Почему бы не отбросить ℏω/2ℏω/2\hbar\omega/2 из энергии квантового гармонического осциллятора?

Это зависит от того, что вы делаете, и действительно, большая часть литературы по квантовой оптике игнорирует этот термин, поскольку он не влияет на динамику. Однако важно, чтобы начинающие ученики сформировали интуицию о том, как и где появляются энергии нулевой точки и почему они необходимы.

Взгляните на собственные функции гармонического осциллятора в позиционном пространстве:

Обратите внимание, в частности, на поведение в классических поворотных точках, где базовые линии пересекают потенциал. Это точки перегиба волновых функций, где колебательное поведение переходит в экспоненциальное затухание. Даже для основного состояния эти две точки должны быть пространственно разделены, чтобы позволить экспоненциальному спаду слева превратиться в убывающую функцию и совпасть с экспоненциальным спадом справа, а для того, чтобы эти две точки были разделены, энергия основное состояние должно быть отделено от дна скважины. В этом суть энергии нулевой точки, и пока вы не усвоите все следствия «классически разрешенного» и «классически запрещенного» для волновой функции, лучше прямо напоминать, что она существует.

С другой стороны, как только вы это сделаете, нет смысла таскать с собой этот термин. Если вы немного углубитесь в литературу, вы увидите, что люди начинают опускать этот термин там, где он не важен. Некоторые примеры:

• Модель Джейнса-Каммингса ,

• Модель Дике (например, уравнение 6),

• Модель Джейнса-Каммингса-Хаббарда ,

и многие, многие другие. Чтобы лучше понять, что люди на самом деле используют в литературе, я бы порекомендовал поискать «квантовый гармонический осциллятор» на arXiv . Это откроет много статей, которые вы не поймете, но не так сложно отбросить те, в которых нет гамильтонианов QHO, и отличить те, которые используют гамильтонианы формы$\tfrac1{2m}p^2+\tfrac12 m\omega^2 x^2$из тех, кто использует форму$\hbar\omega a^\dagger a$.

Также стоит отметить, что вы не можете всегда отбрасывать термин. В частности, в квантовой теории поля вы часто сталкиваетесь с системой, представляющей собой бесконечный набор гармонических осцилляторов, для которых энергия вакуума требует осторожного обращения. С другой стороны, энергии нулевой точки могут иметь измеримые эффекты, например, через эффект Казимира , и в этом случае вы, очевидно, не можете пренебречь им.

Рассмотрим потенциал, который приблизительно можно описать двумя гармоническими осцилляторами с разными базовыми частотами, например (работающими в безразмерных единицах)

Это будет выглядеть

Теперь давайте посмотрим на два низших энергетических состояния гамильтониана

принимая за определенность$m=50$, так что самые низкие энергетические состояния являются достаточно глубокими. Теперь можно показать, что в начале осциллятора слева он находится

Если два нижних уровня достаточно глубоки, чтобы их волновые функции не перекрывались, то мы можем аппроксимировать их как собственные состояния каждого из гармонических осцилляторов.$U_L$а также$U_R$. Посмотрите, как выглядят эти два состояния:

Вы хотели удалить ноль полной энергии, сдвинув потенциал. Конечно, вы можете сделать это для одного осциллятора. Но теперь вам нужно выбрать, какой из них использовать. И если вы выберете некоторые из них, вы все равно получите энергию нулевой точки для других.

Таким образом, этот трюк не очень полезен. Он просто пытается скрыть существенную особенность квантового гармонического осциллятора и квантовых состояний в целом: в связанных состояниях существует нижний предел энергии, который не может быть преодолен квантовой системой, хотя классически энергия могла бы быть ниже.

Энергия нулевой точки - это разница между минимальной полной энергией и инфимумом потенциальной энергии. Его нельзя «отбросить», сдвинув потенциальную энергию.

Я не согласен с тем, что:

Поскольку энергию всегда можно сдвинуть на постоянную величину, ничего не меняя,

Возможно, вы имеете в виду классическую потенциальную энергию, но масса протона фиксирована, например, его нельзя сдвинуть на постоянную величину, а в состоянии покоя$E=mc^2$. Это утверждение не является общим и может быть верным только для решений нерелятивистских уравнений.

Изменить после комментариев:

После комментариев я понял, что речь идет об изменении нуля энергии, которое не повлияло бы на уровни энергии, а на ось y потенциала , которая приобрела бы отрицательную нижнюю точку, так что первый уровень энергии находится на 0.

Это изменение приведет только к общему фазовому коэффициенту (см. ответ dextercioby) в решениях, зависящих от времени.

Гармонический осциллятор является очень полезным квантово-механическим решением, потому что все симметричные потенциалы имеют в качестве первого члена в своем ряду x**2. Таким образом, он широко используется в большинстве проблем тела в химии и не только для моделирования различных коллективных потенциалов, возникающих в решетках.

Причина тогда в простоте и эстетике, чтобы не вводить дополнительную сложность в форму потенциала, чтобы общее уравнение описывалось простейшей функциональной формой потенциала, x**2.