Представление группы Лоренца

Это в точности одна из аксиом Вайтмана , что бесконечномерное унитарное представление ¹ $U : \mathrm{SO}(1,3)\to\mathrm{U}(\mathcal{H})$на пространстве состояний$\mathcal{H}$теории, на которую поле действует как оператор, совместим с законом преобразования поля при конечномерном представлении$\rho_\text{fin}: \mathrm{SO}(1,3)\to\mathrm{GL}(V)$где$V$является целевым пространством поля. Для реального скалярного поля$V=\mathbb{R}$и$\rho_\text{fin}$является тривиальным представлением. Быть «совместимым» означает, что

Сейчас если$\phi$является скалярным, то$\rho_\text{fin}$тривиально. Однако это никоим образом не означает, что$U$тривиально. Бесконечномерные унитарные представления группы Пуанкаре$\mathrm{SO}(1,3)\ltimes \mathbb{R}^4$даны классификацией Вигнера , а скалярное поле создает частицы с массой и импульсом, поэтому унитарное представление не является тривиальным - тривиальное унитарное представление - это просто вакуум.

^{1 Никакое конечномерное представление не может быть унитарным.}