Почему гармонические осцилляторы квантуются? [закрыто]

Для простоты рассмотрим случай, когда$m=\omega=1$(где$m$это масса и$\omega$– частота), так что гамильтониан равен

$$H={P^2\over2}+{Q^2\over 2}$$ Помещать $$A={1\over\sqrt2}(P+iQ)\qquad B={1\over\sqrt2}(P-iQ)$$ так что $$AB=H-\hbar/2\qquad BA=H+\hbar/2$$

Отсюда проверьте, что если$H\phi=\lambda\phi$($\lambda$скаляр) тогда

$$H(A\phi)=(\lambda+\hbar)\phi\qquad H(B\phi)=(\lambda-\hbar)\phi$$

Таким образом, если$\lambda$является собственным значением, поэтому$\lambda+\hbar$(пока не$A\phi=0$) и$\lambda-\hbar$(пока не$B\phi=0$).

Далее проверьте, если$\lambda$является собственным значением, то$\lambda+\hbar/2$неотрицательна и равна нулю тогда и только тогда, когда$A\phi=0$($\phi$соответствующий собственный вектор). (Подсказка: используйте

$$0\le (A\phi,A\phi)=(\phi,BA\phi)$$ и используйте приведенную выше формулу для $BA$). Точно так же проверьте, что если $\lambda$является собственным значением, то $\lambda-\hbar/2$неотрицательна и равна нулю тогда и только тогда, когда $B\phi=0$. (**)

Отсюда легко сделать вывод, что если выбрать любое собственное значение$\lambda$, то каждый

$$\lambda+k\hbar\ge 0$$ также является собственным значением ( $k$целое число), что наименьшее собственное значение равно $\hbar/2$, поэтому каждый $\hbar/2+k\hbar$является собственным значением ( $k$положительное целое число).

Осталось показать, что это единственные собственные значения. Предполагать$\mu$были собственным значением, которого нет в списке, с соответствующим собственным вектором$\psi$. Затем (по (**))$B^k\psi$никогда не равен нулю ($k$положительное целое число), поэтому вы получаете бесконечную убывающую последовательность равномерно расположенных собственных значений, следовательно, отрицательные собственные значения, противоречие.