Решение одномерного стационарного уравнения Шредингера с граничными условиями на пространственной бесконечности

Question

Решение одномерного стационарного уравнения Шредингера с граничными условиями на пространственной бесконечности

пользователь42363

На моем вводном уроке современной физики мы рассмотрели независимые от времени решения уравнения Шредингера в одномерном пространстве. Мы рассмотрели несколько случаев без конечной границы, например, свободные частицы и ступенчатые потенциалы с $V_{\mathrm{max}} < E$ . В каждом примере, в классе и во всех вводных материалах, которые я нашел, утверждалось без математического обоснования, что обратное комплексное экспоненциальное решение следует игнорировать как «нефизическое». В частности, хотя более полное с математической точки зрения решение имело бы вид

А е^{я α Икс} + Б е^{- я α Икс},

$A\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha x} + B\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha x},$ Я видел решения только в неограниченной области, где

B = 0

$B=0$ при интерпретации, что его термин будет результатом некоторого размышления, которое не может произойти, если нет достижимой границы. Обычное утверждение гласит: «термин в

B

$B$ имеет отрицательную скорость и является нефизическим..." Я нахожу это очень неудовлетворительным. Я не уверен, что в данном случае уместно использовать термин "скорость" (утверждают ли они, что независимое от времени волновое уравнение "распространяется"?), если только это не относится к какому-то аспекту вероятностного тока (этой концепции нет в учебной программе). Бесконечная граница сама по себе является нефизической концепцией. Насколько я могу судить, решение даже не интегрируется с квадратом. Я могу' Я не могу найти математическое обоснование или нечто большее, чем предложение объяснения (похоже, все опирается на неявную аналогию с физикой струны). более сложное лечение, которое, я считаю, было бы целесообразным.

Есть ли обоснование этого предположения, которое можно записать математически? Это просто похоже на уловку, чтобы упростить недоопределенный мысленный эксперимент.

Ответы (1)

Решение одномерного стационарного уравнения Шредингера с граничными условиями на пространственной бесконечности

Qмеханик · Answer 1

Вот наша интерпретация вопроса ОП: мы, по сути, говорим об асимптотической форме состояний рассеяния положительной энергии для независимого от времени уравнения Шредингера (TISE) для двух свободных областей. $x \to \pm \infty$ . (Как отмечает OP, состояния рассеяния не нормализуемы и, следовательно, не принадлежат гильбертовому пространству. Тем не менее их можно математически обрабатывать с помощью формализма оснащенного гильбертова пространства .) В одном соглашении $^1$ , имеем асимптотически

ψ (Икс) \sim {\begin{array}{rcl} А е^{- я к Икс} + р е^{я к Икс} & для & Икс \to + \infty, \\ Т е^{- я к Икс} & для & Икс \to - \infty . \end{array}

$\psi(x) ~\sim~ \left\{\begin{array}{rcl}~Ae^{-ikx} + Re^{ikx} & \text{for}& x\to +\infty, \cr\cr Te^{-ikx} & \text{for}& x\to -\infty.\end{array}\right.$

Другими словами: у нас есть три волны: входящая левая, переданная ( $T$ ) левоход, и отраженный ( $R$ ) правоход.

1) Что случилось с четвертой возможностью: приближающийся правый ход $Be^{ikx}$ для $x\to -\infty$ ?

Мы оставили четвертую возможность нулевой в качестве граничного условия для имитации процесса рассеяния падающей волны, которая распадается на отраженную и прошедшую волну. (Конечно, в принципе можно было бы также изучить рассеяние двух входящих волн, то есть все четыре возможности. Например, это делается в этом ответе Phys.SE.)

2) Как мы можем говорить о входящих и выходящих левых и правых движителях для независимого от времени уравнения Шрёдингера?

По сути, это вопрос, заданный в этом посте Phys.SE.

--

$^1$ Существует также левое и правое зеркальное соглашение.

Решение одномерного стационарного уравнения Шредингера с граничными условиями на пространственной бесконечности

пользователь42363

Ответы (1)

Qмеханик

Почему мы анализируем проблему ступенчатого потенциала в квантовой механике с ненормируемыми решениями?

Электрон проходит через ступенчатый потенциал от V0V0V_0 до 0

Рассеяние против связанных состояний

Связанные состояния и состояния рассеяния - уравнение Шрёдингера, зависящее от времени

Как определить волновую функцию свободной частицы в сложной потенциальной функции?

2D уравнение Шредингера в полярных координатах - граничные условия в начале координат

Квантовое туннелирование с дельта-потенциалом

Фазовый сдвиг одномерного рассеяния (конечная яма) — нефизический?

Почему выборочно можно полагаться на интуитивные аналоги при решении задач квантовой механики, таких как задача о ступенчатом потенциале?

Решения уравнения Шредингера в двумерных полярных координатах при нулевом потенциале