Почему Хаусдорфово и Паракомпактное многообразие в ОТО?

Вы не можете проводить вычисления на многообразии, которое не является хаусдорфовым и не паракомпактным. Если вы не умеете считать, заниматься физикой с помощью уравнений поля довольно бессмысленно.

Что касается вашего первого вопроса, пожалуйста, сформулируйте его более четко.

Без свойства Хаусдорфа свойство единственности пределов последовательностей не выполняется, и оно влечет за собой много плохих последствий для некоторых результатов, касающихся абстрактной единственности, например, решений дифференциальных уравнений на многообразиях. Более того, без Хаусдорфа у вас нет гладких шляпных функций, полезных для расширения локальных гладких тензорных полей до глобальных гладких. Определение касательных векторов как производных над кольцом глобально определенных гладких функций оказывается немного громоздким (даже если это возможно и этот путь эффективно используется, например, в сложной алгебраической геометрии или также для вещественных аналитических многообразий).

Наконец, при отсутствии паракомпактности нельзя построить гладкие разбиения единицы, а определение понятия интеграла затруднительно.

(изменено после комментария Рики Демера)

Важно знать, что хаусдорфов счетный по секундам локально гомеоморфный$\mathbb R^n$пространство паракомпактно. Наоборот, Хаусдорф, локально гомеоморфный$\mathbb R^n$, паракомпактное пространство вторично счетно тогда и только тогда, когда счетны его компоненты связности (так, в частности, когда пространство связно).

Чтобы добавить к ответу Джерри Ширмера : в «Дороге к реальности» Роджера Пенроуза есть действительно грандиозная дискуссия с набросками в разделе 12.2 того, что означает не-Хаусдорф. Очень рекомендую прочитать и подумать. Если аксиома Хаусдорфа не выполняется, на краю переходной области возникнет «разветвление», где перекрываются «координатные пятна» (т. е. карты). Отдельные точки, «сваренные вместе» неделимыми открытыми множествами, могли сделать переходы между отдельными точками «непрерывными», и понятие «топология» не могло быть согласовано с понятием «топология» отдельных перекрывающихся участков. То есть карты представляют собой гомеоморфизмы (диффеоморфизмы в теории относительности) между открытыми окрестностями начала координат в$\mathbb{R}^N$и подмножества многообразия и, таким образом, когда мы наделяем локальную топологию$\mathbb{R}^N$на каждом патче отдельно через функцию координат, топология каждого патча отдельно делает его индивидуально хаусдорфовым, что привело бы к «несогласованности», если патчи были склеены таким образом, что они не являются хаусдорфовыми. Если бы вы попытались дать математические определения такого зверя, я не понимаю, как бы вы это сделали, не вводя какое-то отношение эквивалентности, чтобы считать все различные точки в неделимых открытых множествах «одними и теми же»: другими словами, в конечном итоге вы навязываете аксиому Хаусдорфа, прежде чем начнете свою серьезную работу. Это может быть просто отсутствием математического воображения с моей стороны, но я не думаю, что когда-либо видел, чтобы многообразия серьезно работали без аксиомы Хаусдорфа, хотя я видел, как некоторые авторы говорили что-то вроде (претенциозно ИМО) "