Природа комплексных чисел в QM всплыла в недавней дискуссии, и меня назвали тупицей за то, что я поставил под сомнение их актуальность. В основном из терапевтических соображений я изложил свое отношение к этому вопросу:

О роли комплексных чисел в квантовой механике

Мотивация

Утверждается, что одной из определяющих характеристик, отделяющих квантовый мир от классического, является использование комплексных чисел. Это догма, и в ней есть доля правды, но это не вся история:

Хотя комплексные числа неизбежно оказываются первоклассными гражданами квантового мира, я утверждаю, что нашего старого друга, вещественные числа, не следует недооценивать.

Взгляд на квантовую механику с высоты птичьего полета

В алгебраической формулировке у нас есть набор наблюдаемых квантовой системы, которая имеет структуру реального векторного пространства. Состояния нашей системы могут быть реализованы как нормализованные положительные (а значит, обязательно вещественные) линейные функционалы в этом пространстве.

В формулировке волновой функции уравнение Шредингера явно сложное и действует на комплекснозначные функции. Однако оно записывается в терминах обычных частных производных действительных переменных и распадается на два связанных действительных уравнения - уравнение неразрывности для амплитуды вероятности и уравнение типа Гамильтона-Якоби для фазового угла.

Явно реальная модель квантовых систем с двумя состояниями хорошо известна.

Комплексная и вещественная алгебраическая формулировка

Давайте посмотрим, как мы получаем комплексные числа в алгебраической формулировке:

Мы усложняем пространство наблюдаемых и превращаем его в$C^*$-алгебра. Затем мы продолжаем и представляем его линейными операторами в комплексном гильбертовом пространстве (конструкция GNS).

Чистые состояния заканчиваются комплексными лучами, смешанные — операторами плотности.

Однако это не единственный способ сделать это:

Мы можем позволить реальному пространству быть реальным и наделить его структурой алгебры Ли-Жордана. Затем мы продолжаем и представляем его линейными операторами в вещественном гильбертовом пространстве (конструкция Гильберта-Шмидта).

И чистые, и смешанные состояния окажутся настоящими лучами. В то время как чистые обязательно уникальны, смешанные, как правило, нет.

Причина сложности

Даже в явно реальных формулировках сложная структура все еще присутствует, но в замаскированном виде:

Существует свойство 2 из 3, соединяющее унитарную группу$U(n)$с ортогональной группой$O(2n)$, симплектическая группа$Sp(2n,\mathbb R)$и комплексная общая линейная группа$GL(n,\mathbb C)$: если два из трех последних присутствуют и совместимы, вы получите третий бесплатно.

Примером этого является скобка Ли и произведение Жордана: вместе с условием совместимости этого достаточно, чтобы восстановить ассоциативный продукт$C^*$-алгебра.

Другим примером этого является кэлерова структура проективного комплексного гильбертова пространства, взятого как действительное многообразие, к которому вы приходите, когда удаляете калибровочную свободу из вашего представления чистых состояний:

Он поставляется с симплектическим произведением, которое определяет динамику через гамильтоновы векторные поля, и римановой метрикой, которая дает вам вероятности. Сделайте их совместимыми, и вы получите неявно определенную почти сложную структуру.

Квантовая механика унитарна: симплектическая структура отвечает за динамику, ортогональная структура отвечает за вероятности, а сложная структура их связывает. Это может быть реализовано как в реальных, так и в сложных пространствах достаточно естественным образом, но вся структура обязательно присутствует, даже если это не явно так.

Вывод

Является ли предпочтение сложных пространств исторической случайностью? Не совсем. Сложная формулировка — это упрощение, поскольку структура сводится к скалярам нашей теории, и есть определенная элегантность в объединении двух реальных структур в одну сложную.

С другой стороны, можно возразить, что не имеет смысла смешивать структуры, отвечающие за отдельные черты нашей теории (динамику и вероятности), или что введение ненаблюдаемых величин в нашу алгебру является конструктивным запахом, поскольку предпочтительно, чтобы мы использовали только внутренние операции.

Хотя мы, вероятно, продолжим заниматься квантовой механикой в ​​терминах сложных реализаций, следует помнить, что теорию можно сделать явно реальной. Этот факт не должен сильно удивлять тех, кто взглянул на ситуацию с высоты птичьего полета, а не просто смотрел сквозь шоры конкретных формализмов.

Комплексные числа в квантовой механике в основном фальшивые. Их можно везде заменить действительными числами, но вам нужно иметь две волновые функции, чтобы закодировать действительную и мнимую части. Причина в том, что собственные значения оператора временной эволюции$e^{iHt}$являются сложными, поэтому действительная и мнимая части являются вырожденными парами, которые смешиваются при вращении, и вы можете перенумеровать их, используя i.

Причина, по которой вы знаете, что я подделка, заключается в том, что не всякая физическая симметрия соответствует сложной структуре. Инверсия времени меняет знак «i». Операция обращения времени делает это потому, что она меняет направление, в котором действительная и мнимая части собственных векторов обращаются друг в друга, но без изменения знака энергии (поскольку состояние с обращением времени имеет ту же энергию, а не отрицательную, что и энергия).

Это свойство означает, что букву «i», которую вы видите в квантовой механике, можно рассматривать как сокращение для матрицы (0,1;-1,0), которая алгебраически эквивалентна, и тогда вы можете использовать волновые функции с действительной и мнимой частями. Тогда обращение времени понять просто — это ортогональное преобразование, которое переводит i в -i, поэтому оно не коммутирует с i.

Правильный способ спросить «почему i» — это спросить, почему оператор i, рассматриваемый как матрица, коммутирует со всеми физическими наблюдаемыми. Другими словами, почему в квантовой механике состояния дублируются неразличимыми парами. Причина, по которой мы можем использовать его как воображаемую единицу числа c, заключается в том, что он обладает этим свойством. По построению i коммутирует с H, но вопрос в том, почему он должен коммутировать со всем остальным.

Один из способов понять это — рассмотреть две конечномерные системы с изолированными гамильтонианами$H_1$а также$H_2$, с гамильтонианом взаимодействия$f(t)H_i$. Они должны взаимодействовать таким образом, чтобы, если вы заморозите взаимодействие в любой момент, чтобы$f(t)$возрастает до константы и остается там, результатом будет осмысленная квантовая система с ненулевой энергией. Если есть точка, где$H_i(t)$не коммутирует с оператором i, будут энергетические состояния, которые не могут вращаться во времени, потому что у них нет партнера с той же энергией, в который они могли бы вращаться. Такие состояния обязательно должны иметь нулевую энергию. Единственным состоянием с нулевой энергией является вакуум, так что это невозможно.

Вы заключаете, что любое смешивание посредством гамильтониана взаимодействия между двумя квантовыми системами должно учитывать структуру i, поэтому запутывание двух систем для измерения одной будет в равной степени запутано с двумя состояниями, которые вместе образуют сложное состояние.

Можно усечь квантовую механику (по крайней мере наверняка в чисто босной теории с реальным гамильтонианом, т. е. PT-симметричным) так, чтобы основное состояние (и только основное состояние) имело ровно нулевую энергию и не имело партнер. Для бозонной системы волновая функция основного состояния реальна и положительна, и если она имеет нулевую энергию, ей никогда не понадобится смешиваться с воображаемым партнером. Такое усечение происходит естественным образом в аналитическом продолжении систем SUSY QM с неразрывной SUSY.

Фрэнк, я бы посоветовал купить или одолжить книгу Ричарда Фейнмана « КЭД: странная теория света и материи» . Или вы можете просто перейти непосредственно к новозеландской онлайн-видеоверсии лекций, которые легли в основу книги .

В КЭД вы увидите, как Фейнман полностью отказывается от комплексных чисел и вместо этого описывает волновые функции фотонов (частиц света) как не более чем похожие на часы циферблаты, которые вращаются при движении в пространстве. В сноске к книжной версии он мимоходом упоминает: «О, кстати, комплексные числа действительно хороши для представления положения циферблатов, которые вращаются при движении в пространстве», но он намеренно избегает точной эквивалентности, которая является молчаливой или, по крайней мере, подразумевается во многих учебниках. Фейнман совершенно ясен в одном: именно вращение фазы при движении в пространстве является более фундаментальной физической концепцией для описания квантовой механики, а не сами комплексные числа.[1]

Я должен сразу же указать, что Фейнман не пренебрегал замечательной полезностью комплексных чисел для описания физических явлений. Отнюдь не! Например, его увлекало уравнение комплексной плоскости, известное как тождество Эйлера .$e^{i\pi} = -1$(или, что то же самое,$e^{i\pi} + 1 = 0$) и считал его одним из самых глубоких уравнений во всей математике: см. его том 1, главу 22 «Фейнмановских лекций по физике» .

Просто Фейнман в КЭД хотел подчеркнуть замечательную концептуальную простоту некоторых из самых фундаментальных концепций современной физики. В КЭД , например, он продолжает использовать свои маленькие циферблаты часов, чтобы показать, как в принципе весь его метод предсказания поведения электродинамических полей и систем может быть реализован с использованием таких движущихся циферблатов.

Это, конечно, непрактично, но Фейнман никогда не хотел этого. Его сообщение в QED было больше похоже на следующее: Держитесь крепко за простоту, когда она доступна! Всегда создавайте более сложные вещи из этой простоты, а не заменяйте простоту сложностью. Таким образом, когда вы видите что-то ужасное и, казалось бы, неразрешимое, этот тихий голос может вмешаться и сказать: «Я знаю, что простой принцип, который я выучил, все еще должен быть где-то в этом беспорядке! Так что все, что мне нужно сделать, это найти его и весь этот эффектный снежно-воздушный раззаматаз исчезнет!"

[1] По иронии судьбы, поскольку физические циферблаты имеют особенно простую форму круговой симметрии, в которой все положения циферблата (фазы) абсолютно идентичны по всем свойствам, можно утверждать, что такие циферблаты обеспечивают более точный способ представления квантовой фазы, чем комплексные числа. Это потому, что, как и в случае с циферблатами, квантовая фаза в реальной системе, по-видимому, не имеет абсолютно ничего уникального — одно «положение циферблата» так же хорошо, как и любое другое, до тех пор, пока все фазы поддерживают одно и то же. положения относительно друг друга. Напротив, если вы используете комплексное число для представления квантовой фазы, существует тонкая структурная асимметрия, которая проявляется, если вы выполняете определенные операции, такие как возведение числа в квадрат (фазу). Если вы сделаете это, сделайте комплексное число, то, например, позиция часов, представленная$1$(назовите это 3 часа дня) остается в$1$, в то время как, напротив, положение часов, представленное$-1$(9 вечера) превращается в$1$(3 вечера). В правильно составленном уравнении это не имеет большого значения, но эта любопытная небольшая асимметрия определенно не является частью физически обнаруживаемой квантовой фазы. Так что в этом смысле представление такой фазы с помощью комплексного числа добавляет немного математического «шума», которого нет в физической системе.

Если вам не нравятся комплексные числа, вы можете использовать пары действительных чисел$(x,y)$. Вы можете «добавить» две пары,$(x,y)+(z,w) = (x+z,y+w)$, и вы можете "умножить" две пары на$(x,y) * (z,w) = (xz-yw, xw+yz)$. (Если вы не думаете, что умножение должно работать таким образом, вместо этого вы можете назвать эту операцию «shmultiplication».)

Теперь вы можете делать что угодно в квантовой механике. Волновые функции представлены векторами, где каждая запись представляет собой пару действительных чисел. (Или вы можете сказать, что волновые функции представлены парой действительных векторов.) Операторы представлены матрицами, где каждый элемент представляет собой пару действительных чисел, или, альтернативно, операторы представлены парой действительных матриц. Ш-умножение используется во многих формулах. И т.д.

Я уверен, вы видите, что это в точности то же самое, что и комплексные числа. (см. комментарий Любоша: «надуманный механизм, имитирующий комплексные числа»). Это «комплексные числа для людей, у которых есть философские проблемы с комплексными числами». Но было бы разумнее преодолеть эти философские проблемы. :-)

Пусть говорит старый мастер Дирак:

«Можно подумать, что можно измерить сложную динамическую переменную, измеряя отдельно ее действительную и чисто мнимую части. Но это потребует двух измерений или двух наблюдений, что было бы хорошо в классической механике, но не годилось бы в квантовой механике, где два наблюдения вообще мешают друг другу - вообще нельзя считать, что два наблюдения могут быть сделаны точно одновременно, и если они сделаны в быстрой последовательности, первое обычно нарушит состояние системы и внесет неопределенность, которая повлияет на второй." (П.А.М. Дирак, Принципы квантовой механики, §10, стр.35)

Итак, если я правильно интерпретирую Дирака, использование комплексных чисел помогает различать величины, которые можно измерить одновременно, и те, которые нельзя измерить. Вы бы потеряли эту функцию, если бы сформулировали QM исключительно с действительными числами.

Комплексные числа «появляются» во многих областях, таких как, например, анализ переменного тока в электротехнике и анализ Фурье реальных функций.

Комплексная экспонента,$e^{st},\ s = \sigma + i\omega$проявляется в дифференциальных уравнениях, преобразованиях Лапласа и т. д.

На самом деле неудивительно, что комплексные числа используются в QM; они широко распространены в других областях физики и техники.

И да, использование комплексных чисел значительно упрощает решение и понимание многих задач.

Мне особенно понравилась эта книга (написанная опытным специалистом), в которой приводится много поучительных примеров использования комплексных чисел для значительного упрощения задач.

Комплексные числа используются только из практических соображений: QM включает спирали и подобные функции. Формула Эйлера

описывает трехмерные спирали очень простым способом, но если вы хотите его использовать, вы должны заменить одну реальную ось воображаемой осью. Вот почему QM обычно работает с воображаемой осью. По той же причине в технике используются комплексные числа: в каждом случае должен быть описан спиральный процесс.

Группа вращений, ее представления и их носители являются фундаментальными частями квантовой механики. Каждый объект во Вселенной имеет спин = 0, 1/2, 1, 3/2, 2,… объект. Для объектов с целочисленным вращением группа вращения равна O(3), а матрицы вращения содержат только действительные числа. Однако в мире есть частицы с полуцелым спином, и для их вращения нужны матрицы с комплексными числами. Группа, которая охватывает все вращения, — это SU (2), которая имеет массив генераторов 2 x 2.$J$. 3 угла поворота должны быть закодированы в массив 2 x 2 параметров группы лжи.$\Theta$. Элемент группы (то есть: матрица вращения) тогда

Следовательно, причина, по которой в квантовой механике необходимы комплексные числа, заключается в том, что существуют частицы с полуцелым спином.

Да, у нас может быть теория той же физики без комплексных чисел (без использования пар вещественных функций вместо комплексных), по крайней мере, в некоторых наиболее важных общих квантовых теориях. Например, Шрёдингер (Nature (London) 169, 538 (1952)) отметил, что скалярную волновую функцию можно сделать реальной с помощью калибровочного преобразования. Кроме того, как ни странно, уравнение Дирака в электромагнитном поле в целом эквивалентно уравнению в частных производных четвертого порядка только для одной комплексной компоненты, которую также можно сделать реальной с помощью калибровочного преобразования (http://akhmeteli.org/wp-content). /uploads/2011/08/JMAPAQ528082303_1.pdf (статья, опубликованная в Journal of Mathematical Physics) или http://arxiv.org/abs/1008.4828 ).

Я не очень хорошо разбираюсь в истории, но полагаю, что люди, занимающиеся классической волновой физикой, давно заметили тесное соответствие между многими$\sin \theta$песок$\cos \theta$летают вокруг их уравнений и поведения$e^{i \theta}$. На самом деле большинство расчетов, связанных с волнами, можно выполнить с меньшими трудностями в экспоненциальной форме.

Затем в ранней истории квантовой механики мы находим вещи, описанные в терминах волн материи де Бройля.

И это работает, что является последним словом в этом вопросе.

Наконец, вся математика, связанная с комплексными числами, может быть разложена на составные операции над действительными числами, так что вы, очевидно, можете переформулировать теорию в этих терминах. Нет причин думать, что вы что-то приобретете в плане легкости или проницательности.

На самом деле существует естественный способ думать о квантовой механике без использования комплексных чисел. Это тесно связано с гамильтонианско-якобиевской формулировкой классической механики и дает интересный взгляд на связь между классической и квантовой механикой!

Классическая механика

Формализм HJ имеет первый порядок(!) по времени, где скорость определяется выражением

Прежде чем обобщить это на квантовый случай, полезно заметить, что мы можем переписать уравнение движения в терминах плотности$\rho(\boldsymbol x,t)$в качестве

Квантовая механика --- без комплексных чисел

Утверждается, что квантовая механика задается тем же уравнением неразрывности, что и выше (т. е. вторым уравнением в рамке), но теперь мы просто добавляем новый член в уравнение для$S$:

Связь с уравнением Шредингера? Просто определите$\Psi(\boldsymbol x,t) = \sqrt{\rho} e^{i S/\hbar}$и вы можете проверить, что это подчиняется уравнению Шредингера. Таким образом, эта формулировка квантовой механики также весьма полезна для создания полуклассических приближений. Если вам интересно, что за особый случай$\rho(\boldsymbol x,t) = \delta(\boldsymbol x - \boldsymbol x(t))$соответствует в этой постановке: они описывают траектории «скрытых переменных» де Бройля-Бома/представления квантовой механики на основе волны-пилота.

Явный пример уравнения Шредингера «без» комплексных чисел

Просто чтобы дать одно совершенно явное уравнение случая одной частицы в базисе положения, сформулированное только с действительными числами (но две волновые функции вместо одной$\Psi_{real}$а также$\Psi_{img}$):

куда$\Psi_{real}$а также$\Psi_{img}$обе действительные функции$\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}$и представляют, конечно, отдельные действительные и мнимые части более стандартного эквивалентного уравнения Шредингера:

Заметим, что эквивалентность имеет место, поскольку потенциал$V$должны быть действительными, иначе сохранение вероятности не соблюдается .

Хотя у меня нет каких-либо сверхглубоких философских причин, по которым появляется мнимое число (возможно, интуитивная «дедукция» уравнения на высоком уровне даст лучшие подсказки?), явная форма действительного числа делает следующее понимание более понятным для меня. :

• УЧП, с которым мы имеем дело, на самом деле является системой УЧП с двумя уравнениями и двумя неизвестными функциями.

• хотя исходное уравнение выглядит как уравнение теплопроводности из-за производной первого порядка по времени, мы знаем, что уравнение Шредингера демонстрирует волнообразный колебательный характер, который больше похож на волновое уравнение

  С явной реальной формой это становится гораздо более правдоподобным, потому что$\partial \Psi_{img}/\partial t$вид зависит от$\Psi_{real}$, и, в свою очередь$\partial \Psi_{real}/\partial t$вид зависит от$\partial \Psi_{img}$. Таким образом, по «аналогии» с приведением к системе первого порядка в ОДУ это выглядит как вторая производная.

  Если мы на мгновение забудем о лапласианской части и возьмем постоянный потенциал, мы получим суперклассическую линейную систему ОДУ первого порядка, которая может иметь решения sin/cos/exp .

Наконец, если вы пытаетесь решить уравнение численно, то вы, вероятно, выберете явную вещественную форму, так как на самом деле нет никаких операций с комплексными значениями, которые необходимо выполнить. В некотором смысле, комплексные числа уравнения Шредингера могут быть полностью разделены на два отдельных действительных/мнимых уравнения без проблем, так как нет ничего жесткого, такого как сложное дифференцирование , с которым нужно иметь дело.

Обновление: этот ответ был заменен моим вторым . Я пока оставлю это как есть, так как в некоторых местах оно более конкретное. Если модератор считает, что его нужно удалить, не стесняйтесь это делать.

Я не знаю ни одного простого ответа на ваш вопрос - любой простой ответ, с которым я сталкивался до сих пор, не был действительно убедительным.

Возьмем уравнение Шредингера, которое явно содержит мнимую единицу. Однако, если вы запишете волновую функцию в полярной форме, вы получите (в основном) эквивалентную систему двух реальных уравнений: уравнение неразрывности вместе с другим, которое очень похоже на уравнение Гамильтона-Якоби.

Тогда есть аргумент, что коммутатор двух наблюдаемых является антиэрмитовым. Однако наблюдаемые образуют реальную алгебру Ли со скобкой$-i[\cdot,\cdot]$, которую Дирак называет квантовой скобкой Пуассона.

Все ожидаемые значения, конечно, реальны, и любое состояние$\psi$может быть охарактеризована вещественной функцией

Например, у кубита есть реальное описание, но я не знаю , можно ли его обобщить на другие квантовые системы.

Раньше я полагал, что нам нужны комплексные гильбертовы пространства, чтобы получить уникальную характеристику операторов в вашей наблюдаемой алгебре их математическими ожиданиями.

Особенно,

Конечно, затем вы накладываете дополнительное ограничение, согласно которому ожидаемые значения должны быть реальными, и, таким образом, вы получаете самосопряженные операторы.

Для пространств вещественных векторов последнее выполняется автоматически. Однако, если вы наложите первое условие, вы также получите самосопряженные операторы; если ваши условия являются реальными значениями ожидания и уникальным представлением наблюдаемых, нет необходимости предпочитать сложные пространства реальным.

Самый убедительный аргумент, который я слышал до сих пор, заключается в том, что линейная суперпозиция квантовых состояний зависит не только от отношения абсолютных значений коэффициентов$|α|/|β|$, но и их разность фаз$\arg(α) - \arg(β)$.

Обновление: есть еще один геометрический аргумент, с которым я недавно столкнулся и считаю достаточно убедительным: описание квантовых состояний как векторов в гильбертовом пространстве избыточно - нам нужно перейти в проективное пространство, чтобы избавиться от этой калибровочной свободы. Действительная и мнимая части эрмитова произведения индуцируют метрику и симплектическую структуру на проективном пространстве — фактически, проективные комплексные гильбертовы пространства являются келеровыми многообразиями . В то время как метрическая структура отвечает за вероятности , симплектическая обеспечивает динамику через уравнения Гамильтона. Из -за свойства 2 из 3 требование совместимости метрической и симплектической структур бесплатно даст нам почти сложную структуру .

Просто чтобы уточнить, похоже, что вы можете .

Сегодня комплексные числа все еще преподаются в университетах, и некоторые до сих пор их поддерживают. Они сохраняются в физике и технике, где задействованы синусоидальные волны или движение, хотя даже здесь всегда (почти) всегда существует опубликованный альтернативный подход, свободный от мнимых чисел.

Одной из известных областей физики, в которой сложные методы до сих пор буквально мертвой хваткой, является квантовая механика. Хотя векторные альтернативы существуют, в настоящее время они не получили широкого распространения, и доминирующий подход заключается в использовании мнимых чисел. Некоторые даже утверждают, что это необходимо, но это не может быть правдой. Гамильтон давно показал, что можно определить систему алгебры с таким же внешним поведением, в которой отсутствуют ссылки на$𝑖$.