Всегда ли энергия дискретна?

В аксиомах фон Неймана для квантовой механики первый постулат утверждает, что квантовое состояние является вектором в сепарабельном гильбертовом пространстве. Это означает, что предполагается, что гильбертово пространство имеет базис с не более чем бесконечными счетными элементами (мощностью). Другими словами, он утверждает, что энергия произвольной системы дискретна. Всегда ли это так? Если нет, можете ли вы привести конкретный пример в природе, что ее собственные энергии несчетны?

Это может помочь: физика.stackexchange.com/q/ 65457
Спектр линейных операторов содержит как дискретные, так и непрерывные множества, поэтому собственные значения энергии могут быть дискретными и непрерывными (см. спектр водорода). Как только вы соедините эти системы с вакуумными полями, все спектры, даже линейчатые спектры, станут непрерывными.
@CuriousOne, это на самом деле ловкость рук
@brucesmitherson: Вовсе нет. Одно — важный результат теории линейных операторов, другое — физическая реальность: нет и не может быть систем с бесконечным Q.
Я говорю здесь о «классической» квантовой механике, возможно, я неправильно понял ваш комментарий, но если это так, это будет слишком загадочно для ОП.
@brucesmitherson: Даже в нерелятивистской квантовой механике атомное состояние связано с электромагнитным полем, и из-за третьего закона термодинамики это поле имеет конечную температуру. Вы не можете избежать конечной ширины линии атомных переходов ни в одной из теорий, и уж точно не в реальной феноменологии.
@CuriousOne Видите ли, ваш комментарий был слишком загадочным, я полностью его пропустил. Я полагаю, что мы согласны с тем, что непрерывный спектр нефизичен?
или я слишком много выпил в xsmas
@brucesmitherson: Наоборот: нет дискретных спектров. Однако это хорошее приближение для переходов с очень узкой шириной линии. Как и во всем остальном в физике, вы выбираете приближение, соответствующее точности ваших измерений. Если у вашего спектрографа низкое разрешение, вы увидите линейчатые спектры, а при высоком разрешении вы увидите сплошные линии. В некоторых случаях ширина линии настолько мала, что становится эталоном для всех других измерений времени/частоты, которые мы используем в атомных часах. Эти часы по-прежнему имеют резонаторы с конечной добротностью.
@CuriousOne Тогда я слишком много выпил, завтра проверю :)
@CuriousOne, да. Спектр линейных операторов может быть непрерывным. Можете ли вы привести конкретный пример в «природе», что ее энергия непрерывна?
Энергия свободной частицы непрерывна, как и спектр любого атома, молекулы и т. д. за пределами энергии ионизации. Электроны в металлах занимают практически непрерывный спектр и т. д.
@CuriousOne Сегодня я вижу яснее! хороший момент, я не думал об этом таким образом, однако, похоже, это против любых других ответов (см. предыдущую ссылку). Возможно, вам следует опубликовать его как ответ, чтобы более широкая аудитория могла проголосовать или прокомментировать его.

Ответы (1)

Один контрпример настолько прост, что кажется тривиальным:

Свободная частица имеет полностью непрерывный энергетический спектр, так как гамильтониан ЧАС "=" п 2 2 м имеет [ 0 , ∞ ) как его спектр (это следует непосредственно из п с полностью непрерывным спектром ( − ∞ , ∞ ) . Причина, по которой это не нарушает спектральную теорему/счетность базиса гильбертова пространства, состоит в том, что это ЧАС является неограниченным оператором, а «собственные состояния» | п ⟩ (которые ψ п ( Икс ) "=" е я п Икс в представлении волновой функции положения) не находятся внутри гильбертова пространства (обратите внимание, что ψ п ( Икс ) не интегрируется с квадратом на р чтобы увидеть, что он не находится в каноническом пространстве волновых функций положения л 2 ( р , г Икс ) ). Только волновые пакеты , т. е. интегрируемые с квадратом суперпозиции плоских волн ψ п ( Икс ) , лежат внутри гильбертова пространства состояний.

Фактически, «собственные состояния», принадлежащие непрерывным собственным значениям, никогда не являются «нормализуемыми», ср. этот физ. SE вопрос , и, таким образом, никогда не являются векторами в действительном гильбертовом пространстве, а только в большем пространстве так называемого оснащенного гильбертова пространства , ср. этот вопрос физ.SE

Другим контрпримером может быть атом водорода, в котором энергии выше определенного порога непрерывны и снова являются по существу свободными состояниями.

Спасибо за ваш четкий ответ. Я не понял вашего последнего контрпримера. Энергии атомов водорода дискретны, не так ли?
@KNO: Энергии связанного состояния дискретны. Но существует континуум свободных (или «рассеивающих») состояний (или, скорее, собственных значений, поскольку связанные вещи, строго говоря, не являются пробными состояниями) выше «энергии ионизации», см. этот вопрос физ. SE для введения и далее Рекомендации.
Всегда ли энергия дискретна?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v