Почему диагональный аргумент Кантора не является просто парадоксом?

Нет оправдания ни тому, ни другому.

Парадокс Рассела является парадоксом, если вы верите** в неограниченное понимание (для каждого P существует множество {x | P}) или, по крайней мере, если вы верите**, что множество {x | х ∉ х} существует. Парадокс Рассела не является парадоксом, если вы используете его, чтобы заключить, что множество {x | x ∉ x} не существует.

Диагональный аргумент Кантора является парадоксом, если вы верите**, что все бесконечные множества имеют одинаковую мощность, или, по крайней мере, если вы верите**, что бесконечное множество и его степенное множество имеют одинаковую мощность. Диагональный аргумент Кантора не является парадоксом, если вы используете его, чтобы заключить, что мощность множества не равна мощности его множества.

** "верить" здесь не следует понимать буквально. Его можно заменить, например, «иметь в качестве аксиомы теорию множеств».

Парадокс (в данном контексте) состоит из двух противоречащих друг другу теорем.

Парадокс Рассела, например, состоит из двух теорем: «R является элементом R» и $R не является элементом R» (где R обозначает множество Рассела.

В случае Кантора у нас есть одна теорема, а именно, что не существует сюръективного отображения натуральных чисел в действительные числа. Чтобы это было частью парадокса, нам понадобилась бы вторая теорема, утверждающая, что существует сюръективное отображение натуральных чисел в действительные числа. Никто (точнее, никто, использующий стандартные аксиомы теории множеств) не доказал такую ​​теорему, так что парадокса нет.

Хорошо подмечено. Оказывается, ряд традиционных парадоксов основан на так называемом диагональном аргументе, который можно интерпретировать как аргумент с фиксированной точкой, как указано в аннотации к этой статье Януфского:

Следуя Ф. Уильяму Ловеру, мы показываем, что многие самореферентные парадоксы, теоремы о неполноте и теоремы о неподвижных точках выпадают из одной и той же простой схемы. Мы демонстрируем это сходство, показывая, как эта простая схема охватывает семантические парадоксы и как они возникают в виде диагональных аргументов и теорем о неподвижных точках в логике, теории вычислимости, теории сложности и теории формального языка.

На самом деле Януфский использует менее изощренный подход к Ловеру, который использует теорию категорий для установления теоремы о неподвижной точке; но он намекает на это.

Одна интерпретация парадоксов в математике состоит в том, чтобы сказать, что что-то не так в используемой общей структуре; в случае Кантора ему пришлось расширить свою «математическую» структуру, чтобы включить новое понятие бесконечностей (мощностей); а в случае Рассела он разветвил свою теорию типов; т.е. вместо по типу была их иерархия

Парадокс Рассела использует комбинацию логики и теории множеств, чтобы «доказать» противоречие — X <- X iff X </- Xутверждает, что два противоположных утверждения эквивалентны. Отсюда мы можем доказать все, что угодно, по принципу взрыва . Если мы хотим, чтобы теория множеств была полезной, эту проблему нужно решить, изменив теорию множеств так, чтобы мы не создавали множество всех множеств, которые не содержат самих себя. Это противоречит нашим прежним представлениям о теории множеств.

С другой стороны, разрешение противоречия в канторовском аргументе диагонализации намного проще. Резолюция на самом деле является предметом спора — это то, что мы пытаемся доказать. Резолюция расширяет теорию, а не заставляет нас изменить ее, чтобы избежать противоречия.

Диагональный аргумент Кантора в конце демонстрирует: « Если целые и действительные числа имеют одинаковую мощность, то мы получаем парадокс». Обратите внимание на большое « если » в первой части. Поскольку парадокс обусловлен предположением, что целые и действительные числа имеют одинаковую мощность, это предположение должно быть ложным, а целые и действительные числа имеют разную мощность.

Теперь, если бы вы нашли доказательство того, что целые и действительные числа имеют одинаковую мощность, мы могли бы добавить ваше доказательство и диагональный аргумент Кантора и получить настоящий парадокс. Это очень маловероятно.

Что касается комментария Витргенштейна к доказательству, я думаю, что он имел в виду следующее:

Между двумя конечными множествами мы говорим, что они имеют одинаковое количество элементов, если мы можем поставить их во взаимно-однозначное соответствие. Доказательство Кантора интерпретируется как означающее, что существуют мощности бесконечностей, причем вещественные числа относятся к большей бесконечности. Считается, что это важное открытие в природе бесконечных множеств. Я думаю, что Витгенштейн имеет в виду, что на самом деле это не столько открытие относительно множеств, сколько математическое творение. Используя такие термины, как «количество элементов», «множество» и «однозначное соответствие», мы создаем впечатление, что открыли что-то о них, а не конструируем новые формы этих терминов с другими свойствами, чем их обычные. . В его глазах проблема может заключаться в том, что вы используете термин «набор», когда говорите «

Единственный парадокс, связанный с диагональным аргументом Кантора, заключается в том, что в него верят очень многие математики. Первая посылка Кантора уже неверна, а именно, что «список» может содержать все счетные числа, т. е. натуральные числа. В математике нет полного набора натуральных чисел, и есть простое доказательство этого утверждения: вплоть до каждого натурального числа n отрезок 1, 2, 3, ..., n конечен, и за ним следует потенциально бесконечное множество других натуральные числа. Кантор просто доказывает, что его посылка неверна.

Но даже если мы примем его идею, мы никогда не получим настоящего «диагонального числа», потому что действительное число не определяется цифрами, если нет последней.