Невырожденность собственных значений числового оператора для простого гармонического осциллятора [дубликат]

Возможный дубликат:
доказательство того, что одномерный простой гармонический осциллятор невырожден?

Я пытаюсь убедить себя, что собственные значения н оператора номера Н "=" а † а для квантового простого гармонического осциллятора невырождены.

Я не вижу способа сделать это, учитывая операторную алгебру для операторов создания и уничтожения. Есть ли простой способ показать это, или это зависит от чего-то более глубокого? Я был бы признателен за любой подробный аргумент или понимание! Спасибо заранее.

Вы знаете, что Фок утверждает | н ⟩ генерируется путем применения оператора создания н время в вакууме имеет разную энергию, поэтому, если вы можете показать, что эти состояния образуют полную основу, тогда все готово.
@MarkMitchison: я немного заржавел в своей фундаментальной квантовой механике - не могли бы вы рассказать об актуальности полиномов Эрмита (возможно, в контексте полного ответа). Большое спасибо!
Полиномы Эрмита — это волновые функции, соответствующие собственным состояниям гармонического осциллятора. Вы можете найти их рекурсивно из основного состояния, используя операторы создания и уничтожения в представлении положения. Например, вакуумное (основное) состояние определяется выражением
а ^ | 0 ⟩ "=" м ю 2 ℏ ( Икс ^ + я м ю п ^ ) | 0 ⟩ "=" 0
⇒ м ю 2 ℏ ( Икс + ℏ м ю ∂ ∂ Икс ) ψ 0 ( Икс ) "=" 0
⇒ ψ 0 ( Икс ) ∼ е − м ю Икс 2 2 ℏ
@MarkMitchison: хорошо, значит, достаточно показать, что размах полиномов Эрмита достаточен, потому что каждый полином Эрмита имеет разные Н собственное значение, и если они охватывают, то не может быть вырождения для любого собственного значения. Но доказательство того, что они охватывают, является стандартным функциональным анализом, так что мы закончили. Я прав? В этом случае ключ переходит к явным волновым функциям в позиционном представлении, поскольку алгебры недостаточно для получения этого результата.
Да, это был мой аргумент. Я не уверен, что правильно говорить, что вы не можете сделать это с помощью алгебры; Кажется, я помню, когда в последний раз делал это с операторами рождения и уничтожения, я мог убедиться, что ничто, кроме состояний Фока, не может быть собственными состояниями гамильтониана SHO. Хотя, возможно, я был ленив... В любом случае, я уверен, что есть способ сделать это, не вызывая позиционное представление: в позиционном представлении нет ничего особенного!
@MarkMitchison: но, безусловно, есть что-то, что вы получаете от перехода к представлению позиции, а именно больше информации о том, как выглядят состояния. Как только мы точно узнаем, что состояния — это полиномы Эрмита, а гильбертово пространство — это пространство нормализуемых волновых функций, тогда мы закончим. Но не дает ли нам это именно позиционное представление? Я полагаю, что импульсное пространство сработает точно так же, но ошибаюсь ли я, думая, что мы получаем информацию, думая о волновых функциях, а не просто о состояниях? Спасибо за вашу помощь!
Да, но вы просто получаете информацию о положении! В импульсном базисе вы получаете информацию о импульсном распределении (волновые функции одинаковы в любом базисе гармонического осциллятора, потому что гамильтониан симметричен относительно Икс ↔ п в соответствующей системе единиц). Основание подойдет любое, должность не имеет особого статуса. В конце концов, лестничные операторы — это всего лишь канонические операторы поворота положения и импульса, так что вы с таким же успехом могли бы перейти к базису когерентного состояния ; гамильтониану все равно, какой базис вы используете.
Однако вы можете иметь мнение, что проецирование на базис дает вам что-то полезное. Моя интуиция подсказывает, что на самом деле это не дает вам ничего большего, чем алгебра, поскольку форма волновых функций позиционного пространства, скажем, в конечном счете зависит от алгебраических соотношений между позиционным оператором и гамильтонианом. Тем не менее, переход к основанию позиции может быть самым быстрым способом сделать это.
Возможный дубликат: physics.stackexchange.com/q/23028/2451 , physics.stackexchange.com/q/39307/2451 и ссылки в них.

Ответы (2)

Отзывать ЧАС ^ "=" ( Н ^ + 1 2 ) и [ а ^ , а ^ † ] "=" 1 (падение ℏ и ю ).

  1. Предположим, что основное состояние | 0 ⟩ является невырожденным. Вы можете доказать это, решив ⟨ Икс | а ^ | 0 ⟩ "=" 0 в представлении позиции, но я не знаю, как это сделать алгебраически. Остальная часть доказательства алгебраическая.

  2. Пусть первое возбужденное состояние к -кратно вырожденный: | 1 я ⟩ , я "=" 1 , … , к , где | 1 я ⟩ ортонормированный. Тогда по алгебре имеем

    а ^ | 1 я ⟩ "=" | 0 ⟩
    и
    а ^ † | 0 ⟩ "=" ∑ я с я | 1 я ⟩
    где ∑ я с я ⋆ с я "=" 1 .

  3. Теперь, чтобы эти состояния были собственными состояниями ЧАС ^ с энергией 3 2 они должны быть собственными значениями Н ^ с собственным значением 1. Для этого требуется

Н ^ | 1 я ⟩ "=" а ^ † а ^ | 1 я ⟩ "=" а ^ † | 0 ⟩ | 1 я ⟩ "=" ∑ Дж с Дж | 1 Дж ⟩

Это должно соблюдаться для всех я , что сразу приводит к противоречию (отсутствие решения для с я ) пока не к "=" 1 .

Индукция доказывает невырожденность высших состояний.

Я не просто использую здесь алгебру операторов, поэтому вы, вероятно, уже знаете следующее, но на всякий случай это поможет:

  1. Собственные состояния числового оператора являются собственными состояниями гамильтониана, поскольку ЧАС ^ "=" ℏ ю ( Н ^ + 1 2 ) .
  2. Связанные состояния в одном измерении невырождены ( условия см., например, на http://arxiv.org/abs/0706.1135 ). Доказательство, приведенное в этой ссылке, основано на выборе двух связанных состояний с одинаковой энергией и использовании уравнения Шредингера, чтобы легко показать, что вронскиан Вт "=" ψ 2 ψ 1 ′ − ψ 1 ψ 2 ′ постоянно. Оценивая Вт в ∞ , константа должна быть равна нулю (с условиями), так что состояния должны быть пропорциональны и, следовательно, одинаковы после нормализации.
Невырожденность собственных значений числового оператора для простого гармонического осциллятора [дубликат]
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v