Вопрос о решении уравнения Шредингера для конечной потенциальной ямы и квантового барьера

При решении уравнения Шредингера для конечной потенциальной ямы решением вне ямы является

ψ 1 "=" Ф е − α Икс + г е α Икс
и
ψ 3 "=" ЧАС е − α Икс + я е α Икс .
Однако при решении уравнения Шредингера для квантового барьера решения областей
ψ л ( Икс ) "=" А р е я к 0 Икс + А л е − я к 0 Икс Икс < 0 ψ С ( Икс ) "=" Б р е я к 1 Икс + Б л е − я к 1 Икс 0 < Икс < а ψ р ( Икс ) "=" С р е я к 2 Икс + С л е − я к 2 Икс Икс > а .

Решения для квантового барьера имеют мнимый я на показатель е например А л е − я к 0 Икс . Но решение для конечной потенциальной ямы не имеет мнимой я на экспоненте е например Ф е − α Икс .

Так почему существует воображаемый я для проблемы квантового барьера, пока нет воображаемого я для задачи с потенциальной ямой, когда оба решения задачи получаются путем решения уравнения Шрёдингера в виде ( [ г 2 г Икс 2 ψ ( Икс ) ] "=" б ψ ( Икс ) ) ?

У меня дополнительный вопрос: почему регион с потенциалом В "=" 0 в конечной потенциальной яме имеют волновую функцию вида

ψ 2 "=" А грех ⁡ к Икс + Б потому что ⁡ к Икс
Но для квантового барьера области с потенциалом В "=" 0 иметь волновую функцию
ψ л ( Икс ) "=" А р е я к 0 Икс + А л е − я к 0 Икс Икс < 0
Так почему же уравнение Шредингера дает другой результат для области В "=" 0 ?

Обратите внимание, что в любом случае коэффициент может быть мнимым, и поэтому можно, например, оговорить, что α "=" я к 1 а потом напиши ψ С ( Икс ) "=" Б р е α Икс + Б л е − α Икс .
Анзац это ψ ( Икс ) "=" А   е α Икс для общего (ненулевого) комплекса A и α . Точная форма α и А определяются из «граничных условий».
Достаточно вспомнить формулу Эйлера.

Ответы (1)

Это две разные ситуации ТИСЭ 1 :

  1. Связанное состояние имеет Е < 0 и волновая функция

    (1) ψ ( Икс )   "="   А е − κ | Икс | , κ   "="   − 2 м Е ℏ   >   0 ,
    экспоненциально убывает в асимптотических областях | Икс | → ∞ . Экспоненциально убывающая волновая функция является признаком отрицательной кинетической энергии, т.е. квантового туннелирования в классически запрещенные области.

  2. Состояние рассеяния имеет Е > 0 и волновая функция

    (2) ψ ( Икс )   "="   А + е я к Икс + А − е − я к Икс , к   "="   2 м Е ℏ   >   0 ,
    ведет себя колебательно в асимптотических областях | Икс | → ∞ . Осциллирующая волновая функция является признаком положительной кинетической энергии, т.е. классически разрешенных областей.

Или альтернативно: Обратите внимание, что когда энергия Е меняет знак с отрицательного на положительный, то квадратный корень κ в уравнении (1) становится мнимым и может быть отождествлено с ± я к из уравнения (2), ср. комментарии Альфреда Центавра и DanielC.

(Кстати, существует еще одна тесная связь между связанными состояниями и состояниями рассеяния: если мы аналитически продолжим реальное к в комплексную плоскость С , то коэффициенты отражения и прохождения рассеяния будут иметь полюса в позициях к "=" я κ вдоль мнимой оси в комплексе к -самолет всякий раз κ > 0 соответствует одному из дискретных связанных состояний, ср. например, ссылка 1.)

Использованная литература:

  1. П. Г. Дразин и Р. С. Джонсон, Солитоны: введение, 2-е издание, 1989; Раздел 3.3.

--

1 За исключением гравитации потенциальная функция В ( Икс ) физически релевантно только с точностью до константы. Подберем здесь для простоты константу так, чтобы потенциал В ( Икс ) обращается в нуль в асимптотических областях, т. е. предположим, что В ( Икс ) → 0 для | Икс | → ∞ .

Спасибо, но у меня есть дополнительные вопросы о том, почему разные результаты уравнения Шредингера дают для области V = 0 для конечной потенциальной ямы и потенциального барьера. Если вы знаете об этом, пожалуйста, подумайте над ответом, это было бы очень полезно. Большое спасибо. ;)
Я обновил ответ.
Вопрос о решении уравнения Шредингера для конечной потенциальной ямы и квантового барьера
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v