Почему комплексное число является неотъемлемой частью физической реальности?

В современной физике функция распределения квантовых волн обязательно использует комплексные числа для своего представления. Если физика определяет физическую реальность, то вышеприведенным утверждением мы говорим о том, что реальность состоит из неизмеримых и неопределимых комплексных чисел. Другими словами, волновая функция вероятности или реальность не может быть изначально понята в том виде, в каком она представлена.

Для иллюстрации рассмотрим утверждение: есть i манго (где i — комплексное число). Утверждение i mangoes не может быть понято изначально. Однако, если я скажу, что я раздал манго i людям, то это имеет некоторый смысл, так как я умноженный на i дает -1. Но ни манго , ни люди не имеют никакого смысла.

В инженерии комплексные числа — не что иное, как инструмент для эффективного расчета. Уравнения в технике, в которых используются комплексные числа, можно переписать как действительные числа, но в физике комплексные числа делаются неотъемлемой частью реальности, что делает реальность невозможной для понимания.

Мой вопрос: если предположить, что физика представляет собой истинную физическую реальность, почему природа представляет себя в виде комплексных чисел через сложную квантовую волновую функцию?

Также нельзя есть пи манго. Иррациональные числа — это тоже просто математическая конструкция. Мы используем эти числа для описания реальности, даже если они не обязательно проявляются.
Если оставить в стороне их имя, что заставляет вас думать, что действительные числа являются неотъемлемой частью физической реальности?
1. Физика не «определяет» реальность: она пытается ее «описать». 2. Комплексные числа не являются «неопределимыми», они имеют конкретное определение, как и любая другая правильная математическая конструкция.
Между прочим, я оспариваю подразумеваемое предположение, что натуральные числа манго по своей сути являются физическими. Естественный подсчет, безусловно, интуитивно понятен, но он предполагает, что мы можем четко и недвусмысленно идентифицировать манго, разделив их на отдельные объекты для подсчета. Я предполагаю, что это нетривиально и кажется очевидным только благодаря тому, как функционируют наше познание и восприятие.
@DanBryant Действительно. Это одно манго или два? flickr.com/photos/mamihenny/3595138586
@JAB Топографически это один :)
Комплексные числа — это не что иное, как пары действительных чисел. Действительные числа — это не что иное, как наборы рациональных чисел. Рациональные числа — это не что иное, как пары целых чисел. Целые числа — это не что иное, как пары натуральных чисел. Натуральные числа — это не что иное, как множество множеств. Так что на самом деле вы спрашиваете, почему природу можно представить только с помощью теории множеств.
@ M.Herzkamp Даже рациональные числа - это просто конструкция. Или, что еще более шокирует, только очень небольшое подмножество натуральных чисел отражает физическую реальность — классический пример — 3↑↑↑3, число, которое вы никогда не найдете нигде в нашей Вселенной, и оно все еще ничтожно по сравнению с другими естественными числами. числа. Потом есть занятые бобры и другие невычислимые функции...
@DanBryant У меня был учитель математики в старшей школе, который объяснил, что термин «мнимое число» является неправильным, потому что «все числа мнимые». Мне потребовалось много лет, чтобы понять, как мне повезло, что он был моим учителем. Удивительно мало людей готовы принять это и рассматривать математику как учебник реальности, несмотря на то, что мы не можем доказать самые основные предположения, на которых она основана.
Мне нравится этот аргумент, что мнимые числа реальны (настолько же реальны, как и любые другие числа): youtu.be/T647CGsuOVU
Настоящий ответ распределен по нескольким ответам ниже. Короткая версия; сложная арифметика — мощный инструмент для анализа периодических функций. Если вы хотите понять волны, вам нужно уметь анализировать периодические функции, а если вы хотите понять квантовую механику, вы должны уметь понимать волны. Если вы хотите углубиться, вы можете начать с первых двух глав моей любимой книги на эту тему.
Комплексные числа страдали от серьезной проблемы с брендингом с самого начала, когда они были помечены как «воображаемые» — переименование их в «сложные» не помогло делу. Говоря как «неспециалист», я нашел очень понятное объяснение многих способов, которыми «сложные» числа ведут к более простой (более равномерной) математике в первой четверти книги Роджера Пенроуза « Дорога к реальности » . [Редактировать: О, подождите, теперь я вижу, что @SolomonSlow связался с той самой книгой прямо надо мной больше года назад! Что ж, я полностью поддерживаю его рекомендацию.]
Мнимые числа просто позволяют возводить вещи в квадрат и сохранять отрицательный знак. Часто это имеет смысл, например, если мы оба проходим 3 ^ 2 метра из какой-то точки, но делаем это в противоположных направлениях, мы не оказываемся в одном и том же месте.

Ответы (12)

Комплексные числа не являются , как вы предполагаете, «... неотъемлемой частью физической реальности». Точно так же, как вы говорите, «квантовая функция распределения волн не обязательно использует комплексные числа». Не обязательно. Квантовая механика может быть математически сформулирована с использованием действительных чисел, комплексных чисел или кватернионов. См., например, https://arxiv.org/abs/1101.5690 для математического обсуждения (в частности, см. Раздел 2.4, где обсуждается теорема Солера, кратко изложенная, например, на https://en.wikipedia.org/wiki/Sol% C3%A8r%27s_theorem из Википедии).

Хотя, согласно этой цитате arxiv, комплексные числа кажутся наиболее удобными, они не являются принципиально необходимыми и не имеют особого фундаментального физического значения. Причина, состоящая в одном предложении, по которой «квантовая волновая функция» (пример, который вы разрабатываете) удобно использует комплексные числа, заключается в том, что волновая функция характеризуется не только амплитудой , но и фазой . А комплексные числа удобно кодируют математическое соотношение амплитуды и фазы. Но если вы хотите представить это несколько менее удобно, не проблема.

На самом деле, согласно моему предыдущему ответу о комплексных числах, электромагнитные волны обычно также описываются комплексными числами. Действительно, как я и предполагал, почти любое явление, описываемое амплитудно-фазовой волной, будет иметь удобное комплексное числовое представление .

Это не более волшебно, не более фундаментально, чем использование чисел для подсчета, скажем, яблок (или манго, как показано @Geoffrey). Числа удобны для подсчета яблок, потому что, когда у вас есть два яблока, а затем кто-то дает вам еще два яблока, вы обнаруживаете, что у вас есть ... четыре яблока. А алгебраическое свойство чисел 2+2=4 удобно представляет наблюдаемое поведение накопления яблок. Больше ничего. И ничего больше о комплексных числах в ситуациях, когда они удобны.

Редактировать:   поскольку интерес к этой теме, кажется, больше, чем я думал (657 просмотров, когда я пишу), позвольте мне немного уточнить мое подчеркнутое «любое явление, описываемое волной амплитуды плюс фаза, будет иметь удобное представление комплексных чисел», замечание выше. На самом деле, позвольте мне просто указать вам на другой ответ stackexchange, где идея проиллюстрирована намного лучше, чем все, что я мог бы сделать...
    https://electronics.stackexchange.com/questions/128989/
...Это очень красивые анимированные картинки, которые иллюстрируют идеи. Это двухкомпонентный (реальная и мнимая компоненты) «фазор» внизу, который используется для генерации сигнала вверху. И вот вы видите — как вы можете видеть из анимации, эти двухкомпонентные вектора комплексных чисел захватывают все поведение сигнала одним махом. Очень удобно. Но не физическое. Физический материал — это форма волны наверху. Вектор комплексных чисел внизу — это просто удобный математический способ получить его количественно. Вы заметите, что автор сначала обсуждает «фазу» (в том же смысле, в каком я использовал его выше), а затем вводит производное от него «фазор». Если вам интересно, в Википедии есть более подробное обсуждение фазы/фазора (и еще одна довольно анимированная диаграмма) https://en.wikipedia.

Правильно. Комплексные числа — это всего лишь двумерные числа, и во многих случаях двумерные числа полезны. Как и во многих случаях, значения даже более высокой размерности также полезны.
@curiousdannii «Комплексные числа — это всего лишь двумерные числа». Нет, элементы R ^ 2 - это «просто двумерные числа». Комплексные числа — это двумерные числа, для которых определен удобный метод умножения. Последнее свойство необходимо для его удобного использования здесь, так же как умножение необходимо для применимости кватернионов.
И это проясняет «техническое» различие — там, где имеется в виду переменный электрический ток, с фазой
@Discretelizard Я думаю, что любопытный данний пытался сказать, что комплексные числа похожи на векторы.
@jakekimdsΨ И я говорю, что это утверждение слишком упрощенно. Здесь важно свойство умножения комплексных чисел, иначе мы бы использовали фактические векторы.
Мне не хочется конкретизировать это в ответ, но ответы, в которых говорится, что комплексные числа не являются неотъемлемой частью реальности, похоже, упускают суть. «Комплексные числа» — это просто обозначения, но тот факт, что при моделировании физических явлений, связанных с фазой/амплитудой и подобными понятиями, появляется структура поля , а не просто неструктурированное двумерное векторное пространство над действительными числами, кажется, что-то говорит. о присущей математической реальности.
@Discretelizard Почему мы не могли просто определить ту же операцию для ℝ²? Если мнимые числа не существенны, это должно быть возможно. Конечно, такая комбинация была бы эквивалентна работе со сложной плоскостью, но явное вырезание мнимых чисел имеет значение для развития интуиции и понимания, если мнимое число на самом деле не имеет значения.
@ jpmc26 Я чувствую, что это уже не по теме. Продолжим это в чате .
@R.. Я думаю, что происходит нечто большее, чем просто структура поля . Не стесняйтесь читать мои мысли в чате (в частности, «свойство 3»)
@R.. Я почти полностью с тобой согласен. И вся эта широко определенная область широко обсуждалась, возможно, с тех пор, как Вигнер замечал о «необоснованной эффективности математики» (погуглите эту фразу, чтобы найти гораздо больше ссылок), например, dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner. html Мне особенно (но не исключительно) нравится проведенный физиком/философом Максом Джаммером анализ теории как «частично интерпретируемой формальной системы» в главе 1 books.google.com/… Но здесь слишком много всего, что можно сказать, чтобы комментировать.
@JohnForkosh В продолжение комментария Р.., вы не возражаете, если я опубликую более целенаправленный вопрос о роли комплексных чисел в физике и реальности? Я думаю, что в этом действительно что-то есть, и я хотел бы знать, какой свет философы могут пролить на этот вопрос.
Электромагнитная аналогия кажется мне вводящей в заблуждение, теоретическое описание электромагнитного поля не использует комплексные числа, и это не является естественным для неволновых полей. С другой стороны, их использование для волновых функций не зависит от эффекта, поэтому есть гораздо лучший аргумент в пользу того, что комплексная запись является математическим артефактом в электромагнетизме, чем в квантовой теории. И пример подсчета чисел, кажется, идет вразрез с аргументом поста, они «удобны», потому что их арифметика отражает фундаментальные свойства дискретных объектов, и не было бы так в беспредметном мире.
@Charles публикуйте то, что вам нравится (я бы не подумал об этом). Но я бы сказал, что вы лаете на очень маленькую ветку гораздо большего дерева. Основной вопрос касается «математики и реальности» в целом. Прочитайте материал по двум ссылкам, которые я предложил в предыдущем комментарии, и разветвитесь оттуда, погуглив среди множества уже написанных материалов по этой очень широкой теме. Сосредоточение внимания на комплексных числах — это просто надевание шор, которые скрывают от вас все остальное. Я озадачен, почему эта ветка получила так много просмотров (и, если на то пошло, мой ответ получил так много голосов).
@Conifold re E&M, en.wikipedia.org/wiki/… говорит: «В отличие от электромагнитных полей, квантово-механические волновые функции сложны (часто в случае электромагнитных полей для удобства используются сложные обозначения, но понятно, что на самом деле поля реальны. Напротив, волновые функции действительно сложны.)» Но это несколько вводит в заблуждение. Волны E&M являются физическими, тогда как волновая функция — нет, только амплитуды вероятности. Лучшая аналогия между волновой функцией и векторной анимацией, где обе сложные
Поправка @Conifold - упс, терминологическая ошибка ближе к концу предыдущего комментария, где я сказал: «Волны E&M являются физическими, тогда как волновая функция - нет, только амплитуды вероятности». Сотрите «амплитуды», поскольку «амплитуда вероятности» является (значением) волновой функции просто по определению. Я должен был просто сказать: «Волны E&M физичны, а волновая функция — нет, а только вероятности». Это то, что я имел в виду (что, вероятно, и так было очевидно).
@JohnForkosh Если вы искренне заинтересованы, а не просто пренебрежительно, мои причины хорошо изложены Скоттом Ааронсоном здесь: scottaaronson.com/democritus/lec9.html (раздел «Действительные и комплексные числа» и окружающие). Итак, вы видите, что мое утверждение на самом деле касается комплексных чисел, а не математики в целом, и поэтому я хотел бы, чтобы это было лучше рассмотрено.
@Charles Возможно, вам следует сначала прочитать мои мысли в этом чате . Это немного длинно и запутанно, но я надеюсь, что это немного лучше объясняет, что такое комплексные числа и почему они могут быть не более «оторваны от реальности», чем «действительные числа».
@Charles Хорошо, ну, он, безусловно, хорошо известен и уважаем, и я бы не стал просто пренебрежительно относиться к нему. Но его философская позиция изложена в верхней части этой страницы: «Природа описывается не вероятностями (которые всегда неотрицательны), а числами, называемыми амплитудами, которые могут быть положительными, отрицательными или даже сложными». И я бы не согласился с этим, ab initio. Вероятность — это то, что на самом деле поддается измерению, и точка. Краткий обзор остального выглядит довольно стандартным обзором обычного формализма. Так что это не имеет значения (если только я не пропустил что-то нестандартное) по отношению к его интерпретации.
Я не понимаю, почему вероятности не могут быть «физическими», а волновая функция чем-то большим, поскольку она включает в себя фазу, которая имеет измеримые эффекты (Ааронов-Бом). Приведу контраналогию: движение планет удобнее описывать в гелиоцентрической, чем в геоцентрической системе отсчета, но это не мешает ему отражать нечто реальное и фундаментальное. Небесная механика выглядит проще в гелиоцентрической системе отсчета, точно так же, как квантовая механика выглядит проще в сложных обозначениях. Так каков аргумент, что это «не что иное, как» удобство? ОП явно не конвенционалист.
@Conifold Re «Я не понимаю, почему вероятности не могут быть« физическими »» - я сказал это или что-то, что вы так выводили / интерпретировали? Не имел в виду это таким образом; это измеримое действительное число 0<=p<=1, которое является «физическим» (я бы сказал), а не неизмеримая комплексная амплитуда. Кроме того, бесполезно приводить аналогии. Я просто пытался сделать три вещи: 1) процитировать полномасштабную математику (Столер в статье Баеза), 2) предложить аналогию среднего уровня с помощью E&M и 3) предложить совершенно элементарную аналогию с помощью подсчета яблок. Просто опубликуйте лучшую презентацию, а не спорьте с ней.
Комментарий был: «Волны E&M являются физическими, тогда как волновая функция - нет, а только амплитуды вероятности». Комплексная амплитуда не является «неизмеримой» (см . Эффект Ааронова – Бома ). Учитывая разоблачение этого поста, альтернативы бессмысленны, даже если бы мне было интересно ответить на расплывчатые вопросы. Было бы лучше, если бы вы улучшили его, аргументируя точку зрения, которую продвигают ваши аналогии, это также поможет избежать неточностей, как указано выше.
@Conifold Нет необходимости вызывать Ахаранова-Бома. Мнимая составляющая комплексной амплитуды вероятности напрямую участвует в наблюдаемых интерференционных эффектах через фазовые вклады в вероятность «psi*psi». Если вы хотите возразить, что делает мнимые (компоненты комплексных) числа «физически реальными», вперед. Но это не стандартная интерпретация. Не больше, чем сказать, что число пи «физически реально» только потому, что наблюдаемый объем физической сферы равен «4/3pi r^3». Тот факт, что число пи «участвует» в объеме, не означает, что оно «физически реально».
Не подрываете ли вы свой собственный аргумент? Если действительные числа не более «физически реальны», чем комплексные числа, то в чем смысл вашего сокращения амплитуды и фазы? А что такое "физически реальное" в "стандартной интерпретации"? Рациональные, целые числа? Что-либо? Это все удобство? Электромагнитные волны являются математическими идеализациями, как и пи, так почему они должны быть «физически реальными»? Мне неинтересно спорить, но я не могу сказать из вашего поста, где должна проходить грань между «физически реальным» и «удобным», и пока не вижу последовательного способа провести ее.
@Conifold Не «подрывая собственный аргумент». Это не мой аргумент. Я просто извергаю стандартные вещи/интерпретации (по крайней мере, это мое намерение, несмотря на возможные ошибки). Тем не менее, это "мое" в той мере, в какой я с этим согласен. И «физически реальное» будет операционально определено. Экспериментальная установка представляет собой препараты и испытания. Числа, непосредственно описывающие результаты таких процедур, «физически реальны». Итак, по отношению к этой сфере число пи не реально, а "4/3pi r^3" реально. Точно так же амплитуда вероятности~psi не реальна, а вероятность~psi*psi реальна.
Являются ли «числа, непосредственно описывающие результаты», тем, что можно считать со шкалы счетчиков, чем-то вроде «протокольных предложений» или «чувственных данных» позитивистов? Боюсь, почти ничего в физике не было бы «физически реальным» по этому стандарту. Есть ли ссылка на эту "стандартную интерпретацию"?
@Conifold «считывать показания счетчиков» совершенно правильно, хотя то, что вы читаете, является результатом физической операции, как, например, в books.google.com/books?id=mmjiBQAAQBAJ&pg=PA72 . - отнесен к рубрике «общие вероятностные теории», например, arxiv.org/abs/1402.6562 (он же «тестовые пространства», с большим количеством arxiv и других статей Александра Уилса). Я не сразу вижу явное обсуждение того, что «физически реально», но это воспринимается как «результат» = показание счетчика этих процедур. И я уверен, что где-то есть какое-то расширенное обсуждение.
То, что считывается с метров, - это длины в десятичных дробях с несколькими цифрами, если отношения показаний метра, такие как число пи, не учитываются, то и скорость света тоже. На этом «эталоне» скорости, силы, энергии, напряженности полей, даже время нереальны, как и атомы и поля. Еще более осторожный операционализм в стиле Бриджмена — это точка зрения меньшинства, а не стандарт. Таковы же конструктивистские ограничения на «физические» числа.

Краткий ответ: Ваша предпосылка неверна. Квантовая механика не обязательно комплекснозначна. Вот учебник от Physics.SE, если вы твердо разбираетесь в математике.

Объяснение, не связанное с математикой: комплексные числа представляют определенный набор симметрий, которые ведут себя определенным образом. Они тесно связаны с действительными числами, потому что действительные числа кодируют информацию о размере и направлении в одном измерении, в то время как комплексные числа делают это в двух измерениях. Число «i» на самом деле является своего рода математическим сокращением для «повернуть на 90 градусов против часовой стрелки». Это приводит к тому, что двумерные векторы и традиционная двумерная векторная алгебра могут быть просто и четко представлены комплексными числами и комплексной алгеброй.

В квантовой теории важно то, что состояния больше не связаны с наблюдаемыми, как в классической физике. Теперь состояние, в котором находится частица, может свободно смешиваться и комбинироваться с другими состояниями, и наблюдаемые не имеют никакой ценности, пока не будут измерены. Комплексные числа (поскольку они добавляют дополнительную «комнату») удобно кодируют этот потенциал смешения.

Я бы порекомендовал вам думать о математике как о «науке о мышлении». Каждая математическая идея была придумана кем -то для систематического описания чего- либо . Это означает, что когда математическая идея не обобщается на ситуацию «здравого смысла» (например, манго «i»), это означает, что вы удалили ее из предполагаемой области применения. Натуральные числа хороши для подсчета манго, потому что они действуют как манго; комплексные числа хороши для описания волновых функций, потому что (в некотором смысле) они ведут себя как волновые функции. Старайтесь не ставить телегу впереди лошади.

Эта ссылка говорит об обратном.
@DheerajVerma Нет, это не так (хотя я понимаю, почему вы можете прочитать это именно так); Это только констатирует то же самое, что и ответы здесь: нет ничего фундаментально «физического» в комплексных числах (или действительных числах, или любых числах). Комплексные числа — это просто самый удобный (известный нам) способ представления этих явлений.
Этот ответ не учитывает тот факт, что следствия аксиом, необходимых для работы математики, часто имеют физические следствия. Рассмотрим предсказание Дирака об античастицах. Эта связанная нить имеет ключевой объяснительный факт: «разница в том, что амплитуда звуковой волны является наблюдаемой, в то время как в квантовой механике наблюдаемой является только амплитуда квадрата модуля. Я могу видеть фазу водной волны, но Я могу видеть фазу электронной волны только через интерференционные эффекты». Это волна вероятности, волны интерферируют, но наблюдаемые «схлопывают» распределение вероятности.
Да, вместо C можно было бы просто использовать R^2 с подходящими операциями.
@CriglCragl Это просто предвзятость выбора. Существует множество «прогнозов», основанных на математике модели, которые не сбываются, и тот факт, что некоторые из этих прогнозов на самом деле отражают реальность, встречается относительно редко, но гораздо интереснее говорить о нескольких успехах, чем о реальных результатах. гораздо большее количество глупостей. Конечно, неудача — это признак того, что модель неполна, но, конечно, модель неполна . Имейте в виду, что это по-прежнему очень полезный инструмент для исследования границ модели, но не слишком увлекайтесь — он всегда хорош настолько, насколько хороша модель.
Я предполагаю, что перенормировка является ключевым примером, где математика терпит неудачу. Напоминает и ультрафиолетовую катастрофу.

На мой взгляд, вы смешиваете разные моменты:

  1. Физика не использует комплексные числа для подсчета объектов. Достаточно считать манго неотрицательными рациональными числами, т.е. 1 манго, 1,5 манго, 1/3 манго и т. д.

  2. Вы правы в том, что квантовая механика основана на пси-функции, которая является сложной функцией. Квадрат модуля этой функции, действительное число между нулем и единицей, представляет собой распределение вероятностей частиц. Только последний может быть измерен. Но математический формализм уравнения Шредингера основан на сложной пси-функции. Реальной функции вероятности недостаточно. Чтобы понять природу, мы должны узнать, какие средства подходят для применения. Природа не следует нашим пристрастиям.

  3. Комплексные числа, в частности мнимые числа, поддаются определению и пониманию. Относительно определения: Комплексное число имеет действительную часть и мнимую часть: z = x+iy. Можно складывать, вычитать, умножать и делить комплексные числа подобно действительным числам. Преимущество: каждое полиномиальное уравнение степени n с вещественными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней. Например, X^2 +1=0 имеет два корня i и -i.

  4. Понятны комплексные числа или нет, зависит от того, насколько человек знаком с комплексными числами. С математической точки зрения комплексные числа необходимы для решения задач из действительных чисел (решения полиномиальных уравнений), так же как иррациональные числа необходимы для решения геометрической задачи с рациональными числами (диагональ единичного квадрата).

  5. Иррациональные числа не являются иррациональными в буквальном смысле. Комплексные числа не являются комплексными в буквальном смысле. Мнимые числа не являются мнимыми в буквальном смысле.

Добавлено из-за комментария Франка: Функция вероятности с действительным знаком недостаточна, потому что фундаментальные уравнения квантовой механики и всех типов квантовых теорий поля являются волновыми уравнениями. Волна характеризуется в каждой точке пространства-времени своей амплитудой A и фазой фи, см. ответ Джона. Это свойство соответствует характеристике комплексного числа z при записи в полярных координатах:

          z=x+iy=A*e^phi with A = sqrt(x^2+y^2) and tan(phi)=y/x.
+1 Хороший момент в части 1 о подсчете. Части 3-5 показались не по теме. В части 2, почему реальной функции вероятности недостаточно? Я думаю, это то, что хочет знать ОП.
Что касается вашего комментария о том, что «иррациональные числа не являются иррациональными в буквальном смысле»… Напротив, иррациональные числа совершенно буквально иррациональны , если предположить, что используется правильная интерпретация того, что на самом деле является буквальным значением. ;)
@David H Иррациональные числа - это нерациональные числа. Рациональное число — это дробь, т. е. частное двух целых чисел.
«Комплексные числа не являются сложными в буквальном смысле» — конечно, они есть: у них есть части (действительная часть и мнимая часть), поэтому они буквально сложны, а не просты.

Комплексные числа — это упорядоченные пары чисел, которые имеют расширенное определение умножения, полезное для представления кругового движения в двух измерениях. (Определение умножения для комплексных чисел представляет собой вращение вокруг исходной точки плюс масштабирование амплитуды этой точки в соответствии с обычными правилами скалярного умножения.) Таким образом, сказать, что комплексные числа являются «частью реальности», в лучшем случае , просто сокращенный способ сказать, что круговое движение (и другое подобное волнообразное движение) обычно происходит в реальности, и поэтому математический инструмент, специально предназначенный для описания этого явления, имеет тенденцию часто появляться в качестве полезного описательного инструмента.

Помните, что числа (любого рода) — это абстракция, которая используется для описания конкретных аспектов реальности. Сказать, что математический объект «является частью реальности», неверно в конкретном смысле, но может быть верно в метафорическом смысле, что аспекты реальности точно описываются этими абстракциями. В случае с комплексными числами часть путаницы возникает из-за неправильного понимания того, что они собой представляют («но они мнимые» и т. д.), что приводит к тому, что люди отделяют их от других типов чисел и воображают, что они их собственные. «существование» несколько более странное, чем «существование» действительных чисел, рациональных чисел и т. д.

Мы отвечаем на правильный вопрос?

Вы затрагиваете интересный момент, но у меня такое ощущение, что ваш вопрос еще недостаточно конкретен, чтобы прийти к должным решениям. Другие утверждали, что «комплексные числа» не нужны для квантовой механики. Хотя я согласен с их аргументами, я думаю, что они отвечают на вопрос

Нужно ли нам что-то, что мы называем «комплексными числами», для описания квантовой механики (КМ)?

и ответьте, что нет, мы можем использовать какой-то другой математический объект, который не называется так.

Но это сложный ответ на тривиальный вопрос, так как я могу просто определить «числа ящерицы» точно таким же определением, что и «комплексные числа» (конечно, не используя это имя), и сказать, что вы можете просто описать КМ, используя « вместо этого цифры ящерицы. Вы могли бы сказать, что я жульничаю, но обманываю ли я также, если мои числа ящерицы отличаются от комплексных чисел, но не очень, и их можно поменять местами с комплексными числами, чтобы получить правильную теорию КМ?

Например, предположим, что мои числа ящериц расширяют комплексные числа с помощью знака lв дополнение к , iкоторый указывает на «ось ящериц» (в дополнение к действительной и комплексной оси), но обычно устанавливается 0при выполнении QM, поскольку ящериц нет, когда работает в квантовом масштабе (ось ящериц является интегральной, так как дробные ящерицы — это жестокое обращение с животными). Ясно, что есть некоторые проблемы, которые можно охватить, задавая более качественные вопросы. Подход таков:

Можно ли описать КМ, не используя математическую структуру, которая «по сути такая же», как комплексные числа?

Этот вопрос, кажется, представляет проблему немного лучше. Однако это в решающей степени зависит от 1) того, что означает «по сути то же самое» и 2) что такое описание КМ или что такое физическое описание вообще.

Когда два математических объекта «по существу одинаковы» для КМ?

Я думаю, вы согласитесь, что мои числа ящериц дают описание КМ, которое «по сути то же самое», поскольку я могу просто заменить каждое комплексное число числом ящерицы и сохранить остальную часть описания. В контексте QM это не более чем переименование.

Но можем ли мы дать точное определение? Если мы работаем в рамках математики, я мог бы предложить подход. Но мы находимся не в области математики, а в области физики, а в физике есть некоторые (математические!) проблемы, которые «широко признаны истинными», для которых нет математического доказательства (пока?). Возьмем, к примеру, гипотезу разрыва Янга-Миллса . Гипотеза была подтверждена физическими экспериментами и является частью стандартной теории, но это не удовлетворяет математика (и, возможно, некоторых физиков), поскольку не приводит к математическому доказательству.

Поскольку мы видели, что что-то может быть доказано в физике, не доказывая это в математике, нам действительно нужно определение в физике. Моих знаний по физике не хватает, поэтому я не могу продолжать здесь. Но я сомневаюсь, что специалист по физике сможет дать однозначное определение того, что здесь должно означать «по сути то же самое». (но не стесняйтесь возражать мне в этом!)

Когда что-то является «описанием QM»?

Вопреки заголовку, давайте посмотрим на описание распределения квантовых волн, так как это кажется более простым, и это то, что на самом деле задает вопрос. Тем не менее, это, пожалуй, даже сложнее, чем предыдущий пункт. Существуют описания этой функции на разных языках с разными терминами, поэтому я полагаю, что это должно быть каким-то образом «независимо от языка». Кроме того, принимаем ли мы какую-либо лекцию об этой функции за корректное описание? Возможно нет. Вероятно, нам следует потребовать, чтобы описание позволяло нам однозначно знать, как интерпретировать функцию в результатах физических экспериментов.

Можем ли мы что-нибудь заключить?

Надеюсь, я показал, что утверждение о том, что «комплексные числа необходимы для описания квантовой функции распределения волн», не так просто, как кажется. Должны ли мы спрашивать, почему что- то верно, прежде чем мы узнаем , что это правда? Наверное, нет, но опять же, я довольно мало знаю о философии. Возможно, на эти каверзные вопросы есть простые ответы, которых я просто не знаю. Если вы их знаете, я был бы очень рад их услышать, но это все, что я могу добавить.

+1 за имя пользователя для защиты животных.
Если физическая реальность обязательно нуждается в какой-то абсурдной или неопределимой математической конструкции на ее фундаментальном уровне, тогда мы можем сказать, что теория не может быть понята, потому что на фундаментальном уровне теория не может быть понята. Спасибо за Ваш ответ. Я принял ответ, который разрешил мой запрос.
Похоже, что между комплексными числами и числами ящериц существует тривиальный изоморфизм. Они одинаковы с точностью до изоморфизма. Как это поможет ответить на вопрос?
@FrankHubeny Нет, между числами ящериц с l=0. (по крайней мере, второе определение чисел ящериц). Точно так же существует тривиальный изоморфизм между кватернионами (также предложенный принятым ответом) с направлением kи jравным нулю и комплексным числам. (что показывает, что цифры не такие сумасшедшие, как мне кажется.) Кроме того, технически я не отвечаю на вопрос, а перефразирую его. Я думаю, это не такая уж странная вещь в философии?
@FrankHubeny О, подождите, я думаю, вы имеете в виду числа ящериц «первого рода». Тот факт, что это тривиально «отвечает» на вопрос, означает, что вопрос подозрительный. Тот факт, что вы говорите, что они «одинаковые», — это как раз моя точка зрения: мы должны ясно понимать, что означает «одинаковое», но я также утверждаю, что какого-то отношения эквивалентности над математической структурой вряд ли будет достаточно.

У вас есть несколько фундаментальных недоразумений.

Физика не определяет реальность. Физика определяет модель, которая приближается к реальности проверяемым образом. Реальность может — и, судя по опыту, — обязывает нас обновлять или отказываться от той или иной модели по мере того, как мы продолжаем ее тестировать. Таким образом, математика, такая как комплексные числа, не является частью реальности каким-либо доказуемым образом. Они являются частью математических структур , которые мы используем для построения модели. Вы ошибочно принимаете игрушечную машину за настоящую машину, грубо говоря.

Более того, если вы предполагаете , что физика, выраженная, среди прочего, с использованием комплексных чисел, буквально определяет реальность, как это делает ваш последний вопрос, то логическая причина, по которой она использует что-то вроде комплексных чисел, - «по предположению».

Более того, ни в одной части физики не утверждается, что комплексное число представляет измеримую величину. Все физические операторы имеют действительный спектр, и именно спектр оператора сообщает нам возможные значения, которые мы можем измерить. Комплексные числа — это справочная информация, которая является исключительно частью конкретной математической модели. Когда вы начнете что-либо измерять, вы получите только реальные цифры. Ваша модель, которая пытается объяснить, почему вы измеряете то, что делаете, может нуждаться в чем-то большем, но это уловка вашей модели, а не объективной реальности.

Поскольку у меня недостаточно высокий уровень, чтобы комментировать, мне придется опубликовать ответ.

Я думаю, что это сводится к неудачному использованию вызова части комплексного числа воображаемой и к тому, что это внушает людям, когда они впервые изучают комплексные числа.

Но, как пытались указать другие, люди считают само собой разумеющимся, что реальная система счисления реальна — просто потому, что реальная содержится в ее названии и не подвергается сомнению, вероятно, из-за возраста, в котором вы подвергаетесь ее воздействию, по сравнению с тем, если вы когда-либо подвергались воздействию воображаемой. числа или нет.

Действительно ли существуют «мнимые числа»

Представьте, если бы вы могли измерять только тепло, выделяемое в цепи переменного тока, и не имели бы возможности узнать силу тока. P=I^2R Вы могли бы получить положительное количество только из ненаблюдаемого тока, который, казалось бы, мог «нефизически» быть положительным и отрицательным.

В этой аналогии мощность подобна любой квантовой наблюдаемой, как положение. И «нефизический» бит дает лежащую в основе переменную, но в данном случае ту, которую нельзя наблюдать, например, пространственное распределение вероятностей.

В атоме наблюдаемые связаны вместе в уравнение состояния, фаза записывает угловой момент или спин. Вращение может быть вверх или вниз, в квантованных количествах, но пространственная вероятность не заботится о том, в какую сторону она обращена, а только о величине.

Другим примером комплексных чисел для описания пространства является https://en.m.wikipedia.org/wiki/Tachyonic_field . Здесь «нефизическая» часть указывает на нестабильность.

«функция распределения квантовых волн обязательно использует комплексные числа для представления себя» — как ответили другие, это не очевидно, в лучшем случае. Однако другие в основном утверждали, что комплексное число можно заменить двумя действительными числами. С другой стороны, можно использовать только одну реальную волновую функцию вместо сложной волновой функции, по крайней мере, в некоторых важных общих случаях. Причина в том, что современные физические теории инвариантны по отношению к так называемым калибровочным преобразованиям, поэтому сложную волновую функцию можно сделать реальной с помощью калибровочного преобразования без изменения лежащей в основе физики. Шредингер (Природа 169, 538 (1952)) показал это на примере уравнения Клейна-Гордона в электромагнитном поле (уравнение Клейна-Гордона является простейшим релятивистским вариантом знаменитого уравнения Шредингера). Шредингер писал: «То, что волновая функция ... может быть реализована путем изменения калибровки, является не чем иным, как трюизмом, хотя это и противоречит широко распространенному мнению о« заряженных »полях, требующих сложного представления». Оказалось, что спинорную волновую функцию более реалистичного уравнения Дирака также можно заменить одной реальной функцией ( http://akhmeteli.org/wp-content/uploads/2011/08/JMAPAQ528082303_1.pdf - моя статья в Журнале математической физики).

Кажется, никто больше не обращался к этому вопросу, так что вот еще кое-что, что следует учитывать: из всех известных вам чисел комплексные числа — единственные, которые образуют алгебраически замкнутое поле .

Рассмотрим натуральные числа: если вы хотите решить школьную задачу «сколько яблок получит Алиса, если у Боба будет 12, а Чарли возьмет 5», вы в конце концов поймете, что необходимы отрицательные числа. Поначалу отрицательные числа, как и 0 как число, неподготовленному уму кажутся абсурдными. Но вы быстро видите, что в них нет ничего странного или «нереального»… хотя вы никогда не увидите «минус два яблока» в реальной жизни.

Затем вы переходите к рациональным числам и быстро видите, что «круг нельзя возвести в квадрат», то есть решение многочленов невозможно, если вы не расширите свою группу до иррациональных. Не все можно выразить как частное двух целых чисел. Казалось бы безобидное уравнение a^2 + b^2 = c^2, хотя оно и «очевидно определено», не работает для набора рациональных чисел a и b.

(Эта проблема возникает в таких областях, как изготовление часов, где не всегда возможно создать шестерни, точно соответствующие желаемым передаточным числам, поскольку шестерни могут иметь только натуральное число зубьев: вы можете создавать только рациональные передаточные числа. Вот почему механические часы так популярны. считается точным с точностью до x лет: это не указывает, насколько точно они хранят время, а скорее то, насколько близко рациональное приближение к реальному числу).

Дело в том, что во всех этих, казалось бы, полных наборах чисел вы можете поставить задачу, которая потребует от вас расширения вашего определения того, «что такое число», до чего-то, чего оно раньше не содержало, чтобы быть в состоянии решить ее.

Здесь комплексные числа особенные . Как только вы расширитесь и наткнетесь на комплексные числа, все можно будет решить в этом поле. Не существует решения любой проблемы, требующей использования чисел за пределами этого поля.

В этом смысле комплексные числа — неотъемлемая часть реальности, потому что прямоугольный треугольник существует независимо от того, какими числами вы его приписываете, и точно так же решение многочлена существует независимо от того, верите ли вы в мнимые числа или нет. Комплексные числа, какими бы странными они ни были, на самом деле решают все наши внешние математические задачи, связанные с числами.

Как уже говорили другие, QM можно моделировать с использованием разных чисел, но это одновременно верно и не имеет значения. Истинное понимание заключается в том, что на тотемном столбе математического понимания, начиная с базовых навыков счета, которые вы приобрели в детстве, вам не нужно подниматься выше, чем комплексные числа, чтобы решить все ваши аналитические потребности.

Сказав это, я уверен, что студент, изучающий чистую математику, докажет мою неправоту, сообщив мне об эзотерической проблеме, которая требует странного числового поля, о котором я никогда раньше не слышал.

Хороший пост. Но я не понимаю проблемы с яблоком. Кто дает Алисе яблоко? Почему ответ -2 (если он есть)? Может быть, мне нужен первоклассник, чтобы показать мне.
Дело не в том, как учить дошкольников с помощью яблок, дело в том, что я говорю о разрешимости различных задач. Чтобы иметь возможность решать «базовые» уравнения, вам нужны отрицательные числа. Чтобы решать линейные уравнения в обобщенном виде, вам нужны рациональные числа. Чтобы иметь возможность решать многочлены, вам нужны иррациональные числа. Для решения самых сложных задач (например, дифференциальных уравнений) вам понадобятся только комплексные числа. Касаемо яблочного вопроса: "5 яблок + сколько яблок равно 8 яблокам?" требует отрицательных яблок.

Увидев, что это Philosophy.SE, я попробую ответить по-философски:

Если физика определяет физическую реальность, то вышеприведенным утверждением мы говорим о том, что реальность состоит из неизмеримых и неопределимых комплексных чисел.

Это аргумент, которому около 2400 лет, восходит к Платону, Аристотелю и другим: существуют ли математические объекты (числа и т. д.) физически или они просто созданы в нашем уме?

Аналогичный аргумент касается языка: существует ли такое слово, как «стул» , или его не существует ? То есть, имеет ли это какой-то физический смысл, кроме возбуждения определенных синапсов в нашей голове?

Другой пример: есть люди, которые отрицают существование бесконечностей, как и иррациональных чисел, потому что их нельзя построить полностью; они идут на многое, чтобы построить с нуля альтернативные математические здания, которым не нужна бесконечность.

См. https://plato.stanford.edu/entries/aristotle-mathematics/ для хорошего введения и ссылок для дальнейшего чтения.

Числа можно понять. Каждая операция над числами может быть понята. Но комплексное число «i» не может быть понято. Первоначально утверждалось, как я узнал из видео на You Tube, что без «i» QM не может быть построен!! Это было абсурдно, поскольку делало реальность невозможной для понимания. В настоящее время я ищу формализм QM, основанный на реальных числах. Я подозреваю, что это приведет к новому пониманию, поскольку проблема была решена. Это расширит наше понимание реальности.
@DheerajVerma: iконечно можно понять. Это формализм, как и большинство, если не вся математика. В этом нет ничего мистического, волшебного, сверхъестественного.
Абстрактно я квадратный корень из -1. Но назовите мне хотя бы один пример физического количества или качества, которое обязательно равно i и не может быть представлено с помощью действительных чисел.
@DheerajVerma: если вам не нравится i, вы можете изменить любой расчет по любой теме, которую вы пытаетесь решить, чтобы работать без i. Это просто инструмент, ни больше, ни меньше, для упрощения расчетов. Но то же самое относится и ко всем другим математическим функциям (таким как, например, бесконечно малые числа, логарифмы, интегралы и т. д.). Вы могли бы перейти к квантовой физике вообще без чисел, только подсчитывая длинные столбцы «1», делая все, начиная с первые принципы (аксиомы) Это было бы непостижимо трудно, но применяете вы iили нет, это не имеет никакого отношения к «реальности».
Да я согласен с тобой. Это именно то, чего я ожидал. Реальность всегда должна быть теоретически понятной. Сказать, что волновая функция обязательно непостижима, объявив ее обязательно сложной функцией, было неправильным подходом. Теперь проблема решена. QM в принципе может быть построена с использованием действительных чисел.
@DheerajVerma: теперь вы вкладываете слова/смысл в мои уста. Я по-прежнему твердо утверждаю, что iи другие продвинутые математические конструкции столь же полезны и «реальны», как и простые числа. Если бы у нас их не было, то было бы трудно понять КМ, потому что мы бы совершенно потерялись в бессмысленных математических тонкостях.
Я с нетерпением жду формализма QM, основанного на реальных числах, потому что это поможет мне лучше понять его. Например, он расскажет мне, как волновая функция квантует распределение вероятностей электрона. Я не хочу быть слишком впечатлен хитростью формализма комплексных чисел. Потому что в конечном итоге важно понимание, а не умное жонглирование цифрами.
@DheerajVerma: Звучит хорошо, всего вам наилучшего! :-)
@DheerajVerma: в моем ответе есть ссылки на «формализм QM, основанный на реальных числах», и я не имею в виду замену комплексных чисел парами действительных чисел.

Физика не «описывает реальность». «Реальность» — это метафизическое понятие, которое навсегда выходит за пределы экспериментальных результатов. Физика дает отношения между наблюдаемыми ситуациями. Он связывает один набор наблюдений с другим набором наблюдений в более позднее время. Волновая функция может быть сложной, потому что она не является наблюдаемой величиной. (Они строятся из статистических данных и могут использоваться для расчета статистических результатов, но вы не можете наблюдать за ними, как мы думаем о наблюдении за бейсбольным мячом, движущимся или сидящим.) Волновая функция полезна для связи одного набора наблюдений. другому, но его не следует рассматривать как «описание реальности» как таковое. На самом деле вы не можете присвоить ему физические свойства между наблюдениями/измерениями. Это знаменитая проблема измерения. Это очень обеспокоило Джона Белла, который придумал тест для определенных свойств в промежутках между наблюдениями/измерениями. Это не помогло принять определенные физические свойства в промежутках между наблюдениями. Я думаю, что по определению должно существовать нечто, соответствующее «реальности», но это совсем не то, что можно было бы назвать «классической реальностью».

Почему комплексное число является неотъемлемой частью физической реальности?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 1v