Решения уравнения Шредингера в двумерных полярных координатах при нулевом потенциале

Радиальные решения — это функции Бесселя, а угловая часть — это волны. Вы начинаете со свободного гамильтониана в полярных координатах,

$$\begin{equation} H \psi(r,\varphi) = - \left(\frac{\partial ^2}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} \right) \psi(r, \varphi) = E \psi(r, \varphi). \end{equation}$$ Как это часто бывает с этими типами дифференциальных уравнений, мы можем сделать анзац $$\begin{equation} \phi(r, \varphi) = R(r) \Phi(\varphi). \end{equation}$$ Подставив это в дифференциальное уравнение и разделив на$R(r) \Phi(\varphi)$урожаи $$\begin{equation} - \frac{r^2}{R} \frac{d^2 R}{dr^2} - \frac{r}{R} \frac{dR}{dr} - Er^2 = \frac{1}{\Phi} \frac{d^2 \Phi}{d\varphi}. \end{equation}$$ Левая часть зависит только от$r$, а правая часть зависит только от$\varphi$, поэтому обе стороны должны быть постоянными. Мы называем константу$-A^2$. Тогда угловое дифференциальное уравнение выглядит так: $$\begin{equation} \frac{d^2 \Phi}{d\varphi^2} + A^2 \Phi = 0 \end{equation}$$ который легко решается $$\begin{equation} \Phi(\varphi) = C_1 e^{i A \varphi} + C_2 e^{-i A \varphi}. \end{equation}$$ С$\Phi(0) = \Phi(2 \pi)$, делаем вывод, что$A \in \mathbb{N}$. Тогда радиальная часть определяется выражением $$\begin{equation} r^2 \frac{d^2R}{dr^2} + r \frac{dR}{dr} + (Er^2 - A^2) R = 0. \end{equation}$$ После замены$\tilde{r} = \sqrt{E} r$, это становится дифференциальным уравнением Бесселя, а решениями являются функции Бесселя.

Итак, чтобы ответить на ваш вопрос, да, есть больше решений, даваемых функциями Бесселя, модулированными триггерными функциями. Как обычно, любую гладкую функцию можно представить в виде суммы подходящих собственных функций. Но я предполагаю, что ваш вопрос заключается в том, можем ли мы также найти собственные функции, которые смещены от начала координат. И здесь ответ отрицательный, поскольку это нарушило бы симметрию проблемы.