Почему энергия волны пропорциональна квадрату амплитуды?

В общем случае неверно, что энергия волны всегда пропорциональна квадрату ее амплитуды, но есть веские основания ожидать, что это верно в большинстве случаев, в пределе малых амплитуд. Это следует просто из разложения энергии в ряд Тейлора,$E=a_0+a_1 A+a_2 A^2+\ldots$Мы можем взять$a_0$быть равным нулю, поскольку он просто представлял бы некоторую потенциальную энергию, уже присутствующую в среде, когда не было возбуждения волны. $a_1$член должен исчезнуть, потому что в противном случае он доминировал бы над суммой при достаточно малых значениях$A$, и тогда у вас могут быть волны с отрицательной энергией для правильно выбранного признака$A$. Это означает, что первый неисчезающий член должен быть$A^2$. Поскольку мы не ожидаем, что энергия волны будет зависеть от фазы, мы ожидаем, что должны встречаться только четные члены,$E=a_2A^2+a_4A^4+\ldots$Так что только в пределе малых амплитуд мы ожидаем$E\propto A^2$.

Другая проблема, которую следует рассмотреть, заключается в том, что мы должны были предположить, что$E$была достаточно гладкой функцией$A$чтобы его можно было вычислить с помощью ряда Тейлора. Это не должно быть правдой в целом. В качестве простого примера, включающего колеблющуюся частицу, а не волну, рассмотрим точечную частицу в гравитационном поле, упруго подпрыгивающую вверх и вниз по негибкому полу. Если мы определим амплитуду как высоту отскока, то мы имеем$E \propto |A|$. Но реальный мяч деформируется, поэтому предел малой амплитуды состоит в том, что мяч вибрирует, оставаясь в контакте с полом, и мы восстанавливаем$E\propto A^2$.

Вы также можете привести примеры, где$a_2$обращается в нуль, а первый неисчезающий коэффициент равен$a_4$.

Это просто синусоида. Если частота постоянна, то скорость при пересечении нуля пропорциональна амплитуде, а энергия пропорциональна квадрату скорости.

Добавлено в ответ на комментарий:

Вам нужна более простая модель, например, одномерная масса на пружине (или маятник с малым углом). Его положение x — это синусоида определенной частоты (вы можете вычислить частоту, чтобы получить ее). Его максимум x в одном направлении является его амплитудой a . Его скорость v равна dx/dt , что на 90 градусов не совпадает по фазе с x . В центре его качания x = 0 , а v = max. Тогда ясно, что если вы удвоите a , то за одно и то же время он будет качаться в два раза дальше, поэтому v будет удвоено. Я уверен, что вы получили это.

Теперь ваш вопрос: почему энергия$E$равный$mv^2/2$, т.е. пропорционально$v^2$? Ну, это базовое уравнение, но позвольте мне посмотреть, смогу ли я ответить на него в любом случае.

Если вы сбрасываете вес w с высоты h , он имеет начальную потенциальную энергию wh , которая преобразуется в кинетическую энергию, когда он достигает пола со скоростью v . Если он падает под действием постоянной силы тяжести, то расстояние, на которое он падает за данное время t , равно$gt^2/2$(интеграл скорости по времени), а скорость после этого времени равна$v = gt$. Итак, если вы хотите удвоить скорость, которую он имеет на полу, вам нужно удвоить$t$, Правильно? А если удвоить$t$, вы собираетесь увеличить высоту в четыре раза. Это увеличивает энергию в четыре раза. Я надеюсь, что это отвечает на вопрос.

Просто придумал другое объяснение. Если у вас есть пружина, сила которой$f$является$kx$куда$x$- смещение конца пружины, а$k$является его жесткость. Поскольку энергия (работа) является интегралом$fdx$, энергия$E$сохраняется весной, как функция$x$является$kx^2/2$. Итак, вот ваше соотношение энергия-амплитуда.

Вы правы, уравнение обобщается на более высокие измерения. Уравнение, которое вы дали, это просто сумма различных форм энергии. В уравнении

Первый член в правой части представляет собой кинетическую энергию, а второй член представляет собой упругую потенциальную энергию. Как сказал Майк, кинетическая энергия просто$p^2 / 2m$. Потенциальная энергия упругости в любом месте струны определяется суммированием всех сил, которые потребовались, чтобы доставить этот кусок туда (согласно закону Гука ); то есть

Тогда полная энергия представляет собой просто сумму кинетической и потенциальной энергий с соответствующей модификацией с использованием массы массы, умноженной на бесконечно малую длину в качестве массы.

Когда вы переходите в более высокие измерения, вы должны учитывать это в кинетической и потенциальной энергиях. Кинетическая энергия части поверхности равна квадрату импульса этой части ($mv$), деленное на массу этой порции. Потенциальная энергия представляет собой жесткость мембраны, деленную на 2 и умноженную на квадрат смещения от нуля.

Количество энергии в волне связано с ее амплитудой. Землетрясения большой амплитуды вызывают большие смещения грунта. Громкие звуки имеют более высокие амплитуды давления и исходят от вибраций источника большей амплитуды, чем тихие звуки. Большие океанские буруны взбивают берег больше, чем маленькие. В количественном отношении волна представляет собой смещение, которому противодействует восстанавливающая сила. Чем больше смещение$x$, тем больше сила$F = kx$необходимо для его создания. Потому что работа$W$относится к силе, умноженной на расстояние ($Fx$) и энергия вкладывается в волну за счет работы, проделанной для ее создания, энергия в волне связана с амплитудой. На самом деле энергия волны прямо пропорциональна квадрату ее амплитуды, потому что$W\propto Fx = kx^2$.

Я нашел этот отрывок чрезвычайно полезным.