Почему импульс и угловой момент АДМ имеют такие определения?

В форме ADM общей теории относительности мы должны применять разложение 3+1 ко всему пространству-времени, и то, как эволюционировать временной срез, является произвольным. Этот произвол отражается на произвольности вектора$(N,N^a)$.

Предположим, что «пространственная координата» частицы фиксирована, и обозначим касательный вектор ее мировой линии как$t^{\alpha}$, имеем (уравнение 4.36 вашего учебника)

$$t^{\alpha} = N n^{\alpha} + N^a e_a^{\alpha}$$ А гамильтониан является генератором эволюции в направлении $t^{\alpha}$.

В асимптотическом плоском пространстве-времени у нас есть асимптотические координаты Минковского$(\bar{t},\bar{x},\bar{y},\bar{z})$. Грубо говоря, для покоящегося наблюдателя на бесконечности его часы$\bar{t}$и его правитель$\bar{x},\bar{y},\bar{z}$. В дальнейшем мы будем обозначать эту координату как$x^{\alpha}$.

Теперь давайте выберем начальный квант времени как$\Sigma_{\bar{t}}$. В этом временном отрезке мы выбираем$y^a$такой же как$\bar{x},\bar{y},\bar{z}$. Итак, на бесконечности, которая является плоской, мы имеем

$$n^{\alpha} = \delta^{\alpha}_{0}, e_a^{\alpha} = \delta^{\alpha}_a.$$ Вектор эволюции теперь становится $$t^{\alpha} = N\delta^{\alpha}_0 + N^a\delta^{\alpha}_a.$$ Если $N = 1$и $N^a = 0$, у нас есть $$t^\alpha = (1,0,0,0)$$ Итак, гамильтониан является генератором эволюции в направлении $\bar{t}$. Это просто энергия всего пространства-времени, по крайней мере, для наблюдателя в бесконечности.

Если$N = 0$и$N^a = \delta^a_b$, у нас есть

$$t^\alpha = \delta^{\alpha}_b$$ Итак, гамильтониан является генератором эволюции в направлении $x^b$. Это просто импульс в направлении $x^b$всего пространства-времени, по крайней мере, для наблюдателя на бесконечности.

Если$N = 0$и$N^a = \phi^a = \frac{\partial y^{a}}{\partial \phi}$, у нас есть

$$t^\alpha = \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial \phi}$$ Например, для вращения в $\bar{z}$направление, у нас есть $$\bar{x} = r\sin\theta\cos\phi, \; \bar{y} = r\sin\theta\sin\phi, \; \bar{z} = r\cos\theta$$ тогда у нас есть $$t^{\alpha} = r\sin\theta(0,-\sin\phi, \cos\phi,0)$$ Итак, гамильтониан является генератором эволюционного вращения вокруг $\bar{z}$. Это просто угловой момент в направлении $\bar{z}$всего пространства-времени, по крайней мере, для наблюдателя на бесконечности.