Почему изучают представления группы Лоренца, а не только представления группы Пуанкаре?

Не столько верно, что мы отдельно изучаем представления группы Пуанкаре и группы Лоренца, сколько то, что они просто совпадают в некоторых случаях:

1. В случае, когда нас интересует конечномерное представление на классическом таргет-пространстве полей, трансляционная часть полупрямого произведения$\mathrm{P}(3,1) = \mathrm{O}(3,1)\ltimes\mathbb{R}^4$действует тривиально на полях ($A_\mu(x)\mapsto A_\mu(x-a)$) и нас интересует только представление$\rho : \mathrm{SO}(3,1)\to\mathrm{GL}(V)$части Лоренца как$A_\mu(x)\mapsto \rho^\nu_\mu(\Lambda)A_\nu(\Lambda^{-1}x)$. То есть в этом случае нет различия между представлениями групп Пуанкаре и Лоренца.

   В частности, это означает, что «инвариантность относительно группы Пуанкаре» для лагранжиана теории поля является не более сильным требованием, чем «инвариантность относительно группы Лоренца».

   По сути, я говорю здесь о том, что когда у вас есть функция пространства-времени (поле), поведение при переводе уже зафиксировано естественным способом, которым такая функция трансформируется при переводе, независимо от того, где она принимает значения — переводом вектор-функция ничего не делает с векторными значениями, она просто сдвигает их. Однако преобразование Лоренца также вращает векторы в каждой точке. Таким образом, нетривиально определить, как именно преобразуются векторы, но часть группы Пуанкаре, которая просто переводит, действует на все эти функции одинаково тривиально - она ​​ничего не делает со значениями, она просто сдвигает точку при которых берутся значения.

2. В квантово-механическом случае, когда нас интересуют проективные представления, мы ищем унитарные неприводимые представления универсального покрытия$\bar{P}(3,1) = \mathrm{SL}(2,\mathbb{C})\ltimes\mathbb{R}^4$компонента идентичности группы Пуанкаре на бесконечномерном пространстве состояний , а не на конечномерном целевом пространстве полей. Теперь теория индуцированных представлений, разработанная Макки, говорит, что для$G\ltimes H$с абелевым$H$мы должны найти орбиты естественного действия$G$на$H$. Тогда всякое неприводимое представление$G\ltimes H$получается путем выбора одной орбиты, выбора унитарного неприводимого представления стабилизирующей подгруппы этой орбиты и унитарного характера$\chi:\mathbb{R}^4\to\mathbb{C}$.

   Теперь, если перевести это на «язык физики», можно исправить$\chi = 1$и признает, что «стабилизаторы орбит» не что иное, как небольшие группы Вигнера, как они используются в классификации Вигнера .

   В этом случае часть перевода действует нетривиально, потому что она действует не на функции пространства-времени, а на абстрактные квантовые состояния, которые не имеют четкой «зависимости» от положения, поэтому мы не можем просто сдвинуть их аргумент относительно полей. Здесь решающим требованием является унитарность/проективность представления группы Пуанкаре, что приводит к нетривиальному поведению преобразований при переносах.

Обычно существует много путаницы в отношении того, в каком из двух случаев мы находимся в данной ситуации в квантовой теории поля. Это связано с тем, что КТП по своей сути смешивает обе ситуации с помощью аксиомы Вайтмана, которая требует, чтобы представление (Лоренца)$\rho_\text{fin}$на классическом таргет-пространстве полей согласовано с представлением$\mathrm{U}$на квантовом механическом гильбертовом пространстве состояний таких, что