Смещенные индексы (ΛμνΛμν\Lambda^\mu{}_\nu против ΛμνΛμν\Lambda_\mu{}^\nu) на преобразованиях Лоренца

Question

Смещенные индексы (ΛμνΛμν\Lambda^\mu{}_\nu против ΛμνΛμν\Lambda_\mu{}^\nu) на преобразованиях Лоренца

Насик

У меня есть несколько открытых вопросов об использовании ступенчатых индексов при написании преобразований Лоренца, их инверсий и транспонирований.

Каковы соответствующие значения $\Lambda^\mu{}_\nu$ по сравнению с $\Lambda_\mu{}^\nu$ ? Как можно использовать это обозначение индекса в шахматном порядке для обозначения транспонирования или инверсии?

Если я хочу взять любой из этих объектов и явно записать их в виде матриц, то существует ли правило, позволяющее узнать, какой индекс помечает строку и какой столбец помечает элемент матрицы? Правило: "(левый индекс, правый индекс) = (строка, столбец)" или это "(верхний индекс, нижний индекс) = (строка, столбец)" или есть другое правило для $\Lambda^\mu{}_\nu$ по сравнению с $\Lambda_\mu{}^\nu$ ?

Существуют ли разные соглашения для всего этого, используемые разными авторами?

В качестве конкретного примера моей путаницы позвольте мне попытаться показать, что два определения преобразования Лоренца эквивалентны.

Определение-1 (типичная книга QFT): $\Lambda^\mu{}_\alpha \Lambda^\nu{}_\beta \eta^{\alpha\beta} = \eta^{\mu\nu}$

Определение-2 ( $\Lambda$ матрица должна сохранять псевдо скалярный продукт, заданный формулой $\eta$ матрица): $(\Lambda x)^T \eta (\Lambda y) = x^T \eta y$ , для всех $x,y \in \mathbb{R}^4$ . Это подразумевает, с точки зрения матричных компонентов (и теперь я переключусь на нотацию линейной алгебры, вдали от нотации физического тензора): $\sum_{j,k}(\Lambda^T)_{ij} \eta_{jk} \Lambda_{kl} = \eta_{il}$ . Это последнее уравнение является моим «Определением-2» преобразования Лоренца, $\Lambda$ , и я не могу заставить его выглядеть как «Определение-1», т. е. я не могу манипулировать небольшой разницей в порядке индексов.

Qмеханик

Связано: physics.stackexchange.com/q/158309/2451 , physics.stackexchange.com/q/169762/2451 , physics.stackexchange.com/q/237270/2451 и ссылки в них.

Синай Симсон

Преобразование Лоренца не является тензором — оно не преобразуется как тензор — это просто линейное отображение.

Ответы (3)

Смещенные индексы (ΛμνΛμν\Lambda^\mu{}_\nu против ΛμνΛμν\Lambda_\mu{}^\nu) на преобразованиях Лоренца

Связано: physics.stackexchange.com/q/158309/2451 , physics.stackexchange.com/q/169762/2451 , physics.stackexchange.com/q/237270/2451 и ссылки в них.
Преобразование Лоренца не является тензором — оно не преобразуется как тензор — это просто линейное отображение.

Кристоф · Answer 1

По соглашению векторы записываются как векторы-столбцы, тогда как двойственные векторы записываются как векторы-строки. Это означает, что в принципе верхние индексы должны индексировать столбцы, а нижние индексы — строки. Однако на практике мы обычно переводим тензоры ранга 2 в матрицы по порядку индексов, первый индексирует строки, второй индексирует столбцы.

Единственный способ, который я могу придумать, чтобы сделать этот перевод от тензоров к матрицам структурно четко определенным (чего я никогда не видел в литературе), - это привести все тензоры ранга 2 к форме $\cdot\;^\mu{}_\nu$ , что может быть достигнуто путем сжатия с соответствующими «тензорами Кронекера», под которыми я подразумеваю тензоры ранга 2, компоненты которых равны 1, если индексы согласуются, и 0 в противном случае.

Назовем эти тензоры $\overline\delta^{\mu\nu}$ и $\underline\delta_{\mu\nu}$ .

Затем матричный продукт, указанный в вашем вопросе

{Икс}^{Т} \cdot η \cdot у

$x^T\cdot\eta\cdot y$ перевел бы на

({Икс}^{мю} {\underline{дельта}}_{мю ν}) \cdot ({\bar{дельта}}^{ν α} η_{α β}) \cdot (у^{β})

$\left(x^\mu\underline\delta_{\mu\nu}\right)\cdot\left(\overline\delta^{\nu\alpha}\,\eta_{\alpha\beta}\right)\cdot\left(y^\beta\right)$ Первый член имеет один свободный нижний индекс (он же вектор-строка), второй член — свободный верхний и нижний индексы (он же матрица), а третий — свободный верхний индекс (он же вектор-столбец).

Поскольку все тензоры Кронекера могут быть удалены путем корректировки индекса, это эквивалентно гораздо более простому выражению

{Икс}^{мю} η_{мю β} у^{β}

$x^\mu\,\eta_{\mu\beta}\,y^\beta$

Как вы можете видеть, хотя в обозначении индекса нет специального символа для транспонирования — обычно подразумевается, по какому индексу суммируется — его можно сделать явным, используя «тензоры Кронекера», — но все, что вы получите, это добавление ненужных сложность.

Теперь, после этого раунда бесполезных размышлений, давайте вернемся к тому, что на самом деле важно при чтении литературы:

Индексы понижаются и повышаются путем сжатия с метрическим тензором и его обратным. Так, например, учитывая тензор $A^\mu{}_\nu$ , затем

А_{мю}^{ν} \equiv А^{α}_{β} η_{α мю} (η^{- 1})^{β ν}

$A_\mu{}^\nu \equiv A^\alpha{}_\beta\; \eta_{\alpha\mu}\; (\eta^{-1})^{\beta\nu}$

Для самого метрического тензора имеем

(η^{- 1})^{мю ν} "=" η^{мю ν}

$(\eta^{-1})^{\mu\nu} = \eta^{\mu\nu}$ доказано здесь и для преобразований Лоренца

(Λ^{- 1})^{т}_{мю} "=" Λ_{мю}^{т}

$(\Lambda^{-1})^\tau{}_\mu = \Lambda_\mu{}^\tau$ доказано здесь .

Это особое свойство этих конкретных тензоров, которое не выполняется для произвольных.

Спасибо - отличный ответ! Кроме того, для полностью пониженного или полностью поднятого тензора ранга 2, как мы идентифицируем матричные элементы? Всегда ли (слева, справа) = (строка, столбец)?
@Nahsik: я так думаю; если оба индекса имеют один и тот же тип, нет внутреннего отображения на строки и столбцы, поэтому мы придерживаемся соглашения для матричных индексов; это также мое предположение, почему мы обычно пишем линейные карты как $A^\mu{}_\nu$ вместо равноправного выбора $A_\nu{}^\mu$ - только с первым порядок индексов строка , столбец
Я не уверен, правильно ли замечание вашего исходного ответа о строках/столбцах. Вы говорите, что верхний индекс помечает столбец. @joshphysics говорит, что крайний левый индекс помечает строку. То есть, вы говорите, что различие между верхним и нижним значением имеет значение для идентификации матричного элемента, но он говорит, что имеет значение различие между левым и правым. Он говорит, что в этом ответе: physics.stackexchange.com/a/118580/116779
Чтобы уточнить, согласно интерпретации обозначений Джоша Физики, было бы разумно избегать использования обозначений $\Lambda_\mu{}^\tau$ , так как это то же самое, что и $(\Lambda^{-1})^\tau{}_\mu$ , что показывает, что истинный крайний левый индекс на самом деле $\tau$ .
И чтобы уточнить, почему я склонен думать, что Джошфизик прав, говоря, что крайний левый указывает на строку, рассмотрим произведение $B^\mu{}_\nu v^\nu$ . Здесь, $v^\nu$ является вектором (т. е. вектор-столбцом), поэтому его один индекс помечает строки (т. е. компоненты вектора-столбца). Индекс матрицы, сокращенный с этим индексом, конечно, должен быть индексом столбца матрицы. Так $\nu$ (самый правый индекс) помечает столбцы матрицы, а $\mu$ затем крайний левый индекс, обозначающий строки, в соответствии с Joshphysics.

Джек · Answer 2

Не верно. $(\Lambda^{T})^\mu{}_\tau = \Lambda_\tau{}^\mu$ Источник, который вы использовали, не принял во внимание тот факт, что индексная нотация не отличает матрицы от их транспонирования, отсюда и ошибка. Правильное обратное: $(\Lambda^{-1})^\mu{}_\tau = \Lambda^{\tau}{}_{\mu}$ Это обозначение можно найти, например, у Шютца, и оно согласуется с тензорами Кронекера, а также с соглашением о штриховке/нештриховке. Эти правила применяются только к матрицам LT — произвольная (не LT) матрица по-прежнему будет использовать стандартное правило транспонирования.

Я думаю, это потому, что он использует $\Lambda ^T \eta \Lambda = \eta$ чтобы получить заданное обозначение индекса... Я видел такой расчет в какой-то статье, но я забыл, что это такое.

МэнниС · Answer 3

Я думаю об этом, пытаясь всегда сокращать ближайший индекс. Так $\omega_\mu$ трансформируется как

ю_{мю} \to ю_{мю}^{'} "=" Λ_{мю}^{ν} ю_{ν},

$\omega_\mu \;\to\;\omega_\mu^{\,\prime} = \Lambda_\mu^{\phantom{\mu}\nu}\, \omega_\nu\,,$ и

v^{μ}

$v^\mu$ трансформируется как

в^{мю} \to {в^{мю}}^{'} "=" Λ_{ν}^{мю} в^{ν} .

$v^\mu \;\to\;{v^\mu}' = \Lambda^\mu_{\phantom{\mu}\nu}\, v^\nu\,\,.$ Правило подъема/опускания должно оставлять нетронутым порядок индексов (т.е. перемещать их только по вертикали), поэтому

г^{мю о} г_{ν λ} Λ_{о}^{λ} "=" Λ_{ν}^{мю}, г_{мю о} г^{ν λ} Λ_{λ}^{о} "=" Λ_{мю}^{ν} .

$g^{\mu \sigma} g_{\nu\lambda}\,\Lambda_\sigma^{\phantom{\sigma}\lambda} = \Lambda^\mu_{\phantom{\mu}\nu}\,,\qquad g_{\mu \sigma} g^{\nu\lambda}\,\Lambda^\sigma_{\phantom{\sigma}\lambda} = \Lambda_\mu^{\phantom{\mu}\nu}\,.$ Позвольте мне обозначить

g

$g$ матрица

(g^{μ ν})_{\begin{matrix} μ & \to r o w \\ ν & \to c o l \end{matrix}}

$(g^{\mu\nu})_{\substack{\mu&\to\mathrm{row}\\\nu&\to\mathrm{col}\\}}$ , к

Λ

$\Lambda$ матрица

(Λ_{ν}^{μ})_{\begin{matrix} μ & \to r o w \\ ν & \to c o l \end{matrix}}

$(\Lambda^\mu_{\phantom{\mu}\nu})_{\substack{\mu&\to\mathrm{row}\\\nu&\to\mathrm{col}\\}}$ и по

\tilde{Λ}

$\tilde\Lambda$ матрица

(Λ_{μ}^{ν})_{\begin{matrix} μ & \to r o w \\ ν & \to c o l \end{matrix}}

$(\Lambda_\mu^{\phantom{\mu}\nu})_{\substack{\mu&\to\mathrm{row}\\\nu&\to\mathrm{col}\\}}$ . Отметим, что из-за

g^{μ ν} g_{ν ρ} = δ_{ρ}^{μ}

$g^{\mu\nu}g_{\nu\rho} = \delta^\mu_{\phantom{\mu}\rho}$ , у одного есть также

g^{- 1} = (g_{μ ν})_{\begin{matrix} μ & \to r o w \\ ν & \to c o l \end{matrix}}

$g^{-1} =(g_{\mu\nu})_{\substack{\mu&\to\mathrm{row}\\\nu&\to\mathrm{col}\\}}$ .

Приведенные выше уравнения читаются в этих обозначениях

г \tilde{Λ} (г^{Т})^{- 1} "=" Λ, г^{- 1} Λ г^{Т} "=" \tilde{Λ} .

$g\,\tilde{\Lambda}\,(g^{\mathsf{T}})^{-1} = \Lambda \,, \qquad g^{-1}\,\Lambda\,g^{\mathsf{T}} = \tilde{\Lambda}\,.$ Делая очевидные манипуляции и используя

g = g^{T}

$g = g^{\mathsf{T}}$ получаем, например

Λ^{- 1} г \tilde{Λ} "=" г .

$\Lambda^{-1} \,g\,\tilde{\Lambda} = g\,.$ Априори

Λ

$\Lambda$ и

\tilde{Λ}

$\tilde{\Lambda}$ являются независимыми матрицами, но приведенное выше уравнение в свете определения преобразований Лоренца предлагает определить

\begin{matrix} (1) & Λ^{- 1} "=" {\tilde{Λ}}^{Т} . \end{matrix}

$\Lambda^{-1} =\tilde{\Lambda}^{\mathsf{T}}\,.\tag{1}$ Скалярные произведения также работают. Действительно

ю \cdot в \equiv ю_{мю} в^{мю} \to ю_{мю}^{'} {в^{мю}}^{'} "=" ю_{ν} Λ_{мю}^{ν} Λ_{р}^{мю} в^{р} "=" ю \cdot {\tilde{Λ}}^{Т} Λ \cdot в "=" ю \cdot в .

$\omega \cdot v \equiv \omega_\mu v^\mu \;\to\;\omega_\mu^{\,\prime} {v^\mu}' = \omega_\nu \,\Lambda_\mu^{\phantom{\mu}\nu}\,\Lambda^\mu_{\phantom{\mu}\rho}\,v^\rho = \omega \,\cdot\,\tilde{\Lambda}^{\mathsf{T}}\,\Lambda\,\cdot v = \omega \cdot v\,.$ И ясно то же самое можно показать, манипулируя только индексами

Λ_{мю}^{ν} Λ_{р}^{мю} "=" г^{мю о} г_{р λ} Λ_{мю}^{ν} Λ_{о}^{λ} "=" г_{р λ} г^{ν λ} "=" {дельта}_{р}^{ν} .

$\Lambda_\mu^{\phantom{\mu}\nu}\,\Lambda^\mu_{\phantom{\mu}\rho} = g^{\mu\sigma}g_{\rho\lambda}\,\Lambda_\mu^{\phantom{\mu}\nu}\,\Lambda^\lambda_{\phantom{\lambda}\sigma} = g_{\rho\lambda} g^{\nu\lambda} = \delta_\rho^{\phantom{\rho}\nu}\,.$ На мой взгляд, самым ясным подходом к их объяснению было бы сказать, что матрица вверх-вниз и матрица вниз-вверх являются априорно независимыми матрицами, а затем ввести ограничение

(1)

$(1)$ .

В вашем 4-м отображаемом уравнении (на самом деле это пара уравнений), я считаю, что верхний индекс «T» находится на неправильном g в каждом уравнении этой пары. Кроме того, я думаю, что в вашей последней дельте Кронккера мы морально обязаны полностью уважать размещение индекса (по крайней мере, в настоящем обсуждении), поэтому ро и ню должны располагаться в шахматном порядке, а ро идти первым.
Спасибо за комментарий. Я думаю, размещение $\mathsf{T}$ было правильно, но, честно говоря, я не определил матрицу, связанную с $g$ с более низкими индексами. Думаю теперь стало понятнее. Я также сместил индексы на $\delta$ хотя, на мой взгляд, лучше было бы оставить их как есть, подчеркнуть $\delta^\mu_{\;\rho} = \delta^{\;\mu}_\rho$ .
Небольшая поправка: большую часть времени вы правильно идентифицируете $\Lambda$ как матрица, но в какой-то момент вы называете это тензором, когда это явно не так.

Смещенные индексы (ΛμνΛμν\Lambda^\mu{}_\nu против ΛμνΛμν\Lambda_\mu{}^\nu) на преобразованиях Лоренца

Насик

Qмеханик

Синай Симсон

Ответы (3)

Кристоф

Насик

Кристоф

Насик

Насик

Насик

Кристоф

Джек

ЧоМеди

МэнниС

Насик

МэнниС

Кнчжоу

Почему (ΛT)μν=Λνμ(ΛT)μν=Λνμ{(\Lambda^T)^\mu}_\nu = {\Lambda_\nu}^\mu?

Обозначение индекса Матрица преобразования Лоренца

Матрицы и тензоры (пример в специальной теории относительности)

4-векторное определение

Как работает 4-векторная запись?

Обратное и транспонированное преобразование Лоренца.

Генераторы группы Лоренца: два метода

Тензорный индекс в специальной теории относительности?

Знак метрики Минковского и собственное время

Что означает сокращение индексов матрицы Лоренца?