Почему интеграл действия должен быть стационарным? На каком основании Гамильтон сформулировал этот принцип?

Заметки из первой недели курса Джона Баэза по лагранжевой механике дают некоторое представление о мотивах принципов действия.

Идея состоит в том, что наименьшее действие можно рассматривать как расширение принципа виртуальной работы. Когда объект находится в равновесии, требуется нулевая работа, чтобы произвести на нем сколь угодно малое перемещение, т. е. скалярное произведение любого малого вектора смещения и силы равно нулю (в данном случае, потому что сама сила равна нулю).

Когда объект ускоряется, если мы добавим «силу инерции», равную$\,-ma\,$, то небольшое, произвольное, зависящее от времени смещение от истинной траектории объектов снова будет иметь нулевое скалярное произведение с$\,F-ma,\,$добавлены истинная сила и сила инерции. Это дает

$$(F-ma)\cdot \delta q(t) = 0$$

Отсюда несколько вычислений, найденных в примечаниях, приводят к стационарному интегралу действия.

Баэз больше обсуждает Даламбера, чем Гамильтона, но в любом случае это интересный взгляд на истоки этой идеи.

Существует также подход Фейнмана, т. е. наименьшее действие истинно с классической точки зрения только потому, что оно верно с точки зрения квантовой механики, и классическую физику лучше всего рассматривать как приближение к лежащему в основе квантовому подходу. См. «Тезис Фейнмана — Новый подход к квантовой теории или призыв к действию» Эдвина Ф. Тейлора .

По сути, все это вкратце изложено в книге Ричарда П. Фейнмана «Фейнмановские лекции по физике» (Addison-Wesley, Reading, MA, 1964), Vol. II, гл. 19. (Думаю, поправьте меня, если я ошибаюсь). Основная идея заключается в том, что интеграл действия определяет квантовомеханическую амплитуду положения частицы, а амплитуда устойчива к интерференционным эффектам (--> имеет ненулевую вероятность возникновения) только в экстремумах или седловых точках интеграла действия. Частица действительно вероятностно исследует все альтернативные пути.

Скорее всего, вы все равно захотите прочитать «Лекции Фейнмана по физике», так что можете начать прямо сейчас. :-)

Обычно я рассказываю историю о том, что принцип действия — это еще один способ получить те же дифференциальные уравнения, так что на уровне механики они эквивалентны. Однако, когда дело доходит до квантовой теории поля, описание в терминах интегралов по путям по экспоненциальному действию важно при рассмотрении инстантонных эффектов. Таким образом, в конце концов обнаруживается, что формулировка в терминах действий является более фундаментальной и более физически обоснованной.

Но все же у людей нет «чувства» действия, как у энергии.

Как вы можете видеть на изображении ниже, вы хотите, чтобы вариация интеграла действия была минимальной, поэтому$\displaystyle \frac{\delta S}{\delta q}$должно быть$0$. В противном случае вы не идете по истинному пути между$q_{t_{1}}$и$q_{t_{2}}$но немного более длинный путь. Однако даже следуя$\delta S=0$, как вы знаете, вы можете получить еще один экстремум.

По ссылке от jc можно найти On a General Method on Dynamics , где, вероятно, есть ответ на ваш вопрос относительно рассуждений Гамильтона. Я не читал, но почти наверняка оно того стоит.

Напомним, что уравнения движения с начальными условиями$q(0), (dq/dt)(0)$были выдвинуты первыми, а принцип наименьшего действия был сформулирован позже, в виде последовательности. Несмотря на то, что математически красивый и элегантный принцип наименьшего действия использует некоторое будущее, «граничное» условие$q(t_2)$, что физически неизвестно. Нет принципа наименьшего действия, работающего только с начальными условиями.

При этом подразумевается, что уравнения имеют физические решения. Это так в классической механике, но неверно в классической электродинамике. Таким образом, даже выведенные из формально правильного «принципа», уравнения могут быть ошибочными на физическом и математическом уровне. В этом отношении составление правильных физических уравнений является для физиков более фундаментальной задачей, чем опора на некий «принцип» получения уравнений «автоматически». Именно мы, физики, ответственны за правильность формулировок уравнений.

В CED, QED и QFT приходится «исправлять на ходу» неправильные решения только потому, что физика была угадана и изначально реализована неправильно.

PS Я хотел бы показать, как в действительности система «выбирает» свою траекторию: если при$t = 0$частица имеет импульс$p(t)$, то в следующий раз$t+dt$у него есть импульс$p(t) + F(t)\cdot dt$. Это приращение достаточно локально во времени, оно определяется текущим значением силы$F(t)$поэтому никакие будущие «граничные» условия не могут его определить. Траектория не "выбирается" из виртуальных; он «рисуется» мгновенными значениями силы, координаты и скорости.

Вместо того, чтобы указывать начальное положение и импульс, как мы это делали в формализме Ньютона, давайте переформулируем наш вопрос следующим образом:

Если мы решим указать начальную и конечную позиции:$\textbf{What path does the particle take?}$

Предположим, что мы можем восстановить формализм Ньютона с помощью следующего формализма, так называемого лагранжевого формализма или принципа Гамильтона.

Каждому пути, показанному на рисунке выше, мы присваиваем номер, который мы называем действием.

$$S[\vec{r}(t)] = \int_{t_1}^{t_2}dt \left(\dfrac{1}{2}m\dot{\vec{r}}^2-V(\vec{r})\right)$$

где это подынтегральное выражение представляет собой разницу между кинетической энергией и потенциальной энергией.

$\textbf{Hamilton's principle claims}$: Истинный путь, пройденный частицей, является экстремумом S.

$\textbf{Proof:}$

1. Немного измените путь:

$$\vec{r}(t) \rightarrow \vec{r}(t) +\delta \vec{r}(t)$$

2. Держите конечные точки пути фиксированными:

$$\delta \vec{r}(t_1) = \delta \vec{r}(t_2) = 0$$

3.Возьмите вариант действия$S$:

наконец, вы получите

$$\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left[-m\ddot{\vec{r}} - \nabla V\right] \cdot \delta \vec{r}$$

Условие того, что путь, с которого мы начали, является экстремумом действия,

$$\delta S = 0$$

который должен сохраняться для всех изменений$\delta \vec{r}(t)$что мы делаем на пути. Единственный способ, которым это может произойти, это если выражение в$[\cdots]$равен нулю. Это означает

$$m\ddot{\vec{r}} = -\nabla V$$

Теперь мы признаем это как$\textbf{Newton’s equations}$. Требование, чтобы действие было экстремальным, эквивалентно требованию, чтобы путь подчинялся уравнениям Ньютона.

Для получения более подробной информации вы можете прочитать эту лекцию в формате pdf.

Надеюсь, поможет.

В классической физике можно вывести уравнения Эйлера-Лагранжа из принципа Даламбера без какой-либо ссылки на понятие действия. Они исходят из законов Ньютона с дополнительным предположением, что силы консервативны. В этом случае имеется лагранжиан, а уравнением движения (УДД) является уравнение Эйлера-Лагранжа.

Предположим, что функция q(t) является решением ЭОМ на некотором интервале. q можно разложить в ряд Тейлора, то есть в степенной ряд:$q(t) = \sum_j a_jt^j$.

Действие:$S(L) = \int_{t1}^{t2} Ldt$где L — лагранжиан, соответствующий ЭОМ. Поскольку интеграл находится в$t$, и мы берем производную по коэффициентам$a_j$, он может войти внутрь интеграла. Для каждого$a_j$.

$$\frac{\partial S}{\partial a_j} = \int_{t1}^{t2} \frac{\partial L}{\partial a_j}dt$$

L является функцией$q$и$\dot q$, поэтому применяя цепное правило:

$$\frac{\partial L}{\partial a_j} = \frac{\partial L}{\partial q}\frac{\partial q}{\partial a_j} + \frac{\partial L}{\partial \dot q}\frac{\partial \dot q}{\partial a_j}$$

Интегрируя этот дифференциал между двумя моментами времени:

$$\int_{t1}^{t2}\frac{\partial L}{\partial a_j}dt = \int_{t1}^{t2}\frac{\partial L}{\partial q}\frac{\partial q}{\partial a_j}dt + \int_{t1}^{t2}\frac{\partial L}{\partial \dot q}\frac{\partial \dot q}{\partial a_j}dt$$

Последний член можно разделить с помощью интеграла по частям, используя это дифференцирование по времени:$d\left (\frac{\partial q}{\partial a_j}\right ) = \frac{\partial \dot q}{\partial a_j} dt$:

$$\int_{t1}^{t2}\frac{\partial L}{\partial \dot q}\frac{\partial \dot q}{\partial a_j}dt = \frac{\partial L}{\partial \dot q}\frac{\partial q}{\partial a_j}\bigg|_{t1}^{t2} - \int_{t1}^{t2}\frac {\partial \frac {\partial L}{\partial \dot q}}{\partial t} \frac{\partial q}{\partial a_j}dt$$

Так:

$$\int_{t1}^{t2}\frac{\partial L}{\partial a_j}dt = \int_{t1}^{t2}\frac{\partial L}{\partial q}\frac{\partial q}{\partial a_j}dt - \int_{t1}^{t2}\frac {\partial \frac {\partial L}{\partial \dot q}}{\partial t} \frac{\partial q}{\partial a_j}dt + \frac{\partial L}{\partial \dot q}\frac{\partial q}{\partial a_j}\bigg|_{t1}^{t2}$$

Соединяя интегралы, мы получаем в скобках уравнение Эйлера-Лагранжа, то есть само ЭОМ! Если q является решением по условию, этот интеграл должен быть равен нулю.

$$\int_{t1}^{t2}\frac{\partial L}{\partial a_j}dt = \int_{t1}^{t2}\left (\frac{\partial L}{\partial q} - \frac {\partial \frac {\partial L}{\partial \dot q}}{\partial t} \right) \frac{\partial q}{\partial a_j}dt + \frac{\partial L}{\partial \dot q}\frac{\partial q}{\partial a_j}\bigg|_{t1}^{t2}$$

Для последнего члена интеграл второго порядка требует 2 граничных условий. Если$q(t_1)$и$q(t_2)$известны, они фиксированы и$\frac{\partial q}{\partial a_j}\bigg|_{t1} = \frac{\partial q}{\partial a_j}\bigg|_{t2} = 0 \implies$этот термин исчезает.

Теперь мы приходим к выводу, что производная действия по всем коэффициентам должна быть равна нулю на интервале, что равносильно тому, что действие должно быть стационарным.