Почему два разных квантовых состояния не могут эволюционировать в одно и то же конечное состояние?

Верно ли, что два разных состояния не могут эволюционировать в одно и то же конечное состояние?

Это зависит от того, что именно вы имеете в виду. Если мы рассмотрим общее состояние закрытой системы, то два разных состояния никогда не перейдут одновременно в одно и то же состояние в какой-либо более поздний момент времени. Возможно, вы узнали, что квантовые состояния развиваются с унитарным преобразованием, т.е.

$$\lvert \Psi(t) \rangle = U(t) \lvert \Psi(0) \rangle$$ куда$U(t)$унитарна, а это означает, что$U(t)^\dagger = U(t)^{-1}$. В таком случае $$\begin{align} \langle \Phi(t)|\Psi(t) \rangle &= \langle U(t) \Phi(0) | U(t) \Psi(0) \rangle \\ \text{(definition of Heritian conjugate)} \quad &= \langle \Phi(0) | U(t)^\dagger U(t) | \Psi (0) \rangle \\ \text{(unitarity)} \quad &= \langle \Phi(0) | U(t)^{-1} U(t) | \Psi (0) \rangle \\ &= \langle \Phi(0) | \Psi (0) \rangle \, . \end{align}$$ Как видите, внутренний продукт между двумя состояниями не меняется с течением времени. Два одинаковых состояния имеют внутренний продукт, равный 1, но состояния, которые не совпадают, имеют внутренний продукт, отличный от 1. Следовательно, два состояния, которые изначально не совпадают, не могут стать одними и теми же позже при унитарной эволюции.

С другой стороны, если мы допускаем измерение, два изначально разных состояния могут оказаться одним и тем же. Например, если у нас есть двухуровневая система, начинающаяся в состоянии$(\lvert 0 \rangle + e^{i \phi} \lvert 1 \rangle)/\sqrt 2$для любого значения$\phi$, он может разрушиться до$\lvert 0 \rangle$после измерения. Заметим, однако, что в этом случае имеет место случайность, т.е. мы не можем создать ситуацию, когда два изначально разных состояния детерминистически эволюционируют в одно и то же конечное состояние. Если бы вы могли это сделать, я почти уверен, что вы могли бы управлять будущим, общаться быстрее света и уничтожить всю вселенную.

Могут ли они достичь этого состояния в разное время?

Да, конечно. Рассмотрим двухуровневую систему с гамильтонианом

$$H = \hbar \frac{\omega}{2} \sigma_x \, .$$ Пропагатор для этой системы $$U(t) = \cos(\omega t / 2) \mathbb{I} - i \sin(\omega t / 2) \sigma_x = \left( \begin{array}{cc} \cos(\omega t / 2) && -i \sin(\omega t / 2) \\ -i \sin(\omega t / 2) && \cos(\omega t / 2) \end{array} \right)$$ куда$\mathbb{I}$означает тождество. Если мы начнем с состояния$\lvert 0 \rangle$, то состояние в момент времени$t$является $$U(t) \lvert 0 \rangle = \cos(\omega t / 2) \lvert 0 \rangle - i \sin(\omega t / 2) \lvert 1 \rangle$$ Точно так же, если бы мы начали с$i \lvert 1 \rangle$, мы бы получили $$U(t) i \lvert 1 \rangle = \sin(\omega t / 2) \lvert 0 \rangle + i \cos(\omega t / 2) \lvert 1 \rangle \, .$$ Теперь взгляните на два конкретных периода времени: $$U(t = \pi / 2 \omega) \lvert 0 \rangle = \cos(\pi / 4) \lvert 0 \rangle - i \sin(\pi / 4) \lvert 1 \rangle = \frac{1}{\sqrt 2}(\lvert 0 \rangle - i \lvert 1 \rangle)$$ и $$U(t = 3 \pi / 2 \omega) i \lvert 1 \rangle = \sin(3\pi/4)\lvert 0 \rangle + i \cos(3 \pi / 4) \lvert 1 \rangle = \frac{1}{\sqrt 2}(\lvert 0 \rangle - i \lvert 1 \rangle) \, .$$ Итак, мы видим, что два изначально разных состояния эволюционируют в одно и то же состояние, но в разное время.

Позволять$\Psi$и$\Phi$быть двумя состояниями, которые переходят в одно и то же состояние через некоторое время$t$. Эволюция времени после времени$t$задается унитарным оператором$U(t)$. В частности, это означает, что$U(t)$обратим, поэтому имеем$U(t)^{-1}U(t) = 1$. Теперь мы имеем по предположению, что$U(t)\Psi = U(t)\Phi$. Умножая обе части этого уравнения на$U(t)^{-1}$слева получаем$\Psi = \Phi$. Итак, если два состояния переходят в одно и то же состояние через некоторое время$t$, они были одинаковыми с самого начала.

Кроме того, эволюция времени обладает тем свойством, что$U(t)U(s) = U(t+s)$. Позволять$t\neq 0$. Теперь предположим, что у нас есть некоторое состояние$\Phi$со свойством, которое$U(s)\Phi \neq \Phi$. Поставил$\Psi = U(s)\Phi$. Затем мы получаем

$$\begin{equation} U(t)\Psi = U(t)(U(s)\Phi) = U(t+s)\Phi. \end{equation}$$ Тогда мы имеем, что состояния$\Psi$и$\Phi$, (которые разные), эволюционируют в одно и то же состояние$U(t+s)\Phi$, но в разное время.

На самом деле, это единственный способ, которым это может произойти. То есть, если есть два разных состояния$\Phi \neq \Psi$такой, что$U(t)\Phi = U(t')\Psi$, то существует время$s$такой, что$\Psi = U(s) \Phi$. Может быть, найти доказательство этого утверждения — хорошее упражнение.

За исключением коллапса волновой функции, волновые функции развиваются детерминистически, и этот детерминизм во времени действует в обоих направлениях. Итак, если вы возьмете$\Psi$и$\Phi$такой, что есть какой-то$t_0$для которого$\Psi(t_0)=\Phi(t_0)$, то пока они эволюционируют при одном и том же преобразовании, у вас есть$\Psi(t)=\Phi(t)$для всех$t$. Таким образом, у вас не может быть ни двух одинаковых волновых функций, которые в одно время эволюционируют в разные волновые функции в разное время, ни двух волновых функций, которые разные в одно время, не эволюционируют в одну и ту же волновую функцию в другое время.

Состояние может эволюционировать в то, чем было другое состояние в другое время, т.е.$\Psi(t_1)=\Phi(t_2)$. Но если они развиваются при постоянном во времени преобразовании, то если мы определим$\Delta t= t_2-t_1$, затем$\Psi(t)=\Phi(t+\Delta t)$для всех$t$; эти два состояния являются просто версией друг друга со сдвигом во времени.

$\def\ket#1{|#1\rangle}$Проще. По первому вопросу: пусть$\ket{a,0}$быть вектором состояния, взятым в момент времени 0,$\ket{a,t}$такое же состояние развилось во времени$t$.

Примечание 1: используется картина Шредингера, в которой состояния развиваются во времени, а наблюдаемые — нет.

Примечание 2: я использую несколько иную кет-нотацию. Я не пишу такие вещи, как$\ket{\Psi(t)}$потому что я думаю, что это неправильное толкование обозначений Дирака.

У нас есть

$$\ket{a,t} = U(t)\,\ket{a,0}$$ куда$U(t)$является унитарным. Предположим теперь, что другой$\ket{b,0}$существует такое, что также $$\ket{a,t} = U(t)\,\ket{b,0}.$$ Затем $$\ket{b,0} = U^{-1}(t)\,\ket{a,t} = U^{-1}(t)\,U(t)\,\ket{a,0} = \ket{a,0}.$$

Теперь второй вопрос. Вы спрашиваете, если

$$\ket{a,t} = \ket{b,t'} \tag1$$ могло случиться, ибо$t'\ne t$. Расширим ур. (1), используя$U$: $$U(t)\,\ket{a,0} = U(t')\,\ket{b,0}$$ $$\ket{b,0} = U^{-1}(t')\,U(t)\,\ket{a,0} = U(-t')\,U(t)\,\ket{a,0} = U(t-t')\,\ket{a,0}.$$ Это условие$\ket{a,0}$и$\ket{b,0}$должны подчиняться, чтобы$\ket{a,t}$и$\ket{b,t'}$быть равным.