2D уравнение Шредингера в полярных координатах - граничные условия в начале координат

Чтобы сохранить кинетическую энергию$\langle K\rangle =\frac{\hbar^2}{2m} \int d^2x~ |\nabla \psi|^2$конечный, логарифмический$\ln(r)$сингулярность радиальной волновой функции$\psi(r)$в$r=0$недопустимо. Этот вывод справедлив, даже если мы возьмем потенциальную энергию$\langle V \rangle$в учетную запись:

1. Неотрицательный потенциал$V\geq 0$сделает только полную энергию$E= \langle K \rangle + \langle V \rangle$больше.

2. потенциал$V$со степенной особенностью$V(r) \sim r^p$,$p>-2$, в$r=0$будет иметь только конечный вклад.

3. Отрицательный потенциал$V<0$со степенной особенностью$V(r) \sim r^p$,$p\leq -2$, в$r=0$приведет к спектру для гамильтониана$H=K+V$которое не ограничено снизу.

Общие принципы наложения граничных условий волновой функции$\psi$в$r=0$в различных измерениях также описаны, например, в этом связанном посте Phys.SE и ссылках в нем.

Как правило, решение должно решать уравнение Шредингера в каждой точке конфигурационного пространства. Это, в частности, означает, что вы должны принять единственное решение в качестве распределения . Функции Неймана не решают уравнение Шредингера в полярных координатах в каждой точке: они решали бы его только в том случае, если бы оно имело дополнительный (исходный) член, пропорциональный дельте Дирака с его сингулярностью в начале координат. См. мой ответ на связанный вопрос для расширенного обсуждения.