Учитывая, что парадокс Рассела демонстрирует противоречие в наивной теории множеств, интерпретация бинарного отношения «∈», называемого «принадлежностью» (где выражение «x ∈ m» произносится как «x является элементом m») не имеет значения. Мы могли бы думать о m как о мешке с вещами и интерпретировать...
«x ∈ m» означает, что x не находится в этом мешке.
... и такое же противоречие возникло бы независимо от нового способа осмысления значения примитивного (то есть фундаментального, а не определяемого в терминах основополагающих понятий) понятия членства.
Обычное объяснение того, почему возникает парадокс Рассела, предназначено для того, чтобы мотивировать конкретный подход к теории множеств, подход, который, как ожидается, не будет обнаружен как логически несостоятельный ни в форме ZF, ни когда дополнительные аксиомы были введены и приняты в теории множеств. чтобы вывести долгожданные теоремы, такие как гипотеза Римана.
Обычное объяснение заключается в том, что у вас просто не может быть мешка или «набора», содержащего каждый набор x, удовлетворяющий (x ∉ x), потому что это было бы слишком много вещей в одном мешке или наборе. Вызывая связь между «величиной» и «бесконечностью» и древними табу на бесконечность, объяснение кажется психологически удовлетворяющим некоторых студентов-математиков.
Однако, учитывая, что наивная теория множеств логически непоследовательна, она остается непоследовательной независимо от интерпретации. Это непоследовательно, когда мы интерпретируем...
«x ∈ m» означает, что x не находится в этом мешке.
Итак, ясно, что проблема не в том, что у нас не может быть сумки или набора, состоящего из элементов какого-то неприемлемо большого бесконечного числа элементов.
Каковы основные минимальные требования, помимо согласованности, которым должна удовлетворять система теории множеств? Кажется, что эти минимальные требования следует обсудить, и что был процесс поиска помещений, которые позволили бы выполнить эти минимальные требования. Аксиомы (например, для ZF) не являются самоочевидными. В некотором смысле они являются рационализациями, предназначенными для реконструкции теорем, которые уже считались истинными до изобретения предпосылок.
Обычно мы исходим из предпосылок, понимая, что любой дефект в наших предпосылках может поставить под сомнение истинность наших выводов. Итак, если мы собираемся построить почти всю предметную область на какой-то одной системе предпосылок и обычно поступаем так, как будто нет смысла рассматривать альтернативы до тех пор, пока не будет достигнут некоторый консенсус в пользу альтернатив, то нам действительно следует верить, что посылки верны. У изучающих математику, которые рассматривают посылки как предположения, нет особой причины поддаваться влиянию различных выводов — с использованием дедуктивной логики, применяемой в математике более тщательно, чем в любой другой предметной области — выводов из этих посылок. Изучающие математику, естественно, увидят, что выводы чем-то подкреплены, но не определенно верны.
Парадокс Рассела исторически возник как контрпример к простому утверждению Фреге о существовании множеств, соответствующих свойствам. Как правило, когда к утверждению, которое казалось очевидным истинным, приводится очень четкий контрпример, контрпример удивителен, но не слишком. Утверждение обычно принимается, потому что оно согласуется с некоторыми расплывчатыми представлениями, а картина вырисовывается на основе небольшого числа примеров. Контрпример просто имеет тенденцию показывать, что примеры, которые люди имели в виду, когда их убедили принять утверждение, были довольно скудным набором примеров, который не имеет ничего общего с тем богатством возможностей, с которым можно столкнуться среди математических возможностей.
Возможно ли, что сосредоточение внимания на парадоксе Рассела, исключая другие парадоксы наивной теории множеств, способствовало как сужению фокуса, так и мотивации людей принять систему теории множеств в первую очередь потому, что, похоже, нет никакого способа вывести - внутри этой системы — противоречие, возникающее в парадоксе Рассела?
Стоит отметить, что существуют теории множеств, имеющие множество всех множеств, поэтому проблема с несуществующим множеством всех множеств, не содержащих самих себя, не связана с «размером». Парадокс Рассела исходит из неограниченного понимания и становится связанным с «размером» только в том случае, если мы сохраняем ограниченное набором понимание.
По словам Тима Баттона, причина, по которой парадокс Рассела является проблемой в теории множеств, заключается в том, что теория множеств опирается на классическую логику первого порядка, и здесь можно выразить этот парадокс.
Сначала он рассматривает парадокс с точки зрения наивной теории множеств: (стр. 109)
Во второй части мы работали с наивной теорией множеств. Но согласно очень наивной концепции, множества — это всего лишь расширения предикатов. Эта наивная мысль требует следующего принципа:
Наивное понимание . { x : φ(x) } существует для любой формулы φ .
Каким бы заманчивым ни был этот принцип, он доказуемо непоследователен.
Затем он показывает, доказав, что множества R = {x : x ∉ x} не существует , что можно переформулировать парадокс Рассела в других контекстах:
Стоит подчеркнуть, что это двухстрочное доказательство является результатом чистой логики. Единственной аксиомой, которую мы использовали, была Экстенсиональность. И мы можем избежать даже этой аксиомы, просто сформулировав результат следующим образом: не существует множества, членами которого являются в точности несамочленные множества . Но, как заметил сам Рассел, точно такие же рассуждения приведут вас к выводу: ни один мужчина не бреет в точности тех мужчин, которые не бреются сами . Или: ни один мопс не обнюхивает именно тех мопсов, которые не обнюхивают себя . И так далее. Схематически форма результата такова:
¬∃x∀z(Rzx ↔ ¬Rzz).
И это всего лишь теорема (схема) логики первого порядка.
Затем он может прийти к выводу, что проблема не в теории множеств, а в логике первого порядка:
Следовательно, мы не можем избежать парадокса Рассела, просто переделывая нашу теорию множеств; она возникает еще до того, как мы приступаем к теории множеств. Если мы собираемся использовать (классическую) логику первого порядка, мы просто должны признать, что не существует множества R = { x : x ∉ x }. Итог такой. Если вы хотите принять наивное понимание, избегая при этом противоречий, вы не можете просто возиться с теорией множеств . Вместо этого вам придется пересмотреть свою логику .
Баттон, Т. Теория множеств: открытое введение. Получено 4 октября 2019 г. из проекта Open Logic по адресу http://builds.openlogicproject.org/courses/set-theory/settheory-screen.pdf .
Чтобы добавить к ответу Арно, неудерживаемость на самом деле не имеет ничего общего с размером. Наличие членов любого размера — это простой тест, но это не основная причина, по которой любой набор не может содержаться. Это на самом деле довольно косвенный. Переход от одного факта к другому формально включает множества, имеющие мощности, кардиналы являются ординалами и парадокс Бурали-Форти.
Множество всех целых чисел, не определимых менее чем шестьюдесятью буквами, также не может содержаться, даже если оно явно содержит только положительные целые числа. Но если бы это было множество положительных целых чисел, оно имело бы наименьший элемент и ускорило бы парадокс Берри .
(В символах, скажем, мы определяем операцию «не заключать в кавычки», аналогичную обратной кавычке Linux на языке нашей теории множеств. Пусть «s» будет противоположностью заключению в кавычки, поскольку она берет строку s и возвращает интерпретацию строки s. эта строка на обычном языке теории множеств и арифметики (полностью дополненная строковыми операциями, операторами инфимума и супремума и т. д.)
Теперь определим строку B = "{x:∀t`t`=x→|t|>25}", (где || принимает длину строки). Итак, B — это набор вещей, которые мы можем определить не менее чем в 25 символах нашего языка. Тогда `B` не может быть множеством. Если бы оно не содержало натуральных чисел, то любое число, которое мы могли бы определить с помощью 25 или более символов, мы всегда могли бы определить с помощью меньшего количества символов, и нам потребовалось бы не более 25 символов для любого арифметического определения. Это явно не так. Значит, оно содержит натуральное число и, следовательно, хотя бы единицу. Но если мы выберем b как наименьшее натуральное число в `B` и пусть t = "⋀" + B. Тогда `t` = b, и b находится в `B`, но |t|=19.)
Метафора размера явно больше не работает в теории множеств с универсальным множеством, таким как Гедель-Бернайс-фон Нейман. Это полный отвлекающий маневр, используемый в качестве оправдания, который на самом деле ничего не значит.
Так что да, каждый исторический парадокс, вероятно, можно манипулировать для создания наивных наборов, которые не являются наборами ZFC. Набор всех целых чисел, которые будут перечислять кучи песка. Набор всех утверждений, которые могут быть сделаны лжецами. И т. д. В нашей интуиции назначения и определения есть нечто большее, чем просто запретить этот единственный набор и избежать бесконечностей, которые почему-то «слишком велики».
Вы можете заявить, что такие понятия, как «определимость», значения лжи и расплывчатость английских слов, не являются частью теории множеств. Но нет веских оснований исключать их перевод в эти термины. Они все еще являются частью нашего общего наивного понятия определения и, следовательно, понимания множества. Рассел настолько прост, что его можно легко перевести в символы.
Конифолд