Фон

Позволять$\tau$быть напряжением и$\mu$— линейная плотность массы (т. е. масса на единицу длины), тогда волновое уравнение для струны имеет вид:

$$\partial_{tt} \psi \left(x,t\right) - \frac{ \tau }{ \mu } \partial_{xx} \psi \left(x,t\right) = 0 \tag{0}$$ куда $\partial_{jj} \equiv \partial^{2}/\partial j^{2}$а также $\psi \left(x,t\right)$является общим решением этого уравнения, называемого волновым уравнением .

Это имеет простое решение в виде:

$$\psi \left(x,t\right) = A \ e^{i \left( \pm \mathbf{k} \cdot \mathbf{x} \pm \omega t \right)} \tag{1}$$ куда $A$- некоторая амплитуда, а фазовая скорость волны определяется выражением: $$\frac{\omega}{k} = \sqrt{\frac{ \tau }{ \mu }} \equiv C \tag{2}$$

Мы хотим найти решения вида$f\left( x - C \ t \right)$, но это работает только для недисперсионных волн и не работает для нелинейных волн . Другими словами, решение применимо, когда фазовая скорость волны равна$C$= константа.

Отражение и передача

Во-первых, предположим$\tau$равномерно по всей струне, чтобы избежать любого нежелательного ускорения. Далее определим общую форму:

$$\psi_{j} \left(x,t\right) = f_{j} \left(x - v_{j} t\right) = f_{j} \left(t - \frac{x}{v_{j}} \right) \tag{3}$$ где индекс $j$знак равно $i$за инцидент, $r$для отражения и $t$для прошедших волн. Теперь предположим, что есть некоторая граница в $x$= 0 и что наша струна имеет разную плотность массы с обеих сторон. Давайте определим $\mu_{1}$для региона 1 (- $\infty < x < 0$) а также $\mu_{2}$для региона 2 ( $0 < x < \infty$). Тогда у нас есть: $$\begin{align} v_{1} & = \sqrt{\frac{ \tau }{ \mu_{1} }} \tag{4a} \\ v_{2} & = \sqrt{\frac{ \tau }{ \mu_{2} }} \tag{4b} \end{align}$$

Обратите внимание, что отраженная волна,$\psi_{r} \left(x,t\right)$, будет отрицательным$v_{r}$и, следовательно, положительный знак в выражении для$f$. Поскольку волны линейны, мы можем просто записать их как линейную суперпозицию двух волн для области 1. Тогда мы имеем:

$$\begin{align} \psi_{1} \left(x,t\right) = \psi_{i} \left(x,t\right) + \psi_{r} \left(x,t\right) = f_{i} \left(t - \frac{x}{v_{1}} \right) + f_{r} \left(t + \frac{x}{v_{1}} \right) \tag{5a} \\ \psi_{2} \left(x,t\right) = \psi_{t} \left(x,t\right) = f_{t} \left(t - \frac{x}{v_{2}} \right) \tag{5b} \end{align}$$

Граничные условия

Необходимо выполнить два граничных условия (BC):

1. Строка непрерывна
2. Наклон струны непрерывен

Их можно записать математически как:

$$\begin{align} \psi_{1} \left(0,t\right) & = \psi_{2} \left(0,t\right) \tag{6a} \\ \partial_{x} \psi_{1} \left(x,t\right) \vert_{x = 0} & = \partial_{x} \psi_{2} \left(x,t\right) \vert_{x = 0} \tag{6b} \end{align}$$ где эти уравнения можно переписать в терминах $f_{j}$(и интегрирование второго), чтобы найти: $$\begin{align} f_{i} \left(t - \frac{x}{v_{1}} \right) + f_{r} \left(t + \frac{x}{v_{1}} \right) & = f_{t} \left(t - \frac{x}{v_{2}} \right) \tag{7a} \\ v_{2} \left[ \ f_{i} \left(t\right) - f_{r} \left(t\right) \right] & = v_{1} f_{t} \left(t\right) \tag{7b} \end{align}$$ Мы можем решить эти два уравнения относительно $f_{r}$а также $f_{t}$с точки зрения $f_{i}$найти: $$\begin{align} f_{r} & = \left( \frac{ v_{2} - v_{1} }{ v_{1} + v_{2} } \right) \ f_{i} \tag{8a} \\ f_{t} & = \left( \frac{ 2 \ v_{2} }{ v_{1} + v_{2} } \right) \ f_{i} \tag{8b} \end{align}$$

Коэффициенты/амплитуды

Из последних двух уравнений видно, что амплитуды отраженных ($R$) и переданный ($T$) волны задаются:

$$\begin{align} R & = \left( \frac{ v_{2} - v_{1} }{ v_{1} + v_{2} } \right) = \left( \frac{ \sqrt{ \mu_{1} } - \sqrt{ \mu_{2} } }{ \sqrt{ \mu_{1} } + \sqrt{ \mu_{2} } } \right) \tag{9a} \\ T & = \left( \frac{ 2 \ v_{2} }{ v_{1} + v_{2} } \right) = \left( \frac{ 2 \ \sqrt{ \mu_{1} } }{ \sqrt{ \mu_{1} } + \sqrt{ \mu_{2} } } \right) \tag{9b} \end{align}$$

Безмассовое кольцо

Безмассовое кольцо ¹ на одном конце струны ² рассматривается как форма импеданса . Поскольку кольцо не имеет массы, мы требуем, чтобы результирующая поперечная (т. е. ортогональная направлению распространения волны, скажем, вдоль x/горизонтального направления) сила была равна нулю. Конечная поперечная сила привела бы к бесконечному ускорению. Единственная разница в этом случае заключается в том, что нам нужно использовать неравномерное натяжение. Итак, мы просто следуем тем же шагам, что и выше, но используем$\tau_{j}$для региона$j$и так имеем:

$$\begin{align} \tau_{1} \ \sin{\theta_{1}} & = \tau_{2} \ \sin{\theta_{2}} \tag{10a} \\ \tau_{1} \ \partial_{x} \psi_{1} \left(x,t\right) \vert_{x = 0} & = \tau_{2} \ \partial_{x} \psi_{2} \left(x,t\right) \vert_{x = 0} \tag{10b} \end{align}$$ где углы, $\theta_{j}$, относятся к х/горизонтальному направлению. Мы можем определить импеданс как $Z_{j} = \tau_{j}/v_{j} = \sqrt{ \tau_{j} \ \mu_{j} }$, что позволяет нам переопределить отражение ( $R$) и передачи ( $T$) коэффициенты как: $$\begin{align} R & = \left( \frac{ Z_{1} - Z_{2} }{ Z_{1} + Z_{2} } \right) \tag{11a} \\ T & = \left( \frac{ 2 \ Z_{1} }{ Z_{1} + Z_{2} } \right) \tag{11b} \end{align}$$

Массивное кольцо

В отличие от безмассового кольца, массивное кольцо требует изменения BC, так как теперь нам нужно включить законы Ньютона. Мы можем предположить, что струна прикладывает силу, а массивное кольцо испытывает ускорение, что позволяет нам написать:

$$\begin{align} F & = \tau \partial_{x} \psi \left(x,t\right) \tag{12a} \\ m \ a & = m \ \partial_{tt} \psi \left(x,t\right) \tag{12b} \end{align}$$ Обратите внимание, что $F$в уравнении 12а — вертикальная сила, действующая на кольцо из-за натяжения струны, $m$в уравнении 12b — масса кольца, а $a$в уравнении 12b — ускорение кольца ³ .

Мы видим, что в пределе как$m \rightarrow 0$у нас есть$\partial_{x} \psi \rightarrow 0$, таким образом, сила равна нулю, что необходимо для безмассовой системы. Мы также видим, что как$m \rightarrow \infty$у нас есть$\partial_{tt} \psi \rightarrow 0$, что подразумевает постоянную скорость для массивного кольца (т. е. здесь она будет равна нулю, поскольку начальное условие состоит в том, что оно начинается из состояния покоя).

Граничные примеры

Теперь мы можем привести несколько полезных примеров:

• Единая строка:$\mu_{1} = \mu_{2}$или же$v_{1} = v_{2}$
  • $R$= 0 и$T$= 1
• Твердая (бесконечная?) Стена в$x = 0$:$\mu_{2} \rightarrow \infty$или же$v_{2} = 0$
  • $R$= -1 и$T$= 0
• Строка нулевой массы для$x > 0$:$\mu_{2} \rightarrow 0$или же$v_{2} = \infty$
  • $R$= 1 и$T$= 2
• Безмассовое кольцо на вертикальном полюсе без трения на$x = 0$:$\tau_{2} = 0$ $\rightarrow$ $Z_{2} = 0$
  • $R$= 1 и$T$= 2
• Массивное кольцо на вертикальном столбе без трения в$x = 0$:
  • $\lim_{m \rightarrow 0} \ \partial_{x} \psi = 0$ $\Rightarrow$ $R$= 1 и$T$= 2
  • $\lim_{m \rightarrow \infty} \ \partial_{tt} \psi = 0$ $\Rightarrow$ $R$= -1 и$T$= 0

Сноски

1. Кольцо должно быть безмассовым, чтобы поддерживать граничные условия, не требуя для этого бесконечной силы. Это происходит потому, что мы требуем непрерывности наклона и натяжения на стыке. Конечная масса также привела бы к$Z_{2} \neq 0$, так как это будет действовать как второе напряжение.
2. Предположим, что кольцо находится на вертикальном стержне без трения.
3. В стороне следует отметить, что BC и дифференциальные уравнения являются основными составляющими задачи. Это важно, потому что правило суперпозиции не использовалось в уравнениях 12a и 12b, в отличие от подхода, использованного в предыдущих разделах. Использование суперпозиции — это лишь один из многих возможных методов, которые можно использовать для решения дифференциальных уравнений, но он не является обязательным и может не применяться в некоторых обстоятельствах. То есть BC и дифференциальные уравнения существуют независимо от того, можно ли применить правило суперпозиции.

использованная литература

• French, AP (1971), Vibrations and Waves , New York, NY: WW Norton & Company, Inc.; ISBN: 0-393-09936-9.
• Уитэм, Великобритания (1999), Линейные и нелинейные волны , Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc.; ISBN: 0-471-35942-4.

Я нашел в сети хорошее объяснение своего вопроса, поэтому делюсь им на тот случай, если кому-то еще нужен ответ. Обратите внимание, что вопрос о том, «почему оно достигает двойной амплитуды», остается, а также новая проблема о том, почему в ответе говорится, что кольцо имеет импульс (потому что оно безмассовое):

Конец неподвижной струны, рисунок (а), прикреплен к кольцу, которое может свободно перемещаться в вертикальном направлении на полюсе без трения. Импульс теперь передается по струне на рисунке (b). Рассмотрим силы на струне, исходящие от импульса, то есть пренебрежем гравитационными силами на струне. Стрелки вверх и вниз на импульсе представляют силы, направленные вверх и вниз, соответственно, на частицы струны. Импульс распространяется вправо на рисунке (c) и достигает кольца на рисунке (d). Сила, направленная вверх, распространяющаяся вправо, заставляет кольцо на конце струны двигаться вверх. Теперь кольцо поднимается на высоту импульса, когда центр импульса достигает кольца, рисунок (e). Хотя на кольцо не действует дополнительная сила вверх, кольцо продолжает двигаться вверх благодаря своему импульсу. Мы также можем рассмотреть это с энергетической точки зрения. В месте вершины импульса кольцо имеет кинетическую энергию вверх. Кольцо продолжается вверх до тех пор, пока эта кинетическая энергия не будет потеряна. По мере того, как кольцо движется вверх, оно теперь тянет за собой струну вверх, в конечном итоге преодолевая силы, направленные вниз в задней части импульса, пока на струну слева от кольца не будет действовать чистая сила, направленная вверх, рисунок (f). Эта направленная вверх сила теперь распространяется по струне влево, притягивая каждую соседнюю частицу слева вверх. Поскольку кольцо тянет струну вверх, по третьему закону Ньютона струна также тянет кольцо вниз, и кольцо в конечном итоге начинает опускаться, рисунок (g). Когда кольцо движется вниз, оно действует на струну с силой, направленной вниз. как показано стрелками на рисунке (h). Силы вверх и вниз распространяются влево в виде импульса, показанного на рисунке (i). Конечным результатом взаимодействия импульса вправо с подвижным кольцом является отраженный импульс того же размера и формы, который теперь движется влево с той же скоростью распространения. Входящий импульс был направлен вверх, и отраженный импульс также направлен вверх. Подвижное кольцо на конце струны действует как рука, двигаясь вверх и вниз, создавая пульс. и отраженный импульс тоже правая сторона вверх. Подвижное кольцо на конце струны действует как рука, двигаясь вверх и вниз, создавая пульс. и отраженный импульс тоже правая сторона вверх. Подвижное кольцо на конце струны действует как рука, двигаясь вверх и вниз, создавая пульс.

Обратите внимание, что лучший способ понять это поведение — рассмотреть простейший случай «полуимпульса». Сгенерируйте импульс, просто переместив струну вверх в каком-то положении и дав ему распространиться на свободный конец (посмотрите на его поведение), а затем через какое-то время опустите струну в исходное положение. Это будет похоже на очень длинный импульс, однако вы можете увидеть, что происходит, если сложить вместе силы в каждой части импульса, следующие за их соответствующими отражениями от свободного конца.

Кроме того, вот симуляция, так что вы все можете сделать очень длинный импульс и увидеть все это в действии.
https://phet.colorado.edu/sims/html/wave-on-a-string/latest/wave-on-a-string_en.html

Этот вопрос очень широк, поэтому я постараюсь ответить только на его части.

Почему у нас вообще есть отражение? Импеданс струны является ключевым. Волна на струне достигает точки с разрывом импеданса, поэтому происходит отражение. В вашем случае есть отражение от «границы нулевого импеданса». Противоположный пример из учебника - это отражение от «границы с бесконечным импедансом». Конечно, есть промежуточные случаи, например (теоретически) окончание струны на поршне с таким же импедансом, как у струны. Таким образом, волна на струне все еще будет «бегущей».

Интуиция в этом случае: количество энергии, переносимой струной, делится на смещение (т. е. кинетическую энергию) и натяжение (т. е. потенциальную энергию). На предложенном несвязанном конце нет фактора, который мог бы вызвать увеличение напряжения и, следовательно, (из-за сохранения энергии) приводит к большему смещению.

Почему для открытого конца отраженная волна является положительной волной, а для закрытого конца отраженная волна является отрицательной волной? Может быть, этот встречный вопрос может помочь вам понять это интуитивно: что может быть фактором или агентом, поворачивающим амплитуду в противоположном направлении? Ибо «бесконечное окончание импеданса» есть что-то вроде настоящего: импеданса. Но для "нулевого импеданса"...?

Почему двойная амплитуда при отражении? Попробуйте смоделировать это (мысленно или численно). Что случилось. Волна падает, но в то же время отражается. Следовательно, это сумма обеих волн, и в бесконечно малом интервале времени, когда максимум достигает границы, амплитуды падающей и отражающей волн одинаковы, и поэтому сумма равна максимальной амплитуде, умноженной на два.

Рекомендация по источникам: я настоятельно рекомендую книгу Яна Г. Мейна « Вибрации и волны в физике » для большей интуиции и дальнейшего обсуждения.

Давайте начнем с уже имеющейся у вас интуиции для волны, бегущей по непрерывной струне. Поперечное движение является результатом натяжения с обеих сторон: одна, откуда идет возбуждение (или волновой пакет), тянет за собой кусок струны во фронте волны наружу, а другая, где волна только вот-вот прибудет, сопротивляется этому движению, все еще находясь в покое. Подобные, но противоположные силы уравновешиваются таким образом, что возбуждение продолжает двигаться вперед, оставляя любой кусок струны в состоянии покоя после того, как он пройдет этот кусок.

Если вы уберете сторону, в которую движется волна, вы получите большую амплитуду, потому что эта половина, в противном случае сопротивляющаяся поперечному движению, отсутствует. Другая половина, откуда прибыл волновой пакет, будет, следовательно, притягиваться дальше, чем было бы достаточно, чтобы просто прекратить свое движение после того, как волновой пакет пройдет ее, если бы он находился в середине струны. Итак, у вас есть новое возбуждение, в котором самый конец вашей строки воздействует на соседние биты той же самой строки: есть новая волна, которая возвращается назад.

Если вы понимаете, что идеальная струна для таких волн будет абсолютно эластичной и, следовательно, будет сохранять механическую энергию, вы также можете утверждать, что энергия, переносимая вашим волновым пакетом, должна продолжать существовать в той или иной форме. На мгновение натянутая струна с открытым концом естественным образом отскочит, образуя новую волну (или, если хотите, отражение старой).

это модифицированный отрывок из моего ответа о стоячих волнах на сайте: https://electronics.stackexchange.com/questions/171723/confused-regarding-standing-waves-on-transmission-line Амплитуда в конце без нагрузки будет быть в два раза больше, чем входной конец, так как впереди внезапно не остается строки для его загрузки, поэтому он выходит за рамки. Именно так он отражает волну обратно от разомкнутой цепи. Вы можете увидеть то же самое, повесив веревку и ударив по ней, чтобы послать импульс вниз. Конец поднимается вверх, натягивая конец струны, посылая положительную волну обратно.

Чтобы понять линию с коротким замыканием на конце, посмотрите, как птица садится на кабель питания, ведущий к вашему дому. Сначала он толкает кабель вперед, затем волна проходит к опоре электропередач, и кабель качается, как гитарная струна, посылая волну назад в виде отрицательной волны, тряся птицу назад, а затем вперед, когда волна отражается от нее. дом и возвращается как положительная волна. Примерно каждые 2 секунды вы будете видеть, как птица трясется вперед и назад, когда волна отскакивает от каждого конца. Точно так же в короткозамкнутой линии, когда волна или импульс доходят до конца, ток переходит к другому проводнику, посылая обратно волну противоположной фазы или импульс противоположной полярности. Надеюсь, эта аналогия облегчит понимание.