Принцип наименьшего действия — странность численного моделирования

Question

Принцип наименьшего действия — странность численного моделирования

действие
Физика
симуляции
лагранж-формализм
вычислительная физика
вариационный принцип

Руслан

Я пытаюсь получить некоторый опыт работы с принципом наименьшего действия, и для этого я выбрал простую одномерную задачу о движении частицы в некотором поле. Тогда принцип наименьшего действия будет выглядеть так:

\int_{т_{1}}^{т_{2}} (Т (в) - U (Икс)) д т "=" мин

$\int_{t_1}^{t_2}(T(v)-U(x))dt=\min$

Поэтому я разбиваю время на несколько точек и пытаюсь минимизировать сумму:

\sum_{я "=" 1}^{н} (Т (в_{я}) - U ({Икс}_{я})) Δ т .

$\sum_{i=1}^n (T(v_i)-U(x_i))\Delta t.$

Но я получаю странные результаты: во-первых, если я не налагаю ограничений на систему, сумма оказывается неограниченной снизу. Что ж, это понятно, ведь может быть несколько решений, соответствующих разным начальным/граничным условиям. Хорошо, я выбираю некоторые значения для $x_1$ и $x_n$ как ограничения. Но даже сумма оказывается неограниченной. Ну, тогда я решил уменьшить возможный диапазон $x_i$ , и сумму, наконец, можно минимизировать...

Но в результате получается полная ерунда. Вот результат для $n=10$ , $t_1=0$ , $t_2=1$ , $|x_i|<5$ :

Позиции

введите описание изображения здесь

Скорости

введите описание изображения здесь

Здесь скорости, похоже, не отражают изменения позиций.

Что мне здесь не хватает? Должен ли я добавить некоторые другие ограничения, или я сделал какую-то простую ошибку?

адипы

Предположительно T(v) является обычным квадратичным

\frac{1}{2} m v^{2}

$\frac{1}{2}mv^2$ , но что вы используете для U(x)? Также, возможно, вы пытаетесь самостоятельно варьировать

v_{i}, x_{i}

$v_i,x_i$ без ограничения

v = \frac{d x}{d t}

$v = \frac{dx}{dt}$ ?

Руслан

@adipy я пытался установить

U = 0

$U=0$ во-первых, а затем признать, что это не ограничивает

x_{i}

$x_i$ вообщем пробовал

U = 1

$U=1$ ,

U = x^{2}

$U=x^2$ , ..., но результаты в основном одинаковы. И действительно, я не ставил такого ограничения, как

v = \frac{d x}{d t}

$v=\frac{dx}{dt}$ , так как в книгах (а именно Ландау и Лифшица "Механика") я нигде не встречал обсуждения такого ограничения. Я предположил

x

$x$ и

v

$v$ должны варьироваться независимо.

Qмеханик

Нет,

x

$x$ и

v

$v$ зависимы в действии. Для получения дополнительной информации см. физику.stackexchange.com/q /885/2451.

Руслан

Хм, спасибо @Qmechanic, тогда мой вопрос дублирует этот.

Ответы (1)

Принцип наименьшего действия — странность численного моделирования

Предположительно T(v) является обычным квадратичным $\frac{1}{2}mv^2$ , но что вы используете для U(x)? Также, возможно, вы пытаетесь самостоятельно варьировать $v_i,x_i$ без ограничения $v = \frac{dx}{dt}$ ?
@adipy я пытался установить $U=0$ во-первых, а затем признать, что это не ограничивает $x_i$ вообщем пробовал $U=1$ , $U=x^2$ , ..., но результаты в основном одинаковы. И действительно, я не ставил такого ограничения, как $v=\frac{dx}{dt}$ , так как в книгах (а именно Ландау и Лифшица "Механика") я нигде не встречал обсуждения такого ограничения. Я предположил $x$ и $v$ должны варьироваться независимо.
Нет, $x$ и $v$ зависимы в действии. Для получения дополнительной информации см. физику.stackexchange.com/q /885/2451.
Хм, спасибо @Qmechanic, тогда мой вопрос дублирует этот.

Руслан · Answer 1

Как сказано в этом ответе , скорость и положение не изменяются независимо. Действительно, при выводе уравнений Эйлера-Лагранжа мы явно используем тот факт, что $\delta v=\frac d{dt}\delta x$ .

Итак, когда я добавляю ограничение $v_i=\frac{x_{i+1}-x_i}{\Delta t}$ , указав $x_1$ и $x_n$ остается единственной дополнительной вещью, которая сойдется к решению. Например, установка $U=x^4-4x^3+4.5x^2$ , $x_1=0$ , $x_n=2.651$ и $n=51$ , Я получил:

Позиции:

введите описание изображения здесь

Скорости:

введите описание изображения здесь

Здесь последняя точка скорости неверна, но это артефакт ограничения: я использовал правую конечно-разностную производную, которую нельзя сделать для $v_n$ . Это можно исправить, выбрав другую разностную схему, но для целей этого ответа это неважная деталь реализации.

Что более важно, так это то, что если мы выберем $x_n>2.651$ в этом примере действие кажется неограниченным снизу даже при правильных ограничениях. Я считаю, что это уже не проблема реализации, а скорее результат того факта, что действие просто должно быть стационарным, но не минимальным, поэтому минимизация не является достаточно хорошей процедурой для получения истинной траектории.

Принцип наименьшего действия — странность численного моделирования

Руслан

адипы

Руслан

Qмеханик

Руслан

Ответы (1)

Руслан

Универсальность принципа наименьшего действия, почему он работает? [дубликат]

Вывод действия Полякова

«Найти лагранжиан теории»

Вывод уравнения поля в теории Янга Миллса

Почему интеграл действия должен быть стационарным? На каком основании Гамильтон сформулировал этот принцип?

Почему общее действие должно иметь экстремум?

Что такое множители Лагранжа относительно голономных ограничений в классической механике?

Почему формула стационарного действия выражается как кинетическая минус потенциальная энергия, а не потенциальная минус кинетическая энергия?

Каково значение действия?

Почему не все свободные частицы теряют свою кинетическую энергию?