Путаница в интерпретации значений ожидания в квантовой механике

Несмотря на кажущееся сходство, математическое ожидание и вероятность перехода — не одно и то же. Становится яснее, когда вы выражаете эти величины через операторы плотности$\hat{\rho}=|\psi\rangle\langle\psi|$. Тогда ожидаемое значение равно

$$\langle \hat{O}\rangle = \langle\psi| \hat{O}|\psi\rangle = \text{tr}\{ \hat{O}\hat{\rho}\} .$$ Унитарная эволюция государства теперь представлена $$\hat{\rho}(t) = \hat{U}(t)\hat{\rho}(0)\hat{U}^{\dagger}(t) ,$$ где (используя ваше соглашение)$\hat{U}(t)=\exp(-i\hat{H}t)$. Таким образом, вероятность перехода становится $$\text{tr}\{\hat{\rho}(0)\hat{\rho}(t)\} = \text{tr}\{\hat{\rho}(0)\hat{U}(t)\hat{\rho}(0)\hat{U}^{\dagger}(t)\} ,$$ который является квадратом модуля амплитуды перехода , которую вы вычислили. Чтобы вычислить ожидаемое значение для наблюдаемой с развивающимся состоянием, нам нужно $$\text{tr}\{\hat{O}\hat{\rho}(t)\} = \text{tr}\{\hat{O}\hat{U}(t)\hat{\rho}(0)\hat{U}^{\dagger}(t)\} .$$ Обратите внимание, что это представляет картину Шредингера. То же выражение можно интерпретировать в картине Гейзенберга, включив унитарные операторы в наблюдаемую, так что $$\hat{O}(t) = \hat{U}^{\dagger}(t)\hat{O}\hat{U}(t) .$$