Является ли симметрия пространства-времени калибровочной симметрией?

В предыдущих моих вопросах здесь и здесь было установлено, что СТО, как частный случай ОТО, можно рассматривать как теорию (гладкого) многообразия Лоренца$(M,g)$где$M$глобально диффеоморфна (стандартной разностной структуре)$\mathbb{R}^4$и$g$представляет собой глобально плоское метрическое тензорное поле с сигнатурой$(+---)$. Обратите внимание, что я не упоминаю здесь ориентацию во времени, что, вероятно, является серьезной концептуальной ошибкой с моей стороны.

Существует понятие общей линейной группы$GL(T_pM)$каждого касательного пространства, и каждое из них имеет подгруппу$O_g(T_pM)$тех линейных отображений, которые сохраняют$G$. Эта группа Ли изоморфна$O(1,3)$матриц, сохраняющих метрику Минковского. Точно так же получают другие$GL(T_pM)$подгруппы как аналоги (и изоморфные) обычно рассматриваемым подгруппам$O(1,3)$такие как его связные компоненты-подгруппы. С другой стороны, группа

$$\text{Isom}(M)=\{\phi:M\to M|\ \phi \text{ is a diffeomorphism and } \phi_*g=g\}$$ изометрии $M$изоморфна группе Пуанкаре $\text{P}$как группа Ли, как установлено во втором связанном вопросе выше. Для упомянутых здесь изоморфизмов групп Ли нет канонического выбора.

В частности, преобразования$g\in\text{Isom}(M)$как действующий на точки пространства-времени$M$не может считаться порожденным «линейными картами и переводами», потому что добавление точек пространства-времени не определено. На самом деле, я хочу сформулировать СТО таким необычным образом, главным образом для того, чтобы добиться этого и четко различать преобразования, действующие на касательные векторы и на события (= точки пространства-времени).

Далее я хочу рассмотреть применение вышеупомянутых преобразований к различным вещам и значение «инвариантности, ковариантности и формоинвариантности» указанных вещей при преобразованиях. Это связано с этим вопросом , на который я не совсем понимаю ответ. Я думаю о том, чтобы позже задать еще один вопрос, касающийся этой терминологии, понятой в рамках приведенной выше геометрической схемы (не стесняйтесь комментировать, если это хорошая идея. Вопросы задавались тысячу раз, но я никогда полностью не понимал ответы). А пока более насущные дела:

Рассмотрим карту$\phi:M\xrightarrow[]{C^{\infty}}\mathbb{R}$, которое мы считаем скалярным полем. Выбор двух произвольных наборов глобальных координат$x,y:M\xrightarrow[]{C^{\infty}}\mathbb{R}^4$получаем координатные представления$\sideset{_x}{}{\phi}:=\phi\circ x^{-1}$и$\sideset{_y}{}{\phi}:=\phi\circ y^{-1}$. Четко$\sideset{_x}{}{\phi}=\sideset{_y}{}{\phi}\circ J$где$J:=(y\circ x^{-1}):\mathbb{R}^4\xrightarrow[]{C^{\infty}}\mathbb{R}^4$представляет собой преобразование координат из$x$к$y$координаты. Рассмотрим частный случай, когда$J$постоянна и равна преобразованию Пуанкаре, действующему на наборы чисел. Ясно, что в этом случае существует единственный$S\in\text{Isom}(M)$такой, что

$$\sideset{_x}{}{\phi}=\sideset{_y}{}{(\phi\circ S)}:=(\phi\circ S)\circ y^{-1},$$ который дается $S=x^{-1}\circ y$. Я пытаюсь сказать, что есть уникальный способ преобразовать поле $\phi$в поле $\phi'=\phi\circ S$, так что представления координат совпадают. Я думаю, это называется «активные и пассивные» преобразования. Соответствие между ними можно выразить, определив координатное представление диффеоморфизма $\sideset{_y}{}{ S}:=y\circ S\circ y^{-1}$и заметив, что $\sideset{_y}{}{ S}=J$. (Я несколько удивлен тем, что где-то не получил инверсию...)

Мой первый вопрос:Есть ли здесь важное концептуальное различие? Установлены группы симметрии, преобразующие векторы и точки пространства-времени, не являющиеся априорными изменениями координат. "Независимость" физической реальности от выбора системы координат мне кажется тривиальностью и должна быть данностью в ЛЮБОЙ теории физики, использующей координаты, или я неправильно смотрю на это? Пространственно-временные симметрии, с другой стороны, являются нетривиальными предположениями о природе пространства и времени, а также о симметрии Пуанкаре, характерной для теории относительности (правильно?). Здесь различия в группах преобразований, рассматриваемых в рамках разных теорий (Класс Мех=Галилей, СТО=Пуанкаре, ОТО=(???)Диф), не должны иметь ничего общего с ленью определять интегралы и производные, не зависящие от координат, верно? У меня сложилось впечатление, что все эти разговоры о «лоренц-тензорах» (т.е. объектах, которые «преобразовываются подобно тензорам при преобразованиях Лоренца, но не при более общих преобразованиях») в специальной релятивистской формулировке классической электродинамики в основном из-за лени объяснять ковариантные производные?! Те же мотивы, что и утверждение о том, что «ускоренное движение не описывается/не описывается специальной теорией относительности» — для меня нелепое утверждение.

Предполагая, что существует важное фундаментальное различие между симметриями пространства-времени и возможностью выбора произвольной системы координат для описания физики, какова мотивация определения соответствующего преобразования скалярного поля с помощью$\phi'=\phi\circ S^{-1}$где$S^{-1}$какое-то пространственно-временное преобразование или симметрия? Кроме того, как следует интерпретировать утверждение о том, что группа симметрии общей теории относительности является полной группой диффеоморфизмов? В частности, я до сих пор не уверен, правильно ли думать о «наблюдателе» как о выборе координат, описывающих то, что измеряет этот наблюдатель. Это противоречит утверждению «все наблюдатели эквивалентны» (интерпретируется как «любые координаты, которые вам нравятся, могут использоваться для описания одной и той же физики»), используемому для обозначения таких вещей, как «все наблюдатели видят одинаковую скорость света». Конечно, если бы существовал эфир, можно было бы использовать любые координаты, какие заблагорассудится.

Недавно я наткнулся на это , где Теренс Тао утверждает (если я правильно понял), что фиксация координат — это частный случай фиксации калибровки. Вопрос 2. Означает ли это, что пространственно-временная симметрия, как и симметрия Пуанкаре, является частным случаем калибровочной симметрии? Это противоположно (мое впечатление относительно) стандартному представлению, где таковыми называются только симметрии относительно преобразований «внутренних» степеней свободы. Я думаю, что вопросы очень тесно связаны. Я, конечно, надеюсь, что ответ на номер 2 будет «нет» (в то время как утверждение Дао, конечно, верно). Большое спасибо за то, что прочитали все это и заранее за любые ответы или комментарии.