Почему мы анализируем проблему ступенчатого потенциала в квантовой механике с ненормируемыми решениями?

Читая «Введение Гриффитса в квантовую механику» и используя лекции Адама Алланса из MIT 8.04 QP-1 в качестве дополнительного источника для понимания темы рассеяния частиц для ступенчатого потенциала, я столкнулся с проблемой, которую Гриффитс интересно упоминает для дельта-потенциального барьера, но это разрешение мне не очень понятно.

Когда мы делаем анализ частицы с энергией Е выше ступенчатого потенциального барьера В то есть Е > В и предполагая, что барьер расположен в Икс "=" 0 , то собственные функции энергии при решении уравнения собственных значений энергии (стационарное уравнение Шредингера) получаются равными

ψ ( Икс ) "=" А е я к 1 Икс + Б е − я к 1 Икс Икс < 0   ψ ( Икс ) "=" С е я к 2 Икс + Д е − я к 2 Икс Икс > 0  
Теперь, поскольку эти решения ненормируемы, мы должны построить волновой пакет вида
1 2 π ∫ − ∞ ∞ е я к Икс ф ( к ) г к
(не очень уверен в пределах волнового числа к ), а затем использовать их для удовлетворения граничных условий непрерывности и дифференцируемости в Икс "=" 0 . Но после просмотра многих источников авторы в основном используют эти ненормируемые решения для дальнейшего анализа вероятностей прохождения и отражения волновой функции.

Было бы очень хорошо, если бы кто-то мог обосновать, почему эти функции можно использовать, а если нет, то как можно использовать волновой пакет, чтобы удовлетворить граничным условиям при Икс "=" 0 .

Что ж, вопрос очень похожий, но ответа, понятного для моего уровня знаний, я не нашел. Ни один из ответов не объясняет, как, если мы применим граничные условия к суперпозиции входящей, отраженной и прошедшей волны на шаге, все равно получим результат, аналогичный анализу. Короче говоря, я застрял в том, как сделать подобное упражнение для нормализуемых решений, даже если они дают тот же результат.
Какие нормализуемые решения? Вы имеете в виду зависящие от времени волновые пакеты?
@Qmechanic Да. Таким образом, каждый в своем анализе использует движущиеся вперед и назад волны (А, умноженное на ехр + В, умноженное на ехр) в качестве волновой функции, удовлетворяющей граничным условиям. Я чувствую, что мы должны использовать волновые пакеты (зависящие от времени или независимые, потому что мы просто удовлетворяем граничным условиям в любой произвольный момент времени, скажем, t=0). Вот что я имею в виду, используя нормализуемые решения.
Нормируемых решений, не зависящих от времени, не существует.
Разве суперпозиция, т.е. непрерывный интеграл экспонент по k, не является также собственной функцией энергии, также известной как решение уравнения Шредингера, не зависящего от времени? Что ж, A exp(ikx) + B e(-ikx) — это решение, поэтому их суперпозиция с переменным k также должна быть решением. И если совсем забыть об этом вопросе, возможно, у нас есть только нормализуемое решение, зависящее от времени, но как бы вы удовлетворяли граничным условиям.
«Я чувствую, что мы должны использовать волновые пакеты [...]». По крайней мере, в школах, где я учился и преподавал, большинство студентов знакомятся с КМ в целом и с этой проблемой в частности в то время, когда они не совсем математически достаточно зрелым для такого подхода. Не то чтобы это требовало каких-то шагов, к которым они не готовы, просто их размер и абстрактность обработки превосходят их подготовку. И, несмотря на философские вопросы, подход, основанный на плоской волне, дает правильные ответы .
@dmckee НО, анализ не должен иметь смысла, потому что общим требованием волновой функции является нормализуемость. Но если вы считаете пакетный подход математически сложным, я был бы счастлив, если бы кто-нибудь мог объяснить, почему «подход, основанный на плоских волнах, дает правильные ответы».
Что я могу обратиться.

Ответы (2)

В комментариях к вопросу я упомянул, что решение плоской волны «получает правильные ответы». Причина этого связана с понятием независимости от времени.

Любой эксперимент, в котором вы стреляете одиночной частицей в барьер/место рассеяния, а затем измеряете, куда приземляется вылетающая частица, по своей сути является экспериментом, зависящим от времени, и он соответствует решению проблемы с помощью волнового пакета.

Но если мы хотим решить проблему в контексте ТИСЭ, нам нужен эксперимент, не зависящий от времени, а это означает эксперимент с непрерывным пучком . Примером в классе является эксперимент по дифракции, в котором мы направляем лазер через щель/систему щелей/эталон/и т. д. и наблюдаем за картиной интенсивности, которая проявляется на экране. Любая такая демонстрация длится сагановское количество периодов, и ее можно разумно рассматривать как вечную.

Но в случае (идеально вечного) луча мы не ожидаем, что волновая функция будет нормирована к единице, потому что существует не одна частица. Имеется (в идеализированной версии) бесконечное число частиц пучка, так что имея

∫ космос ψ * ψ г Икс
расходиться не только нормально, но и ожидаемо (в том смысле, что физико-математик просто отмахивается от надоедливых технических подробностей). Я полагаю, что должно быть какое-то требование, чтобы бесконечность, полученная из этой суммы, оставалась постоянной (что бы это ни значило).

Чтобы это работало, нам нужно, чтобы отдельные частицы луча не взаимодействовали друг с другом, но в случае маломощного лазера это происходит более или менее автоматически.

Я бы не хотел вдаваться в сложную ситуацию, такую ​​как не зависящие от времени или зависимые ситуации, и будет ли вероятность расходиться или нет в такой системе. Мой вопрос намного проще, почему этот анализ с плоскими волнами и с волновыми пакетами дает один и тот же ответ? Я надеюсь, вы понимаете мою точку зрения.
Вы понимаете причину , по которой требование нормализации существует в первую очередь?
Ну, если честно, я точно не знаю причину нормализации. Я читал о том, что частица должна где-то быть, и с тех пор
| ψ | 2
- плотность вероятности, из которой следует, что
∫ − ∞ ∞ | ψ | 2 г Икс "=" 1
Это то, что я знаю о нормализации для одной частицы.
Верно. Нормализация связана с обеспечением представления одной частицы или системы. Но если вы скажете: «Я хочу решить вариант задачи с неограниченным числом частиц» (и вам не нужно беспокоиться о межчастичных взаимодействиях, и существует физическая система, которая разумно моделируется таким образом), вы может отказаться от этого требования и решить более простую версию математической задачи. Вы получаете те же вероятности, потому что все еще решаете одно и то же дифференциальное уравнение, вы просто используете более простую функцию.
Итак, вы хотите сказать, что если мы предположим, что система представляет собой систему с произвольным числом частиц, то мы можем отказаться от условия нормализации и решить дифференциальное уравнение для волны, которая состоит не из одной частицы, а из волновой функции многих частиц. ? Что-то в этом роде, а?
Но давайте предположим, что я смотрю только на систему с одной частицей. Я запускаю только одну частицу на потенциальной ступени и хочу выяснить вероятности отражения и прохождения. Тогда должно выполняться условие нормализации, и я должен принять волновой пакет как волновую функцию с энергетическим разбросом относительно некоторого среднего значения. Не могли бы вы немного подсказать, как будет проводиться этот анализ?

В этой задаче нам не нужно учитывать какую-либо зависимость от времени. Частица как бы находится вблизи ступенчатого потенциала и «застыла» во времени. Опять же, мы не можем указать положение частицы на графике зависимости энергии от положения, поскольку это нарушит принцип неопределенности, и поэтому мы должны рассматривать/решать для всего диапазона пространства (т. е. слева и справа от ступенчатого потенциала). в тот же момент времени. Это не кинокартина классического мира, где частица летит из бесконечности, сталкивается с потенциалом и улетает; где все три события происходят в разные моменты времени.

Вы можете грубо изобразить это так, как будто есть какой-то односторонний канал, один идет влево, а другой вправо с весовыми коэффициентами A и B. Частице разрешено использовать только эти уже существующие треки. Мы ни в коем случае не видим движение частицы в пространстве как функцию времени. Когда мы решаем для | Б А | 2 или | С А | 2 , мы определяем вероятность того, что частица окажется слева или справа от Икс "=" 0 когда мы, скажем, наблюдаем за ним.

Вы также спрашивали об использовании волнового пакета и последующем применении граничных условий. Я думаю, что это может быть сложной задачей, поскольку волновой пакет (частица), движущийся в пространстве, начинает распадаться в тот момент, когда мы вводим время в уравнение. Как будто волна имеет тенденцию к удлинению в обоих крайних точках, что затрудняет нормализацию и применение граничных условий.

Почему мы анализируем проблему ступенчатого потенциала в квантовой механике с ненормируемыми решениями?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v