Логарифм операторов в квантовой механике

В алгебре операторов А можно рассмотреть самосопряженный (т.е. вещественный) оператор ЧАС и обратите внимание, что

U "=" е я ЧАС
существует и является единым. Математический вопрос будет заключаться в том, будет ли любой унитарный оператор U имеет эту форму. Ибо есть даже примеры, когда Икс , Д являются самосопряженными и Икс Д ≠ Д Икс и
е я Икс е я Д ≠ е я ( Икс + Д ) .
Я хотел бы знать, какую информацию можно вывести для U зная, что существует логарифм
ЧАС "=" 1 я бревно ⁡ U ,
и какие конкретные приложения в QM для этого.

Можете ли вы привести пример, где е я Икс е я Д ≠ е я ( Икс + Д ) ? Мне любопытно.
@infinitezero е я α л г е я β л у ?
@infinitezero Вся квантовая теория основана на этом простом неравенстве. Операторам не обязательно ездить на работу. См. en.wikipedia.org/wiki/…
Эх, да, конечно, я там просто напился.

Ответы (2)

Теорема Стоуна доказывает следующее. Рассмотрим группу унитарных операторов ( U ( т ) ) т е р действующий в гильбертовом пространстве ЧАС (т.е. удовлетворяющий U ( т + с ) "=" U ( т ) U ( с ) , в более математических терминах это унитарное представление абелевой группы р на ЧАС ). Если к тому же такая группа сильно непрерывна, а именно такова, что для всех ψ е ЧАС

лим т → 0 ‖ U ( т ) ψ − ψ ‖ ЧАС "=" 0 ,
то существует самосопряженный оператор ЧАС определено на Д ( ЧАС ) ⊆ ЧАС порождающая динамику, т.е. такая, что для всех ψ е Д ( ЧАС )
лим т → 0 ‖ 1 т ( U ( т ) − 1 ) ψ + я ЧАС ψ ‖ ЧАС "=" 0 ,
и для всех ф е ЧАС , U ( т ) ф "=" е − я т ЧАС ф где правая часть определяется спектральной теоремой. Также по спектральной теореме в этом случае «оправданно» писать ЧАС "=" я п ⁡ U ( 1 ) .

Приведенная выше теорема широко используется в квантовой механике, поскольку она связывает квантовый гамильтониан (генератор ЧАС ) к унитарной динамике, которую он порождает (группа U ( т ) ). Существуют способы «логарифмирования» одного унитарного оператора (например, с помощью преобразования Кэли), однако это не очень актуально в физике, поскольку важными объектами являются унитарные представления групп симметрии, а не унитарные операторы как таковые .

Просто замечание по поводу последнего абзаца: преобразование Кэли работает только тогда, когда спектр U не является всей окружностью, и даже в этом случае он может дать неограниченный оператор. Однако логарифмы все еще существуют в произвольной алгебре фон Неймана с помощью функционального исчисления Бореля. Однако в C*-алгебрах их вообще не существует. См. math.stackexchange.com/questions/1578279/… Я согласен, что это в основном не имеет отношения к физике.

Эволюция времени в квантовой механике* представлена ​​действием унитарного оператора U "=" е я ЧАС т , где ЧАС является гамильтонианом рассматриваемой системы. Обычно мы характеризуем (нерелятивистские**) квантовые системы их гамильтонианом; в принципе можно было определить*** гамильтониан системы по оператору временной эволюции U принимая 1 я т бревно ⁡ U . На практике двигаться в этом направлении обычно нецелесообразно с экспериментальной точки зрения, поэтому об этом не часто упоминают.

*В квантовой механике вопрос о том, какие объекты эволюционируют во времени, является вопросом интерпретации. В некоторых случаях легче думать о волновых функциях как о эволюционирующих во времени («картина Шредингера»), в других случаях проще думать об операторах как о эволюционирующих во времени («картина Гейзенберга»), а в третьих случаях это сочетание того и другого, что является самым простым («картина взаимодействия»).

** Гамильтониан не является лоренц-инвариантным, поэтому вы не часто видите его в релятивистской квантовой механике/КТП. С другой стороны, лагранжиан.

*** Журнал не обязательно уникален, поэтому гамильтониан может быть «определен» только с точностью до эквивалента выбора разреза ветви.

Логарифм операторов в квантовой механике
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v