Почему матрицы рассеяния унитарны?

$S^{-1}=S^*$это просто условие унитарности. Обычно пишется как$S^*S=1$(вместе с обратимостью) и означает, что$\psi^*\psi$не меняется, когда$\psi$заменен на$S\psi$:

$(S\psi)^*(S\psi)=\psi^*S^*S\psi=\psi^*\psi$

Следовательно, вероятность сохраняется, что необходимо для хорошей матрицы рассеяния.

В общем, унитарность S-матрицы является следствием того факта, что S-матрица формально определяется как предел произведений унитарных матриц, которые сами по себе унитарны, хотя анализ предела требует некоторой осторожности.

На самом деле, я заметил, что, возможно, упустил суть вашего вопроса, поскольку вы спросили о том, что делает сопряженное в ваших вычислениях. Дельта самосопряженного оператора сама по себе самосопряжена, вы это имели в виду? В противном случае, пожалуйста, уточните свой вопрос!

Чаще всего,$S$-матрица определяется как оператор между асимптотическими начальным и конечным гильбертовыми пространствами для процесса рассеяния , зависящего от времени , т.е. между$t\to-\infty$и$t\to\infty$. Там унитарность кодирует сохранение вероятностей во времени. С другой стороны, книга, о которой упоминает OP, Ref. 1, говорит о независимом от времени процессе рассеяния. Обсуждение связи между рассеянием, зависящим от времени, и рассеянием, не зависящим от времени, см. в этом вопросе Phys.SE.

В этом ответе мы будем рассматривать только рассеяние, не зависящее от времени. Ссылка 1 определяет для одномерной системы (разделенной на три области$I$,$II$, и$III$, с локализованным потенциалом$V(x)$в среднем районе$II$), а$2\times 2$матрица рассеяния$S(k)$как матрица, показывающая, как две асимптотические входящие (смещающиеся влево и вправо) волны (с волновым числом$\mp k$с$k>0$) связаны с двумя асимптотическими исходящими (право- и леводвижущимися) волнами. В формулах

$$\begin{align}\left. \psi(x) \right|_{I}~=~& \underbrace{A(k)e^{ikx}}_{\text{incoming right-mover}} + \underbrace{B(k)e^{-ikx}}_{\text{outgoing left-mover}}, \tag{1} \cr \left. \psi(x)\right|_{III}~=~& \underbrace{F(k)e^{ikx}}_{\text{outgoing right-mover}} + \underbrace{G(k)e^{-ikx}}_{\text{incoming left-mover}}, \tag{2}\cr k~>~&0,\end{align}$$

$$\begin{pmatrix} B(k) \\ F(k) \end{pmatrix}~=~ S(k) \begin{pmatrix} A(k) \\ G(k) \end{pmatrix}.\tag{3}$$

Чтобы показать, что конечномерная матрица$S(k)$унитарна , достаточно показать, что$S(k)$является изометрией ,

$$\begin{align} S(k)^{\dagger}S(k)~\stackrel{?}{=}~&{\bf 1}_{2\times 2} \cr\quad\Updownarrow~&\quad\cr |A(k)|^2+ |G(k)|^2~\stackrel{?}{=}~&|B(k)|^2+ |F(k)|^2,\end{align}\tag{4}$$

или эквивалентно,

$$|A(k)|^2-|B(k)|^2 ~\stackrel{?}{=}~|F(k)|^2-|G(k)|^2.\tag{5}$$

Уравнение (5) можно обосновать следующими комментариями и рассуждениями.

1. $\psi(x)$является решением не зависящего от времени уравнения Шредингера ( TISE )

   $$\begin{align} \hat{H} \psi(x) ~=~& E \psi(x), \cr \hat{H}~:=~&\frac{\hat{p}^2}{2m}+V(x),\cr \hat{p}~:=~&\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x},\end{align}\tag{6}$$ для положительной энергии$E>0$.

2. Пространство решений уравнения Шредингера.$(6)$, которое является линейным ОДУ второго порядка, представляет собой двумерное векторное пространство.

3. Из уравнения$(6)$что волновые числа$\pm k$,

   $$k ~:=~\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} ~\geq~ 0,\tag{7}$$ должно быть одинаковым в двух асимптотических областях$I$и$III$. Это будет означать, что$M$-матрица (определяется ниже) и$S$-матрицы диагональны в$k$-космос.

4. Кроме того, отсюда следует, что существует биективное линейное отображение

   $$\begin{pmatrix} A(k) \\ B(k) \end{pmatrix} ~\mapsto~ \begin{pmatrix} F(k) \\ G(k) \end{pmatrix}.\tag{8}$$ В исх. 2, передаточная матрица $M(k)$определяется как соответствующая матрица $$\begin{pmatrix} F(k) \\ G(k) \end{pmatrix}~=~ M(k) \begin{pmatrix} A(k) \\ B(k) \end{pmatrix}.\tag9$$ The $S$-матрица$(3)$представляет собой перестановку уравнения.$(9)$.

5. Можно использовать уравнение Шредингера.$(6)$(и реальность$E$и$V(x)$), чтобы показать, что вронскиан

   $$W(\psi,\psi^{\ast})(x)~=~\psi(x)\psi^{\prime}(x)^{\ast}-\psi^{\prime}(x)\psi(x)^{\ast},\tag{10}$$ или, что то же самое, ток вероятности $$J(x)~=~\frac{i\hbar}{2m} W(\psi,\psi^{\ast})(x),\tag{11}$$ не зависит от положения$x$, $$\begin{align} \frac{\mathrm dW(\psi,\psi^*)(x)}{\mathrm dx} ~=~&\psi(x)\psi^{\prime\prime}(x)^{\ast}-\psi^{\prime\prime}(x)\psi(x)^{\ast}\cr ~\stackrel{(6)}{=}~&0.\end{align}\tag{12}$$ Унитарность (5) эквивалентна утверждению, что $$\left. W(\psi,\psi^*)\right|_{I}~=~\left. W(\psi,\psi^*) \right|_{III}.\tag{13}$$ Ссылка 3 упоминает, что ур.$(12)$кодирует сохранение энергии при рассеянии.

---

Использованная литература:

1. DJ Гриффитс, Введение в квантовую механику; Раздел 2.7 в 1-м издании 1994 г. и Задача 2.52 во 2-м издании 1999 г.

2. DJ Гриффитс, Введение в квантовую механику; Задача 2.49 в 1-м издании 1994 г. и задача 2.53 во 2-м издании 1999 г.

3. П. Г. Дразин и Р. С. Джонсон, Солитоны: введение, 2-е издание, 1989; Раздел 3.2.