Можно ли любой линейный, но неунитарный «оператор эволюции времени» нормализовать до унитарного?

В комментарии к этому ответу на другой вопрос говорится

Я полагаю, что для любого линейного неунитарного оператора эволюции во времени я могу найти унитарный оператор, который будет давать одинаковые значения математического ожидания для каждого [физического состояния], что делает неунитарную эволюцию во времени с ручной нормировкой равной унитарному времени эволюция со стандартной нормализацией.

Это верно?

Ответы (2)

Нет. Для любого конкретного начального состояния | ψ 0 ⟩ , мы можем вручную нормализовать гипотетический неунитарный, но линейный оператор эволюции во времени О ^ ( т ) таким образом, чтобы нормализованный вручную оператор О ^ н ( т ) ≡ Н ψ 0 ( т ) О ^ ( т ) создает эволюционирующую во времени траекторию | ψ ( т ) ⟩ "=" О ^ н ( т ) | ψ 0 ⟩ с постоянной нормой. Но ключевой момент в том, что функция ручной нормализации Н ψ 0 ( т ) обязательно зависит от конкретного начального состояния | ψ 0 ⟩ ; нет вообще ни одной нормализованной вручную версии О ^ ( т ) который сохраняет норму вдоль траекторий для всех начальных состояний, как это делает унитарный оператор эволюции во времени. Следовательно, унитарность оператора эволюции во времени является гораздо более сильным требованием, чем простая линейность, и вы не можете вручную нормализовать произвольный линейный оператор эволюции во времени до унитарного. (Но обратите внимание, что физическая интерпретация унитарности несколько неясна в формализме проективного пространства, где физические состояния не имеют норм.)

В качестве простого примера рассмотрим гипотетический линейный, но неунитарный оператор эволюции во времени

О ^ ( т ) "=" ( 1 я ю т 0 1 ) .

Эта операторная траектория является однопараметрической группой Ли, т. е. удовлетворяет свойству композиции О ^ ( т 2 ) О ^ ( т 1 ) "=" О ^ ( т 2 + т 1 ) . Он сохраняет норму начального состояния ( 1 , 0 ) , поэтому функция ручной нормализации для этого начального состояния является тривиальной Н ( т ) ≡ 1 . Но оператор масштабирует норму начального состояния ( 0 , 1 ) со временем как 1 + ( ю т ) 2 , поэтому функция ручной нормализации для этого начального состояния имеет вид Н ( т ) "=" 1 / 1 + ( ю т ) 2 . Вы не можете нормализовать О ^ ( т ) одновременно сохранить норму обоих начальных состояний. (Следовательно, генератор этой группы Ли

я г О ^ г т | т "=" 0 "=" ( 0 − 1 0 0 )
не эрмитов.)

Учитывая линейный (но, возможно, неунитарный) оператор эволюции во времени О ^ ( т ) , "ручная нормализация" означала бы рассмотрение эволюции во времени

| ψ ( т ) ⟩ "=" ⟨ ψ 0 | ψ 0 ⟩ ⟨ ψ 0 | О ^ ( т ) † О ^ ( т ) | ψ 0 ⟩ О ^ ( т ) | ψ 0 ⟩ .
Понятно, что эта карта | ψ 0 ⟩ ↦ | ψ ( т ) ⟩ в общем случае нелинейна (за исключением случаев, когда О ^ ( т ) † О ^ ( т ) кратно тождеству). Другими словами, мы можем только «починить» нормализацию ценой линейности.

Отличный ответ, но он должен быть
| ψ ( т ) ⟩ "=" ⟨ ψ 0 | ψ 0 ⟩ ⟨ ψ 0 | О ^ ( т ) † О ^ ( т ) | ψ 0 ⟩ О ^ ( т ) | ψ 0 ⟩ .
Эволюция унитарного времени означает постоянную норму, а не единичную норму (и вы забыли квадратный корень).
@tparker Спасибо, я забыл квадратный корень! Кроме того, я предположил, что начальное состояние нормализовано для упрощения выражения, но должен был упомянуть об этом.
С уважением, я думаю, что предположение, что | ψ 0 ⟩ нормализовано испортит весь ваш ответ. Если вы дадите карту эволюции во времени только для нормализованного | ψ 0 ⟩ , то нет никакого способа оценить, является ли эта карта линейной — в этом весь смысл вашего ответа — потому что линейная комбинация нормализованных кетов обычно не нормализована. (Действительно, ваша формула на первый взгляд кажется нелинейной, даже если О † О "=" 1 .) Я думаю, что вам нужно дать общую карту, чтобы ваш ответ действительно имел смысл.
@tparker Я добавил общую карту, так как это определенно правильно. Однако я хочу добавить еще один комментарий. Позволять ЧАС ∼ — пространство физических (т. е. нормированных) состояний. Действительно имеет смысл обсудить, является ли карта Икс ^ : ЧАС ∼ → ЧАС является линейным: требуется, чтобы Икс ^ ( α ф 1 + β ф 2 ) "=" α Икс ^ ( ф 1 ) + β Икс ^ ( ф 2 ) для | α | 2 + | β | 2 "=" 1 . Нарушение этого условия является здесь решающим моментом. Если оно выполнено, карта может быть тривиально расширена до линейной карты ЧАС → ЧАС добавлением коэффициента нормализации.
Это верно с математической точки зрения, но требование, чтобы каждое состояние проходило через нормализованную стадию, прежде чем можно будет взять линейные комбинации, очень громоздко, если мы представляем теорию, альтернативную квантовой механике, в которой эволюция во времени неунитарна. Могут быть некоторые неоднозначности порядка операций в отношении того, нормализуете ли вы до или после принятия линейных комбинаций, я не думал об этом много. Мне просто кажется, что если эволюция времени неунитарна, то нам нужно немного осторожнее относиться к отождествлению «физического» и «нормализованного».
При неунитарной временной эволюции кажется гораздо более естественным оставить состояние ненормированным и перенести шаг нормализации на извлечение наблюдаемых: ⟨ О ⟩ "=" ⟨ ψ | О | ψ ⟩ ⟨ ψ | ψ ⟩ . В любом случае, это более естественная концептуализация в КТП и при рассмотрении состояния как (уникального) элемента проективного гильбертова пространства, а не (неуникального) элемента гильбертова пространства.
Можно ли любой линейный, но неунитарный «оператор эволюции времени» нормализовать до унитарного?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v