$ . Тогда четность сферических гармоник приводит к $(-1)^l$ .

Я не вижу, как расширить это до 3 или более частиц.

РЕДАКТИРОВАТЬ: У меня была следующая идея, как расширить до 3 частиц:

Для трех частиц гамильтониан выглядит так:

ЧАС "=" \frac{п_{1}^{2}}{2 м_{1}} + \frac{п_{2}^{2}}{2 м_{2}} + \frac{п_{3}^{2}}{2 м_{3}} + В_{1} (| {Икс}_{2} - {Икс}_{1} |) + В_{2} (| {Икс}_{3} - {Икс}_{1} |) + В_{3} (| {Икс}_{3} - {Икс}_{2} |)

$H = \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{p_3^2}{2m_3} + V_1(|x_2-x_1|) + V_2(|x_3-x_1|) + V_3(|x_3-x_2|)$ .

Теперь выберите новые координаты

р "=" \frac{м_{1} {Икс}_{1} + м_{2} {Икс}_{2} + м_{3} {Икс}_{3}}{М}

$R = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{M}$

у "=" {Икс}_{2} - {Икс}_{1}

$y = x_2 - x_1$

г "=" {Икс}_{3} - {Икс}_{1}

$z = x_3 - x_1$

Гамильтониан становится:

ЧАС "=" \frac{п_{р}^{2}}{2 М} + \frac{п_{у}^{2}}{2 {мю}_{12}} + \frac{п_{г}^{2}}{2 {мю}_{13}} + \frac{п_{у} \cdot п_{г}}{м_{1}} + В_{1} (| у |) + В_{2} (| г |) + В_{3} (| г - у |)

$H = \frac{p_R^2}{2M} + \frac{p_y^2}{2\mu_{12}} + \frac{p_z^2}{2\mu_{13}} + \frac{p_y\cdot p_z}{m_1} + V_1(|y|) + V_2(|z|) + V_3(|z-y|)$ где

\frac{1}{μ_{i j}} = \frac{1}{m_{i}} + \frac{1}{m_{j}}

$\frac{1}{\mu_{ij}} = \frac{1}{m_i} + \frac{1}{m_j}$ уменьшенные массы

Полный угловой момент определяется выражением

л "=" {Икс}_{1} \times п_{1} + {Икс}_{2} \times п_{2} + {Икс}_{3} \times п_{3} "=" р \times п_{р} + у \times п_{у} + г \times п_{г}

$L = x_1 \times p_1 + x_2 \times p_2 + x_3 \times p_3 = R \times p_R + y \times p_y + z \times p_z$ .

The $l$ в паритете $= (-1)^l$ определяется внутренним угловым моментом

л_{я} "=" у \times п_{у} + г \times п_{г}

$L_i = y \times p_y + z \times p_z$ который коммутирует с гамильтонианом.

Следовательно, собственная функция задается выражением

| ψ (у, г) ⟩ "=" | ф (| у |, | г |) ⟩ | л М ⟩_{\hat{у} \hat{г}}

$|\psi(y,z)\rangle = |f(|y|,|z|)\rangle |L M\rangle_{\hat{y}\hat{z}}$ . Используя коэффициенты Клебша-Гордана, этот угол можно записать как:

| л М ⟩_{\hat{у} \hat{г}} "=" \sum_{м м^{'}} ⟨ л м, л^{'} м^{'} | л М ⟩ Д_{л м} (\hat{у}) Д_{л^{'} м^{'}} (\hat{г})

$|L M\rangle_{\hat{y}\hat{z}} = \sum_{m m'} \langle lm,l'm'|LM\rangle Y_{lm}(\hat{y}) Y_{l'm'}(\hat{z})$ для некоторых

l

$l$ и

l^{'}

$l'$

Общий паритет определяется $(-1)^{l + l'}$ что не обязательно равно $(-1)^L$ . Например $l = l' = 1$ приведет к (с моей точки зрения, действительному) решению:

| 10 ⟩_{\hat{у} \hat{г}} "=" \frac{1}{\sqrt{2}} (Д_{11} (\hat{у}) Д_{1 - 1} (\hat{г}) - Д_{1 - 1} (\hat{у}) Д_{11} (\hat{г}))

$|10\rangle_{\hat{y}\hat{z}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(Y_{11}(\hat{y})Y_{1-1}(\hat{z}) - Y_{1-1}(\hat{y})Y_{11}(\hat{z})\right)$ с паритетом

(- 1)^{l + l^{'}} = (- 1)^{1 + 1} = 1 \neq (- 1)^{1} = (- 1)^{L}

$(-1)^{l+l'} = (-1)^{1+1} = 1 \neq (-1)^1 = (-1)^L$ .

Должно быть что-то, что исключает такие комбинации. Почему это решение недействительно?

Ответы (2)

Почему четность пространственной волновой функции равна (−1)ℓ(−1)ℓ(-1)^{\ell}?

Элио Фабри · Answer 1

$\def\br{\mathbf r} \def\bR{\mathbf R} \def\bl{\mathbf l} \def\bL{\mathbf L}$

Рассмотрим составное состояние частицы $|\psi\rangle$ (как адрон или мезон)

Я не вижу, где вы учли состав частиц, да и не должны были. На самом деле это общий вопрос QM - нет необходимости поднимать QCD или тому подобное.

Для одной частицы в фиксированном потенциале применим ваш аргумент сферических гармоник. Для двух частиц, взаимодействующих друг с другом, но в остальном свободных, тот же аргумент применим к относительным координатам.

Для трех частиц (или более) вы следуете тем же путем, только с несколько большей сложностью. Выберите (разумно) две частицы, введите их ком G, затем ком G и третью частицу. Таким образом, у вас есть два вектора положения: $\br$ , переходя от частицы 1 к частице 2, и $\bR$ , идущий от G к частице 3.

Можно показать, что кинетическая энергия распадается на два слагаемых, одно из которых зависит только от $\br$ а другой на $\bR$ . Затем вы можете выбрать базис собственных функций двух угловых моментов, скажем $\bl^2, l_z$ и $\bL^2, L_z$ . Вы видите, что полная волновая функция имеет четность $(-1)^{l+L}$ . Это довольно сложно, так как можно ошибочно полагать, что четность зависит от полного углового момента, тогда как это не так: она зависит от суммы отдельных квантовых чисел .

Я говорил только о кинетической энергии, но, конечно, для того, чтобы четность могла быть полезной, потенциальная энергия квантового числа (или лагранжиан взаимодействия в КТП) должна быть инвариантной относительно пространственных отражений.

Я думал об этой процедуре раньше. Но я не убежден по двум причинам: 1. вы вычисляете угловой момент двухчастичной системы CMS, а затем переходите к трехчастичной системе CMS. Это включает в себя сдвиг скорости и, следовательно, изменяет угловой момент (оператор) для двухчастичной системы. 2. Чтобы оператор углового момента коммутировал с гамильтонианом, вам нужен потенциал, который зависит только от $|\vec{x}_i - \vec{x}_j|$ . Это верно для всего кадра CMS, но не для относительных координат, если у вас более 2 частиц.

Элио Фабри · Answer 2

$\def\bL{\mathbf L} \def\bl{\mathbf l} \def\bp{\mathbf p} \def\br{\mathbf r} \def\bP{\mathbf P} \def\bR{\mathbf R} \def\frac#1#2{{\textstyle {#1 \over #2}}} \def\half{\frac12}$ Чтобы ответить на ваши возражения, мне лучше написать несколько уравнений. В качестве общего замечания: вы не должны думать о смене системы отсчета, а только о выражении исходных величин (гамильтониана, углового момента) в терминах новых координат. Посмотрим, как.

Я собираюсь предположить, что все массы равны, просто чтобы упростить формулы. Но вы можете убедиться, что аргумент довольно общий. С другой стороны, это проверенный временем подход, известный как координаты Якоби и широко используемый в небесной механике примерно с середины 19 века.

Вызов $\br_1$ , $\br_2$ , $\br_3$ , векторы положения трех частиц. Определять

р "=" \frac{1}{3} (р_{1} + р_{2} + р_{3})

$\bR = {\textstyle {1 \over 3}} (\br_1 + \br_2 + \br_3)$

р "=" \frac{1}{2} (р_{1} + р_{2}) - р_{3} .

$\br= \half (\br_1 + \br_2) - \br_3.$

р^{'} "=" р_{2} - р_{1}

$\br' = \br_2 - \br_1$ Кинетическая энергия:

К "=" \frac{1}{2} м (3 {\dot{р}}^{2} + \frac{2}{3} {\dot{р}}^{2} + \frac{1}{2} {\dot{р}}^{'}^{2}) .

$K = \half\,m \left(3\,\dot\bR^2 + \frac23 \dot\br^2 + \half {\dot\br'}^2\right).$ Сопряженные импульсы:

п "=" 3 м \dot{р} п "=" \frac{2}{3} м \dot{р} п "=" \frac{1}{2} м {\dot{р}}^{'}

$\bP = 3\,m\,\dot\bR \qquad \bp = \frac23 m\,\dot\br \qquad \bp = \half m\,\dot\br'$

К "=" \frac{п^{2}}{6 м} + \frac{3 п^{2}}{2 м} + \frac{{п^{'}}^{2}}{м} .

$K = {P^2 \over 6\,m} + {3\,p^2 \over 2\,m} + {{p'}^2 \over m}.$ Угловой момент:

л_{т о т} "=" р \times п + р \times п + р^{'} \times п^{'} "=" л + л + л^{'} .

$\bL_{\mathrm{tot}} = \bR \times \bP + \br \times \bp + \br' \times \bp' = \bL + \bl + \bl'.$ Коммутаторы - это те, которые ожидаются для канонических координат.

R

$\bR$ с

P

$\bP$ ,

r

$\br$ с

p

$\bp$ ,

r^{'}

$\br'$ с

p^{'}

$\bp'$ .

Квантовое число четности относится к преобразованию

р \to - р р^{'} \to - р^{'}

$\br \to - \br \qquad \br' \to -\br'$ и следовательно

п \to - п п^{'} \to - п^{'} .

$\bp \to - \bp \qquad \bp' \to -\bp'.$ собственные состояния

l^{2}

$\bl^2$ ,

l^{' 2}

$\bl'^2$ иметь паритет

(- 1)^{l + l^{'}}

$(-1)^{l+l'}$ и я вижу, что вы говорите одно и то же, хотя и с разными координатами (что, кстати, порождает несепарабельный гамильтониан).

Чего я не могу понять, так это почему вас беспокоит ваш пример. Вы построили состояние внутреннего углового момента 1, $z$ -компонента 0, начиная с состояний с $l=l'=1$ , затем четность +. Что в этом плохого? Вполне возможная ситуация.

Спасибо. Я немного смущен. Является ли формула P = (-1) ^ L справедливой только для систем с двумя частицами? В нашей лекции мы использовали его для большего количества систем частиц. Может я что-то не так понял :D. Однако у меня есть вопрос к вашему результату, что четность равна (-1)^(l+l') для l,l' некоторого внутреннего углового момента. В общем (с взаимодействиями) только общий угловой момент является хорошим квантовым числом. Внутренние угловые моменты - нет. Так как же найти значения для l и l' и, следовательно, для четности?
@toaster Вы написали: «Это формула $P=(-1)^L$ справедливо только для систем с двумя частицами?» Несомненно. Вы правы в том, что в общем случае мы не можем написать $P=(-1)^{l+l'}$ если эти угловые моменты не сохраняются. Есть два ответа. Во-первых, четность важна при изучении распадов частиц, где конечное состояние состоит из свободных частиц. Тогда нет проблем. Второй. Верно, что для взаимодействующих частиц общее стационарное состояние представляет собой суперпозицию членов $\phi_l(\mathbf{r})\,\chi_{l'}(\mathbf{r'})$ . Тогда только термины с $l+l'$ допускаются равные паритеты.
Ах, так я не могу вычислить четность частицы: я могу только наблюдать за распадом и затем сравнивать с четностью конечного состояния. Спасибо

Почему четность пространственной волновой функции равна (−1)ℓ(−1)ℓ(-1)^{\ell}?

тостер

Ответы (2)

Элио Фабри

тостер

Элио Фабри

тостер

Элио Фабри

тостер

Сохранение четности при распаде частиц

Как найти волновую функцию частицы в системе покоя?

Что определяет, будут ли две квантовые частицы «взаимодействовать»?

Что означает, что нейтрон имеет «отрицательный» магнитный момент?

Какое отношение имеет четность к определению углового момента?

Симметрия пространственной волновой функции, не зависящая от MLMLM_L?

Двойственность волна/частица как результат различных ограничений КТП

Является ли ширина частиц следствием принципа неопределенности Гейзенберга?

Угловой момент фотона

Четные и нечетные состояния одномерной конечной потенциальной ямы