Поскольку «объектность» R первична, почему не имеет смысла сказать, что R не может ни иметь атрибутов, is a member of Rни is a member of Rнеправильно приписываться ему? Если это так, то парадокс Рассела растворяется, поскольку именно предположение о том, что R должно удовлетворять либо , is a member of Rлибо нет- is a member of R, по-видимому, с самого начала приводит нас к парадоксу.

Если я правильно понимаю ваш вопрос, вы не хотите объявлять эти отношения принадлежности неразрешимыми утверждениями (поскольку другие ответы, похоже, интерпретируют ваш вопрос); вы хотите ограничить коллекцию R, чтобы она не имела установленного отношения членства.

Хорошие новости, вы только что обнаружили правильные классы!

Если оставить в стороне замечание о «объективности» Кантора, за которым я не мог уследить, ваша интуиция ведет вас в правильном направлении.

Проанализируем ситуацию:

R = { x : x ∉ x }выход R ∉ R ⇔ R ∈ Rможно было получить в теории множеств, потому что использовался неформальный принцип неограниченного понимания . Следовательно, проблему можно решить, тщательно ограничив принцип понимания. Именно так это делается в современной теории множеств , используя схему аксиом ограниченного понимания . В результате ZFC не позволяет определить R, или, говоря более точно, Rможет быть определено как доведение до абсурда для доказательства того, что «множество всех множеств» не существует, т. е. допущение, что его существование приводит к противоречие, описываемое парадоксом Рассела.

Существенным моментом, однако, является то, что доказательство действительно говорит нам, что множество всех множеств не может быть множеством . Фактически, парадокс Рассела, а также парадокс Кантора и парадокс Бурали -Форти просто говорят нам, что некоторые наборы, такие как «множество всех наборов», не являются наборами . Отец теории множеств Георг Кантор считал эти совокупности, которые он называл « абсолютными бесконечностями », недосягаемыми для математики, и относился к ним мистически. Как оказалось, эта оценка была слишком пессимистичной. Наборы, которые Кантор называл «абсолютными бесконечностями», сегодня известны как собственные классы . (Вы можете дополнительно проконсультироваться с этимкраткое введение ).

Проще говоря, понятие класса можно ввести так:

Класс xявляется множеством тогда и только тогда, когда существует такой класс y, что x ∈ y. Класс, не являющийся множеством, называется собственным классом.

Теперь предположим, что R ∉ R. Если вы предполагаете, что R — это множество, вы получаете противоречие, поэтому R должен быть правильный класс .

В ZFC мы можем говорить о собственных классах только неформально . Однако существуют альтернативные фундаментальные системы, известные также как теории классов , которые — сюрприз! - позволяют формально обращаться с собственными классами помимо множеств. Наиболее «явной» из этих систем является теория множеств Морса-Келли , которая допускает собственные классы в качестве основных объектов наряду с множествами. Но есть много других подходов .

Смотрите также:

• Набор всех наборов
• Универсальный набор
• Вопросы о «правильных классах» на math.sx

Некоторые известные правильные классы:

• Конструируемая вселенная
• Вселенная фон Неймана

Проблема заключается в принципе понимания;

«рецепт», которому мы следуем при построении множества:

М знак равно {х: Fх}

Определение М как множества всех объектов х, таких, что х обладает свойством F.

Бертран Рассел написал этот рецепт: R = {x : x ∉ x}

И возникает парадокс, если вы спросите, является ли R элементом в R или нет!

Следовательно, теория множеств Кантора (и логическая система Фреге) оказалась несостоятельной!

Рецепт, изобретенный Кантором, нуждается в корректировке, и вот предложение.

M = {x : x ∈ M IFF Fx}

Определение M как множества всех объектов x, таких, что x является элементом M IFF x, имеет свойство F.

Теперь x не может принимать R в качестве значения в формуле:

R = {x : определение R как множества всех объектов x таких, что x является элементом в R, если x не является элементом в x. x ∈ R IFF x ∉ x}

И больше не доказано, что теория множеств Кантора и логика Фреге несовместимы.

Вы можете прочитать больше о теории первоначальных множеств здесь: https://en.wikipedia.org/wiki/Naive_set_theory#Cantor 's_theory

Ответ на комментарий пользователя jobermark:

Не "{x: Fx}" определяет "M". Исходный конструктор набора не использует имя создаваемого набора. Именование происходит вне конструктора с использованием оператора идентификации «M={x: Fx}». Включение несогласованности, когда F (M) = «M ∉ M».

Используя «M» в качестве метапеременной, появляющейся в обеих частях оператора тождества: M = {x : x ∈ M IFF Fx}, вопрос о том, является ли M элементом M или нет, решается ВНУТРИ конструктора множества с помощью противоречие «M ∈ M, если M ∉ M», и мы больше не можем делать внешнее утверждение, что M ДОЛЖЕН быть элементом M, если M не является элементом M.

Не знакомы с метапеременными? См. определение истины: «x» истинно, если x.

Кажется, Кантор был там раньше меня! В письме к Дедекинду он обсуждал корректировку принципа понимания ... Томас Беньямин дает современную версию скорректированной теории Кантора:

Наивная теория множеств:

Экстенсиональность: для двух множеств A и B , A=B тогда и только тогда, когда (x)[x 'является членом' A, если и только если x является членом 'B]

Понимание: для любого предиката P(x) множество {x|P(x)} существует и

(a)[a 'является членом' {x|P(x)} тогда и только тогда, когда P(a)]

И затем Томас спрашивает, можно ли еще вывести парадоксы из этой измененной версии наивной теории множеств Кантора?

Я спросил только, можно ли вывести парадокс Рассела!

Предикат x ∉ x

Имя набора {x|x ∉ x}

И конструктор набора: x ∈ {x|x ∉ x} IFF x ∉ x

И тогда Кантор, наконец, понял бы, что ни для какого x верно, что x = {x|x ∉ x}!

Но использование «{x|x ∉ x}» в качестве имени строящегося множества сбивает с толку!

Поэтому, когда предикат определяется как x ∉ x, я утверждаю, что R = {x|x ∉ x}

Таким образом, я могу иметь конструктор множества с R внутри {x|x ∈ R IFF x ∉ x}

И, наконец, R = {x|x ∈ R IFF x ∉ x} (моя версия)

Но мы можем исключить R, если нам нужна версия Кантора:

{х|х ∉ х} = {х| x ∈ {x|x ∉ x} IFF x ∉ x}

Вы построили R и теперь спрашиваете, является ли R членом R. Положительный или отрицательный ответ на этот вопрос приводит к противоречию. Вы решаете эту проблему, говоря, что R не может иметь свойств: «является членом R» или нет — «является членом R». Это абсурд. Это все равно, что сказать, что какое-то утверждение не может быть «истинным» или «ложным». Если вы не используете какую-то логику, отличную от стандартной, ни одно утверждение не может быть ни истинным, ни ложным. (То есть каждое утверждение истинно или ложно.)

Очевидно, это работает, но вам нужно что-то похожее на причину:

• Вы можете отбросить Закон исключенного третьего, что приведет к более простой «интуиционистской» логике.
• вы можете настаивать на неотъемлемом порядке в процессе создания наборов, что приводит к сложной и неестественной конструкции ZFC и его родственников.
• вы можете утверждать, что понятие «быть элементом» просто не применимо к определенным типам объектов, включая «слишком большие» коллекции и те, которые не являются «обоснованными».
• вы можете предположить, что все ссылки в языке имеют естественный порядок разрешения, начиная с подхода, предложенного в вопросе, и заканчивая сложными и неестественными понятиями «ветвления» Рассела и Куайна для обработки все большего и большего количества частных случаев.
• вы можете утверждать, что отрицание не является тотальным, и допускать некоторые противоречия в вашу логику как частные случаи
• вы можете выполнить масштабный проект по описанию всех форм упорядочения и найти максимально стабильную модель, принимая это ограничение, поскольку самый базовый вид упорядочения должен быть изоморфен этой максимально стабильной модели, если она окажется уникальной .

Все это и многое другое работает. И все их очень трудно принять без лучшего философского основания, чем необходимость решения этого вопроса.

Итак, вы променяли отсутствие ответа на слишком много ответов, и, поскольку все они кажутся глупыми, на первый взгляд, вы ничем не лучше. Остается верным то, что логика в радикальном классическом смысле не может быть верна в отношении наших понятий вмещения, универсальности и отрицания, как мы их наивно понимаем — в полностью разрешенной и неизменной платоновской сфере. Какая-то часть нашей естественной модели неверна от природы.

Тогда парадокс заключается в том, какую часть вашего наивного и естественного понимания вы хотите отбросить, чтобы чувствовать себя в безопасности, и как мы можем достичь согласия в чем-то столь фундаментальном, чтобы эволюция математики могла двигаться вперед. И решить ее не легче, чем исходную проблему.

Современное «решение» состоит в том, чтобы собрать все эти решения и навязать одно из них с помощью чисел — причудливый политический процесс, чуждый понятию самой математики.

Бертран Рассел обнаружил несостоятельность еще не опубликованной Фреге аксиоматизации теории множеств. Используя аксиомы Фреге, Рассел продемонстрировал, что множество всех множеств, не являющихся элементами самих себя, может быть доказано как как существующим, так и несуществующим. Последующие аксиоматизации теории множеств позволили избежать этой проблемы.

Обратите внимание, что проблема не в самореференции. Можно тривиально показать, что для любого бинарного отношения R не существует такого x, что для всех y yRx тогда и только тогда, когда не yRy.